1、偏最小二乘回归方法偏最小二乘回归方法简言之简言之 偏最小二乘回归是一种集多元线性回归分析、典型相关分析和主成分分析的基本功能为一体的新型多元统计分析方法。此方法的优点：（1）能在自变量存在严重多重相关性的条件下进行回归建模；（2）允许在样本点个数少于自变量个数的条件下进行回归建模；此方法的优点：（3）偏最小二乘回归在最终模型中将包含原有的所有自变量，易于辨识系统信息与噪声，而且其自变量的回归系数也将更容易解释。此方法的优点：（4）偏最小二乘回归方法与其他的建模方法相比，具有计算简单、预测精度高，易于定性解释的优点。多因变量偏最小二乘算法推导多因变量偏最小二乘算法推导0010(,)pn pEEE
2、0010(,)qn qFFF12(,)qn qYy yy12(,)pn pXx xx 首先将数据做标准化处理。原自变量数据表 经标准化后的数据矩阵记为原因变量数据表经标准化后的数据矩阵记多因变量偏最小二乘算法推导多因变量偏最小二乘算法推导 第一步：记 是 的第一个成分，是 的第一个轴，它是一个单位向量,即有 。记 是 的第一个成分 ，是 的第一个轴，它是一个单位向量，即 。1t0E101tE10E111u0F10 1uF c1c0F11c多因变量偏最小二乘算法推导多因变量偏最小二乘算法推导 如果要使 ，能很好的代表 与 中的数据变异信息，根据主成分分析原理，应该有 ，。1t1uXY 1maxV
3、ar t 1maxVar u多因变量偏最小二乘算法推导多因变量偏最小二乘算法推导 另一方面，由于回归建模的需要，又要求 对 有最大的解释能力，由典型相关分析的思路，与 的相关度应达到最大值，即 1t1u1u11,maxr t u1t多因变量偏最小二乘算法推导多因变量偏最小二乘算法推导 因此，综合起来，在偏最小二乘回归中，我们要求 与 的协方差达到最大，即 1t1u 111111,maxCov t uVar t Var ur t u多因变量偏最小二乘算法推导多因变量偏最小二乘算法推导 正规的数学表述应该是求解下列优化问题，即110101,max,cEF c11111.1TTs tc c 多因变量
4、偏最小二乘算法推导多因变量偏最小二乘算法推导采用拉格朗日算法，记100 111121111TTTTsE F cc c s11c12对 分别求关于 ，和 的偏导数，并令之为零，有多因变量偏最小二乘算法推导多因变量偏最小二乘算法推导00 111120TsE F c0012 1120TsF Ecc11110Ts 11210Tsc c（1）式（2）式（3）式（4）式多因变量偏最小二乘算法推导多因变量偏最小二乘算法推导由上述四个式子可以推出12100 1010 122,TTE F cEF c记 ，所以 正是优化问题的目标函数值。112100 122TTE F c1多因变量偏最小二乘算法推导多因变量偏最小
5、二乘算法推导把（1）和（2）式写成00 111TE F c 0011 1TF Ec20000111TTE F F E 将（6）代入（5），有（5）式（6）式（7）式多因变量偏最小二乘算法推导多因变量偏最小二乘算法推导同理，可得20000 111TTF E E F cc 易知，是矩阵 的特征向量，对应的特征值为 。是目标函数，它要求取最大值。10000TTE F F E21110000TTE F F E 所以，是对应于矩阵 的最大特征值的单位特征向量。多因变量偏最小二乘算法推导多因变量偏最小二乘算法推导 易知，是对应于矩阵 的最大特征值 的单位特征向量。1c0000TTF EE F21 求得轴
6、和 后，即可得到成分 ，。然后，分别求 和 对 与 的三个回归方程11c101tE10 1uF c0E0F1t1u多因变量偏最小二乘算法推导多因变量偏最小二乘算法推导01 11TFt rF0111TEt pE*01 11TFu qF其中0 1121TE tpt01121TF uqu01121TF trt多因变量偏最小二乘算法推导多因变量偏最小二乘算法推导而 ，分别是三个回归方程的残差矩阵。1E*1F1F多因变量偏最小二乘算法推导多因变量偏最小二乘算法推导 第二步：用残差矩阵 和 取代 和 。然后，求第二个轴 和 以及第二个成分 ，有1E1F0E0F22c2t2u212tE21 2uFc2222
7、11 2,TTt uE Fc多因变量偏最小二乘算法推导多因变量偏最小二乘算法推导 是对应于矩阵 的最大特征值 的特征向量；是对应于矩阵 的最大特征值 的特征向量。22c1111TTF E E F221111TTE FF E22多因变量偏最小二乘算法推导多因变量偏最小二乘算法推导计算回归系数12222TE tpt12222TF trt1222TEt pE12 22TFt rF因此，有回归方程（8）式多因变量偏最小二乘算法推导多因变量偏最小二乘算法推导011TTmmEt pt p 如此计算下去，如果的 秩是 ，则会有01 1TTm mmFt rt rF 由于 均可以表示成 的线性组合。1,mtt0
8、10,pEEmX多因变量偏最小二乘算法推导多因变量偏最小二乘算法推导 因此，（8）式还可以还原成 关于 的回归方程形式，即*0kkyF*0jjxE*1 1kkkppmkyxxFmkFmFk1,2,kq 是残差矩阵 的第 列。偏最小二乘回归的简化算法偏最小二乘回归的简化算法1t （1）求矩阵 最大特征值所对应的单位特征向量 ，求成分 ，得10000TTE F F E101tE1011TEEt p其中0 1121TE tpt偏最小二乘回归的简化算法偏最小二乘回归的简化算法 （2）求矩阵 最大特征值所对应的单位特征向量 ，求成分 ，得21001TTE F F E2t212tE12222TE tpt2
9、122TEEt p其中偏最小二乘回归的简化算法偏最小二乘回归的简化算法 至第h步，求成分 ，是 矩阵最大特征值所对应的特征向量。h1hhhtE1001TThhEF F E 如果根据交叉有效性，确定共抽取h个主成分 可以得到一个满意的预测模型。1,htt偏最小二乘回归的简化算法偏最小二乘回归的简化算法0F1,htt则求 在 上的普通最小二乘回归方程为 01 12 2TTmFt rt rFhittFriiTi,2,1,20其中交叉有效性具体的步骤：交叉有效性具体的步骤：记 为原始数据，是在偏最小二乘回归过程中提取的成分，是使用全部样本点并取h 个成分回归建模后，第 个样本点的拟合值，是在建模时删除
10、样本点 ，ijy12,mt tthjiy()hjiyii交叉有效性具体的步骤：交叉有效性具体的步骤：取 h 个成分回归建模后，再用此模型计算的 的拟合值，记ijy2111()ppnhhjijhjiijiSSSSyy2()11()pnhijhjijiPRESSyy211hhhPRESSQSS 交叉有效性具体的步骤：交叉有效性具体的步骤：当 即 时，引进新的成分 会对模型的预测能力有明显的改善作用。20.0975hQ 10.95hhPRESSSSht典型相关分析中的精度分析典型相关分析中的精度分析 在偏最小二乘回归计算过程中，所提取的自变量成分 ，尽可能多地代表 中的变异信息。对某自变量 的解释能
11、力为itXitjx2(;)(,)jijiRd x trx t典型相关分析中的精度分析典型相关分析中的精度分析 对某因变量 的解释能力为 对 的解释能力为itky2(;)(,)kikiRd y try titX11(;)(;)pikikRd X tRd x tp 对 的解释能力为11(;,)(;)hhiiRd X ttRd X t1,httX 对 的解释能力为11(;,)(;)hkhkiiRd x ttRd x t1,httkx典型相关分析中的精度分析典型相关分析中的精度分析 对 的解释能力为 对 的解释能力为11(;,)(;)hhiiRd Y ttRd Y t11(;,)(;)hkhkiiRd
12、 y ttRd y t1,httY1,httky20、人之所以能，是相信能。13.太阳也不是神，光和热的聚合体罢了。越接近太阳的人只会点燃自己。4.最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。1.微笑，是春天里的一丝新绿，是骄阳下的饿一抹浓荫，是初秋的一缕清风，是严冬的一堆篝火。微笑着去面对吧，你会感到人生是那样温馨。7.没有哪种教育能及得上逆境。15.恐惧自己受苦的人，已经因为自己的恐惧在受苦。15.孤独是空气，你呼吸着它而感觉到自己存在。20.时间是不可占有的公共财产，随着时间的推移，真理愈益显露。19.目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在
13、矛盾无定的迷径中徒劳无功。11.虽然现实生活中，不是所有的梦想都能开花结果，也不是所有的人都能梦想成真。但每一个梦想都是绚烂多姿，每一个人都因追逐梦想而生活得更加精彩。11.你什么时候放下，什么时候就没有烦恼。11.感谢那些曾让我伤心难过的日子，我知道快乐已经离我不远了。6.只要路是对的，就不怕路远。真心的对别人产生点兴趣，是推销员最重要的品格。2.对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。13、热爱可以创造奇迹。如果我们热爱登山，我们可以不顾旅途的危险与劳顿，勇往直前;如果我们热爱文学，我们可以废寝忘食，夜灯长明;如果我们热爱高考呢?那么，一切都将变得简单而和谐!3.知识给人重量，成就给人光彩
14、，大多数人只是看到了光彩，而不去称量重量。4、人生伟业的建立，不在能知，乃在能行。12.仔细思量一下就会明白：对对方的不信任，实际上就是对自我的不信任。推测对方的内心时，人就像把自己的生命反映到镜子中一样凝视着，再将其投影于对方，从而决定信任或不信任对方。14.胜利者往往是从坚持最后五分钟的时间中得来成功。-牛顿(英国)(闪点)16.我从来不认为半小时是我微不足道的很小的一段时间。8.劳动是知识的源泉;知识是生活的指南。11.只向最顶端的人学习，只和最棒的人交往，只做最棒的人做的事。12.书本也是好老师，活用才能成功。6.人的痛苦只能在生活和劳动中慢慢消磨掉，但朋友，没有什么灵丹妙药比得上劳动更能医治人的精神创伤。14.真正的坚强是当所有的人都希望你崩溃的时候，你还可以振作。
