1、第五章第五章 二次根式二次根式 5.1 二次根式 理解二次根式的概念，并利用理解二次根式的概念，并利用 （a0a0）的意义解）的意义解答具体题目答具体题目.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题题.a 重点：重点：形如形如 （a0a0）的式子叫做二次根式）的式子叫做二次根式的概念；的概念；难点：难点：利用利用“（a0a0）”解决具体问题解决具体问题.aa 每一个正实数每一个正实数a a有且只有两个平方根有且只有两个平方根 ,其中其中 是是a a的算术平方根的算术平方根.0.0的平方根和算术平方根均为的平方根和算术平方根均为0.0.aa 1
2、.1.带着以下两个问题，引导学生阅读教材带着以下两个问题，引导学生阅读教材P155157P155157：(1)(1)怎样理解二次根式的意义？怎样理解二次根式的意义？(a0)(a0)是不是二是不是二次根式？次根式？（2 2）符号）符号“”表示什么？表示什么？一定是正整数？当一定是正整数？当a0a0时，时，会等于会等于a a吗？吗？2aa,5a 学生阅读教材后，引导学生对上述问题讨论，在学生阅读教材后，引导学生对上述问题讨论，在此基础上归纳：形如此基础上归纳：形如 （a0)a0)的式子叫作二次根式，的式子叫作二次根式，符号符号“”叫作二次根号，根号下的数字叫作被开叫作二次根号，根号下的数字叫作被开
3、方数方数.a 2.2.引导学生探讨以下问题：引导学生探讨以下问题：问题问题1 1：被开方数可能是负数吗？为什么？：被开方数可能是负数吗？为什么？问题问题2 2：当：当a0a0时，时，等于多少等于多少？在实数范围内，因为负数没有平方根，因此只有当在实数范围内，因为负数没有平方根，因此只有当被开方数是非负数时，二次根式才在实数范围内有意义被开方数是非负数时，二次根式才在实数范围内有意义.因为因为 是是a a的一个平方根，所以的一个平方根，所以 .aa2)(a2)(a 问题问题3 3：在下列横线上填上适当的数：在下列横线上填上适当的数：=;=;=;=.根据上述结果，你能总结出当根据上述结果，你能总结
4、出当a0a0时，时，等于等于多少吗多少吗？引导学生猜想引导学生猜想：=a(a0).=a(a0).2a2223242a25 问题问题4 4：以上猜想对吗？即当：以上猜想对吗？即当a0a0时，时，=a=a吗？吗？引导学生进行推理论证：由于引导学生进行推理论证：由于a a的平方等于的平方等于a a2 2，因，因此此a a是是a a2 2的一个平方根；而当的一个平方根；而当a0a0时，时，a a2 2的一个正的平的一个正的平方根是方根是 .因此，因此，a a和和 都是都是a a2 2的正平方根，所的正平方根，所以以 =a(a0).=a(a0).2a2a2a2a 例例1 (1 (见教材见教材P155P1
5、55，例，例1)1)分析：因为分析：因为 是二次根式，所以当是二次根式，所以当x-10 x-10时，它在时，它在实数范围内才有意义实数范围内才有意义.例例2 2（见教材（见教材P156P156，例，例2 2）分析：利用公式分析：利用公式 a a（a0a0）解答）解答.例例3 3（见教材（见教材P156P156，例，例3)3)分析：利用公式分析：利用公式 =a(a0)=a(a0)解答解答.2a2)(a1x 1.1.什么叫二次根式？什么叫二次根式？“”叫什么？叫什么？“”应应该怎样读？该怎样读？2.2.本节课介绍了二次根式的哪两个性质？本节课介绍了二次根式的哪两个性质？2第五章第五章 二次根式二次
6、根式 5.2 二次根式的乘法和除法 1.1.使学生会逆用算术平方根的性质进行二次根式使学生会逆用算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算的乘法运算.2.2.通过逆用积的算术平方根的性质进行二次根式通过逆用积的算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算培养学生逆向思维能力的乘法运算培养学生逆向思维能力.重点：重点：逆用积的算式平方根的性质进行二次逆用积的算式平方根的性质进行二次根式的乘法运算根式的乘法运算.难点：难点：二次根式乘法结果的化简二次根式乘法结果的化简.1.1.如图，在一块长为如图，在一块长为5454米，宽为米，宽为6 6米的长方形空地上米的长方形空地上种草皮，如果草皮每平方米种草皮，如果草
7、皮每平方米a a元，那么这块空地铺满草皮元，那么这块空地铺满草皮需要多少元？（学生独立作）需要多少元？（学生独立作）方法方法1 1的结果还不明朗，方法的结果还不明朗，方法2 2的结果是近的结果是近似值，方法似值，方法3 3的结果是准确值，但能否这样计算呢？是的结果是准确值，但能否这样计算呢？是什么运算？（二次根式的乘法），这节课我们来学习二什么运算？（二次根式的乘法），这节课我们来学习二次根式的乘法次根式的乘法.元）（(18636.5426.54)3(22aaa元）元，（(52.174.23.76.5426.54)1(aaa 上面问题中用到了：上面问题中用到了：，这样计算对吗？，这样计算对吗？
8、你是根据什么法则想到这样计算的呢？你是根据什么法则想到这样计算的呢？（a0,b0a0,b0）（a0a0，b0b0）你能用语言表达：你能用语言表达：（a0,b0a0,b0）吗？）吗？二次根式相乘，等于把它们的被开方数相乘二次根式相乘，等于把它们的被开方数相乘.abba6546.54baab abba 例例1 1 计算：计算：解：解：730731073102213522152215.32)2(;3232626.2)1(2.215.322;6.2)1(）（二次根式相乘，把被开方数相乘后，一定二次根式相乘，把被开方数相乘后，一定要将被开方数化简，化简的方法是把每个因数分解质要将被开方数化简，化简的方法
9、是把每个因数分解质因数，写成的形式，再用积的算式平方根的性质和进因数，写成的形式，再用积的算式平方根的性质和进行化简行化简.例例2 2 计算下列各式，其中计算下列各式，其中a0,b0,a0,b0,解：（解：（1 1）37035143514222ababbaaabaab15.5721575)2(22baabaabaaba2336.36322aababa1575)2(,63)1(2 例例3 3 不求值比较的大小不求值比较的大小:解：（解：（1 1）方法）方法1 1 由于由于 与与 都是正数，所以可都是正数，所以可以比较它们的平方的大小以比较它们的平方的大小 变式：比较变式：比较 与与 的大小的大小
10、24721829)2(9)2(3)32(2222,2054)5(2)52(2222352.22510322352)1(与）；（与 （2）22510340213302134021310421382545)22(22.52)5()225(222302131010323222)10(1032)3()103(这节课你有什么收获？这节课你有什么收获？（二次根式相乘，就是逆用积的二次根式的性质，（二次根式相乘，就是逆用积的二次根式的性质，注意结果要化简）注意结果要化简）第五章第五章 二次根式二次根式 5.3 二次根式的加法和减法 1.1.使学生理解二次根式加减运算的基础，首要步骤使学生理解二次根式加减运算
11、的基础，首要步骤是把各个二次根式化简，然后才加减是把各个二次根式化简，然后才加减.2.2.使学生理解和掌握二次根式加减的法则：把被开使学生理解和掌握二次根式加减的法则：把被开方数相同的二次根式的系数相加减，被开方数不变方数相同的二次根式的系数相加减，被开方数不变.3.3.使学生进行简单的二次根式的加、减运算使学生进行简单的二次根式的加、减运算.4.4.通过观察、分析、联想、计算等活动，树立学生通过观察、分析、联想、计算等活动，树立学生学好数学的自信心和培养学生概括、推理的能力学好数学的自信心和培养学生概括、推理的能力.重点：重点：二次根式加减运算法则的形成与应用二次根式加减运算法则的形成与应用
12、.难点：难点：化简二次根式，使之成为可加减的形式化简二次根式，使之成为可加减的形式.1.1.计算计算2a2a2 2b+3abb+3ab2 2+a+a2 2b-4abb-4ab2 2,并说明运算法则并说明运算法则.2.2.实数运算有哪些运算律？分配律用字母如何实数运算有哪些运算律？分配律用字母如何表示？表示？引导学生完成教材引导学生完成教材P167P167的的“动脑筋动脑筋”，请学生思考，请学生思考以下问题：以下问题：分析：分析：BEBEBC+CEBC+CE，即两个正方形的边长之和，即两个正方形的边长之和.正方形正方形ABCDABCD的面积为的面积为8 8，其边长为，其边长为 .正方形正方形CE
13、GHCEGH的面积为的面积为1818，其边长为，其边长为 ，252322188BE228 238 问题问题2 2：你能用运算律说明：你能用运算律说明的理由吗的理由吗？因为实数的运算满足乘法对加法的分配律，所以上因为实数的运算满足乘法对加法的分配律，所以上式成立式成立.由此得出：被开方数相同的二次根式相加减，只由此得出：被开方数相同的二次根式相加减，只要将系数相加减，被开方数不变要将系数相加减，被开方数不变.252)32(2322问题问题3 3：你能算出：你能算出 的结果吗的结果吗？解：解：可以看出，要将二次根式化简后才能进行加、减运算可以看出，要将二次根式化简后才能进行加、减运算.（1 1）将
14、算式中所有的二次根式化简；）将算式中所有的二次根式化简；（2 2）将被开方数相同的二次根式的系数相加减，被开方数）将被开方数相同的二次根式的系数相加减，被开方数不变不变.联想：这类似于整式加减法的合并同类项，二次根式的加减联想：这类似于整式加减法的合并同类项，二次根式的加减运算需要运用实数的加法交换律、结合律，以及乘法对于加法的运算需要运用实数的加法交换律、结合律，以及乘法对于加法的分配律分配律.383)53(353375277527 例例1 1 计算计算 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并二次
15、根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并.解：解：xxxxxx12)84(846416)2(.6416)2(;188)1(xx 252)32(2322188)1(例例2 2 计算计算53653252345122048)512()2048)(2().512()2048)(2(;123319483)1(3153)6312(3633312123319483)1(1.1.二次根式的加减运算怎样进行？依据什么道理？二次根式的加减运算怎样进行？依据什么道理？与什么运算有相似之处？与什么运算有相似之处？2.2.二次根式的加减运算中，首要的步骤是什么？依二次根式的加减运算中，首要的步骤是什么？依据哪些知识进行？据哪些知识进行？3.3.二次根式的加减运算中，要防止出现哪些错误二次根式的加减运算中，要防止出现哪些错误?
