1、角平分线的再认识角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本课结合几道比较典型的题目，给同学们介绍几种常用的解题方法，仅供参考。角平分线的思考问题1.角平分线从何而来？21OBAPOBA射线OP使得1=2角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。问题2.角平分线有何种性质以及如何判定？角平分线的
2、性质定理：在角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等NMABOPC已知AOP=BOP，点C在OP上，CMOA，CNOB垂足为M，NCM=CNNMABOPC已知AOB内，点C在OP上，CMOA，CNOB垂足为M，N，CM=CNOP为AOB平分线角平分线的判定定理：在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个 角的角平分线上问题3：如何做一个角的平分线？：CNMOBAOBA已知AOB.求作：AOB 的角平分线OC（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；（2）分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在AOB的内部相交于C；12MN（3）画射线OC，射线OC即为所求 N
3、MOBACNMOBA问题4.已知角平分线我们可以如何应用？利用角平分线进行角的计算例题1:如图，若B=42,C=70，AD平分BAC,你能求出图中哪些角的度数呢？DBCABAC=68BAD=CAD=34ADC=76，ADB=104问题4.已知角平分线我们可以如何应用？利用角平分线构造全等三角形例题2:如图，已知点C是MAN平分线上一点，请你在射线AM上取一点B,在射线AN上取一点D,使ABC ADC.MANCDBNAMCDBNAMCDBNAMCDBNAMC截取AB=AD（ABAC)截取AB=AD（ABAC)做CBAM于B，CDAN于D过C做BDAC角平分线做辅助线的基本方法：1.做角两边的高构
4、造全等 DABCNMDABC过点D做DMAB，DNAC垂足为M，N已知ABC中，AD为BAC平分线NMDABCADM ADN角平分线做辅助线的基本方法：1.做角两边的高构造全等 例题3:在ABC中，O是ABC和ACB平分线BE和CD的交点，A=60，求证：OD=OE OEDBAC过点O做OMAB，ONACOPBC垂足为M，N，PDOM EONMPNOEDCBAOM=OP=ONA=60ABC和ACB平分线BE和CD交于点OBOC=120DOE=120DOM=EONOD=OE角平分线做辅助线的基本方法：2.截长补短构全等DABCEDABCDABCF在AB上截取AE=AC，连接DE延长AC至F使AB
5、=AF，连接DFADE ADCADB ADF已知ABC中，AD为BAC平分线角平分线做辅助线的基本方法：2.截长补短构全等在AC上截取AB=AE，连接DEABD AED例题4:在ABC中，AD是角平分线，2C=B，证明：AC=BD+ABDABCEDABC AED=B=2C EDC=CDE=ECAC=BD+AB角平分线做辅助线的基本方法：3.截长补短构全等例题3:在ABC中，AD是角平分线，2C=B，证明：AC=BD+ABDABCFDABC在AB延长线上截取AF=AC，连接FD1.例题3还有没有其他证明方法2.角平分线做辅助线常见的方法常见的方法还还有有哪些哪些？角平分线做辅助线的基本方法：3.
6、做角平分线的垂线构造等腰三角形已知在ABC中，BD是角平分线，CDBD于DDBCAEDBCA延长BA，CD交于点EBCD BDEBCE为等腰三角形角平分线做辅助线的基本方法：3.做角平分线的垂线构造等腰三角形例题5:在RtABC中，C=90，AC=BC，BD是角平分线，AEBD于E 证明：BD=2AEDEABCFDEABC延长BC，AE交于点FBCD ACFBAF为等腰三角形AF=2AEAF=BDBD=2AE角平分线做辅助线的基本方法：4.平行线造等腰三角形 已知ABC中，CD为BCA平分线MDABCNDABCPDABC过点D做BC平行线交AC于MDMC为等腰三角形过点B做AC平行线交CD延长
7、线于N过点A做CD平行线交BC延长线于PBCN为等腰三角形ACP为等腰三角形DBAC角平分线做辅助线的基本方法：4.做平行线构造等腰三角形 例题6:如图，在ABCD中，线段AE，BF分别平分DAB和ABC，交CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M证明：DF=CE.EFMCABDAB/CDDEA=EABAE 平分DABDAE=BAEDA=DECB=CFDA=CBDE=CFDAE=DEADF=CE角平分线做辅助线的基本方法：总结DBNAMCDBNAMCDBNAMCDNAMC图中有角平分线，可向两边做垂线;图中有角平分线，可将图形对折看;角平分线加垂线，三线合一试试看角平分线平行线，等腰三角形出现
8、。练习：已知如图所示基本条件：（1）BE平分CBD（2）BCE+BDE=180（3）CE=DE以上三条其中两个作为条件，另一个作为结论，我们可以得到三个命题，请问：他们是否都是真命题？DBEC命题1:已知，如图：BE平分CBD，BCE+BDE=180求证：CE=DE方法1:过点E做CBD两边的垂线 方法2：在BD上截取BF=BC方法3：在BC上截取BG=BDMNDBECFDBECDBECGDBEC命题1:已知，如图：BE平分CBD，BCE+BDE=180求证：CE=DE方法4：做DEH=CEB交BD于点H方法5：做CEH=BED交BC于点HHDBECHDBECDBEC命题2:已知，如图：BCE
9、+BDE=180，CE=DE，求证：BE平分CBD过点E做CBD两边的垂线MNDBECDBEC命题3:已知：BE平分CBD，CE=DE，求证：BCE+BDE=180D1D2BEC课后练习：1.在ABC中，C=90，AD为BAC的平分线，DEAB，BC7，DE3.则BD的长为 ；2.如图，已知BQ是ABC的内角平分线，CQ是ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别 为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是 ；3.在ABC中，AD是中线，1=2，CE/AB，若BAC=120 AB=12，AC=8则EC的长度 .EDABC M N K Q B A C课后练习答案：1：在ABC中，C=90，AD为BAC的平分线，DEAB，BC9，DE3.则BD的长为 6 ；2.如图，已知BQ是ABC的内角平分线，CQ是ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别 为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是QM=QN=QK ；3.在ABC中，AD是中线，1=2，CE/AB，若BAC=120 AB=12，AC=8则EC的长度 5 .EDABC M N K Q B A C
