1、第一章 数列1 1数列1 1.1 1数列的概念数列的概念1.数列的有关概念一般地,按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列一般形式可以写成 a1,a2,a3,an,简记为数列an,其中数列的第1项a1,也称首项;an是数列的第 n项,也叫数列的通项.【做一做1】答案:D 2.数列的分类按数列的项数是否有限,分为有穷数列和无穷数列.项数有限的数列叫作有穷数列;项数无限的数列叫作无穷数列.【做一做2】下列说法中哪些是正确的?哪些是错误的?并说明理由.(1)0,1,2,3,4是有穷数列;(2)所有的自然数能构成数列;(3)同一个数在数列中可能重复出现;(4)数列1,2,
2、3,4,2n是无穷数列.解:(1)错误.0,1,2,3,4是集合,不是数列.(2)正确.如将所有的自然数按从小到大的顺序排列.(3)正确.数列中的数可以重复出现.(4)错误.数列1,2,3,4,2n,共有2n项,是有穷数列.名师点拨有穷数列与无穷数列的表示方法:(1)有穷数列一般表示为a1,a2,a3,am;无穷数列一般表示为a1,a2,a3,am,.(2)对于有穷数列,要把末项(即最后一项)写出来,对于无穷数列,不存在最后一项,要用“”结尾.3.数列的通项公式如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 an=f(n),那么这个式子就叫作这个数列的通项公式,数列的通项公式就
3、是相应函数的解析式.【做一做3】写出下列数列的通项公式:(1)0,2,4,6,8,;(2)1,2,4,8,;(3)1,4,9,16,;(4)-1,1,-1,1,.解:(1)an=2(n-1).(2)an=2n-1.(3)an=n2.(4)an=(-1)n.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)数列2,6,8,10,12可以表示成2,6,8,10,12.()(2)1,1,1,2,2,2,3,3,3,不能构成数列.()(3),2,3,4,n是无穷数列.()(4)数列的通项公式不同,该数列也可能相同.()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三思维辨析
4、【例1】给出以下说法:数列1,3,5,7,1的第5项是1;数列10,100,1 000与1 000,100,10是相同的两个数列;数列n2+1的第10项是100;数列5,4,3,2,1,是有穷数列.其中正确说法的序号是.解析:正确;所给两个数列中数的次序不同,不是同一数列,错误;该数列的第10项应该是102+1=101,错误;数列后面有“”,表示无穷数列,错误.答案:探究一探究二探究三思维辨析反思感悟正确理解数列及相关概念,注意以下几点:(1)数列与数集不同,数集具有互异性和无序性,而数列中各项可以相同,但与顺序有关;(2)数列a1,a2,an,可以记为an,但不能记作a1,a2,an,.探究
5、一探究二探究三思维辨析变式训练1其中正确说法的序号是.解析:错误,当n=5时,a5=25+1=11;正确;错误,这是因为数列是按一定次序排成的一列数;正确.答案:探究一探究二探究三思维辨析【例2】写出下列数列的一个通项公式:分析:根据给出数列的前几项,通过归纳、猜想写出它的一个通项公式时,要分析各项与对应序号间的关系,得出一个合适的函数解析式,再验证是否合适.探究一探究二探究三思维辨析解:(1)数列中的各项都是数列2n中对应各项减去1得到的,因此通项公式是an=2n-1.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.在根据数列的前几项求数列的一个通项公式时,要注意观察每一项的
6、特点,可使用添项、还原、分割等方法,转化为一些常见数列的通项公式来求解.具体可参考以下几个思路:(1)统一项的结构,如都化成分数、根式等;(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式;(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再以(-1)n或(-1)n+1处理符号;(4)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.探究一探究二探究三思维辨析2.根据前几项写通项公式时,结果可能不唯一,如本例(5).3.善于对所写的通项公式的正确性进行验证.令通项公式中的n=1,2,3,得到数列的前三项,看是否与实际相符.若符
7、合,则写出的通项公式是正确的,否则是错误的.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2写出下面各数列的一个通项公式.解:(1)通过观察,发现各项分别减去1,变为2,4,8,16,32,其通项公式为2n,故原数列的一个通项公式为an=2n+1.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟数列的通项公式给出了第n项an与它的项数n之间的关系.已知数列的通项公式,只要用项数代替通项公式中的n,即可求出相应的项.反过来,判断某一个数是不是数列中的项,就用数列的通项公式建立以n为变量的方程,若方程有正整数解,则该数为数列中的项,n的值即为该数在数列中的项数;若方程没有
8、正整数解,则该数不是数列中的项.探究一探究二探究三思维辨析变式训练30和1是不是数列an中的项?如果是,那么是第几项?数列an中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?探究一探究二探究三思维辨析所以n2-21n=2,即n2-21n-2=0.因为方程n2-21n-2=0不存在正整数解,所以1不是an中的项.假设an中存在第m项与第(m+1)项相等,即am=am+1,则解得m=10.所以数列an中存在连续的两项,第10项与第11项相等.探究一探究二探究三思维辨析忽略了相邻正方形的公共边而致误【典例】图中由火柴棒拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现:第n个图形中,火
9、柴棒的根数为.错解:第一个图形为正方形,火柴棒的根数为4;第二个图形有两个正方形,火柴棒的根数为42;第n个图形有n个正方形,火柴棒的根数为4n.探究一探究二探究三思维辨析正解:因为每两个相邻的正方形均有1条公共边,所以第二个图形的火柴棒根数为23+1.第三个图形的火柴棒根数为33+1.第n个图形的火柴棒根数为3n+1.答案:3n+1纠错心得本题错误的根源是对图形认识不到位,实际上虽然第n个图形中有n个正方形,但每相邻的两个正方形都有公共边,因此解决此类问题需要看清图形间的内在联系,并找到相关规律再进行归纳.探究一探究二探究三思维辨析变式训练下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前
10、4项,则这个数列的一个通项公式为()A.an=3nB.an=3n-1C.an=3n-2nD.an=3n-1+2n-3答案:B123451.下列说法中错误的是()A.数列4,7,3,4的第一项是4B.数列an中,若a1=3,则从第2项起,各项均不等于3C.数列-1,0,1,2与数列0,1,2,-1不相同D.-1,1,2,0,-3是有穷数列解析:虽有a1=3,但数列中其他的项还可以等于3.答案:B123452.已知数列an的通项公式为an=n2-n,则下列结论正确的是()A.第2项a2=0B.0不是数列中的一项C.21是数列中的一项D.42是数列中的一项解析:令n2-n=42,解得n=7(n=-6舍去).故42是数列的第7项,其余选项均错.答案:D123453.已知数列1,2,4,7,11,16,x,29,37,则x等于()A.20B.21C.22D.23答案:C123454.写出下列数列的一个通项公式.12345
