1、 一 方差分析的意义 工业生产中产品质量优劣，农业生产中产量高低，由诸多因素造成。如农业生产中，肥料，浇灌，良种，管理等；化工生产中，原料成分，催化剂，剂量，反应温度，压力，溶液，机器设备与操作人员水平。每种因素的改变，可影响产品质量与数量，那么在诸因素中找出对质量的某种指标有显著影响的因素，还要弄清这些显著因素在什么状态下（水平）起的作用大。方差分析方差分析就是根据试验结果进行分析，鉴别各个因素对试验结果影响的有效方法。试验指标：在试验中要考察的指标称为试验指标。因素：影响试验指标的条件称为因素。可控因素：如，反应温度，原料剂量，浓度。不可控因素：如，测量误差，气象条件等。水平：因素所处状态
2、称为因素的水平。单因素试验：试验中只有一项因素在改变称为单因素试验。否则就称多因素试验。例1 设有三台机器，用来生产规模相同的铝合金薄板,取样测量薄板至千分之一厘米，得结果如下表所示；机器1 机器2 机器3 0.236 0.257 0.258 0.238 0.258 0.264 0.248 0.255 0.259 0.245 0.254 0.267 0.243 0.261 0.262 x=0.242 x=0.256 x=0.262 这里，试验指标是薄板的厚度。机器为因素，不同的三台机器是这个因素的三个不同的水平。试验的目的是为了考察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著差异。例2 下面列出了随机选
3、取的，用于计算器的四种类型的电路的响应时间（以毫秒计）。表9.2 电路的响应时间 类型1 类型2 类型3 类型4 19 20 16 18 22 21 15 22 20 33 16 19 18 27 26 15 40 17这里，试验指标是电路的响应时间。电路类型为因素，这一因素有四个不同的水平。试验的目的是为了考察各种类型的电路的响应时间有无显著差异。二 单因素试验 在例 1 中，我们在因素的每一个水平下进行了独立试验，其结果是一个随机变量。表中的数据可看成来自三个不同总体的样本值。将各个总体的均值依次记作1,2,3,按题意需检验假设 H0 ：1 =2=3 H1 ：1,2,3 不全相等。现在若假
4、设各总体均为正态变量，且各总体的方差相等，那么这是一个检验同方差的多个正态总体均值是否相等的问题。设因素A有s个水平A1,A2,As,在水平Aj(j=1,2,s)下，进行了nj(nj2)次独立试验，得到如下表的结果 表9.4 水平观察值 A1 A2 As x11 x12 x1s x21 x22 x2s xn1 1 xn2 2 xns s 样本总和 T.1 T.2 T.s 样本均值 .总体均值 1 2 .s1.x2.xsx.我们假定：各个水平Aj(j=1,2,s)下的样本x1j,A2j,Anj j 来自具有相同方差s2，均值分别为j(j=1,2,s)的正态总体N(j,s2),j与s2未知。且设不
5、同水平Aj 下的样本之间相互独立。),(2sjijNx由于),0(x2ijsNj即有可写成则记可以看成随机误差故ijijjijjijxxx,.s,.1,2,j ;n ,.1,2,i ,jijjijx),0(2sNij独立，各 ij)1(其中j与s2均为未知参数，（1）式称为单因素试验方差分析的数学模型。方差分析的任务是对于模型（1）：10 检验s 个总体N(1,s2),N(s,s2)的均值 是否相等 H0 ：1 =2=s,(2)H1 ：1,2,s 不全相等。20 作出未知参数1,2,s,s2的估计。(3)n1 1sjjjn记 ,nn 1j称为总平均。再引入其中sj(4)s,.1,2,j ,jj
6、的效应。称水平此时有jssAnnj2211,0.n 利用这些记号，模型（1）可改写成,ijjijx),0(2sNij独立各 ij)1(sjjjjsjnin1.,.,2,1,.,2,1,0而假设（2）等价假设 H0 ：1 =2=s=0 (2)H1 ：1,2,s 不全为零。这是因为当且仅当1 =2=s 时,j =,即 j=0.三 平方和的分解引入总平方和(5)(S 112Tsjniijjxx(6)1x 11sjniijjxn其中(7)11.jniijjjxnx是数据的总平均。ST 又称总变差。记水平Aj下的样本平均值为 ，即jx.则有sjniijjxx112T)(S sjnijjijjxxxx11
7、2.)()(sjnijijjxx112.)(sjnijjxx112.)(sjnijjijjxxxx11.)(2sjnijjijjxxxx11.)(2 而sjnijijjjxxxx11.)()(2.0)(211.sjnijjijjjxnxxx于是我们将ST分解成为：(8),S TAESS 其中(9)(112.sjnijijEjxxSsjnijAjxxS112.)(sjjjxxn12.)(sjjjxnxn122.(10)上述SE的各项表示在水平Aj 下，样本观察值与样本均值的差异，这是由随机误差引起的,SE称误差平方和误差平方和。而SA 的各项表示在水平 Aj 下样本平均值与数据总平均的差 异，这
8、是由水平Aj及随机误差引起的.SA称效应平方和效应平方和。三 SE，SA 的统计特性(11).)(.)(12.121.11snisisniiExxxxS故有倍的的样本方差是总体注意到,1),()(212.jjnijijnNxxjsjnijjijnxx1222.).1(/)(s分布的可加性知由）式中各平方和独立，独立，故（因各211ijx,)1(/122sjjEnSs(12),(/22snSEs即的自由度为式还知，由这里E1jS(12).nn sj个变量是的统计特性，因我们研究sSSAA ,且有sn(13).)()E(S 2Essn 一个线性约束条件有的平方和，它们之间仅（),.,2,1)(.s
9、jxxnjj)(.1xxnnjjsjj)(.1xxnjsjj,011xnnxsjjniijj且可证的自由度是故知.1sSA(15).)1()(122sjjjAnsSEs(16).1(/S 22A0sHSSEAs为真时独立，且当与还可证假设检验问题的拒绝域四、(17),)1SE(152A0ssH 为真时）式知，当由（(18)1-s1)1SE(,02s1j22A121ssjjsjjjnsnH此时为真时，而当(19),)SE(132Es sn）式知，又由（的偏估计。都是是否为真，即不管20)/(ssnSHE的特性，综上所述，根据分式)/()1/(snSsSFEA).,1()/()1/()/()1/(
10、22snsFsnSsSsnSsSEAEAss为真时，确定。当由显著性水平其中的拒绝域具有形式）知检验问题（0)/()1/(2HkksnSsSFEA(20),1()/()1/(2snsFsnSsSFEA的拒绝域为）由此得检验问题（单因素试验方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方 F 比 因素A SA s-1 误差 SE n-s 总和 ST n-11sSSAAsnSSEEEASSF sjniijniijjjxTsjx11.1.j,.,2,1,T 记简便公式计算。在实际中，可用下面的即有(21).,s1j2.12.22.11112.222ATEsjjjjjAsjnisjniijijTSSSnTn
11、TxnxnSnTxxnxSjj，完成这一假设。试取不全相等。中需检验假设如上所述，在例例05.0 ,:H ,:H 1 4 32113210,15,5n3,s 321nnn现在解315122.2.00124533.015/)8.3(963912.015jiijTTxS00105333.015/(3.8)-)31.128.121.1(5122222.32.nTnTSjjjA.000192.0SEATSS,12,21,141,STsnsnSSEA的自由度依次为单因素试验方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方 F 比 因素A 0.00105333 2 0.00052661 32.92 误差 0.0
12、00192 12 0.000016 总和 0.00124533 14板厚度有显著差异。认为各台机器生产的薄下拒绝故在水平因,05.0,92.3289.3)12,2(F 00.05H 五、未知参数的估计 我们已经知道，不管H0是否为真snSE2s式知的无偏估计。又由是)7(),14(2ss.1,2,.,j ,)(1)xE(,)xE(1.jjniijjxEn的无偏估计。，分别是故jjx.j ,x 不全为零，由于则效应又若拒绝s,.,H210的无偏估计。是知jjjjxx.j s1,2,.,j ,的估计。可证的均值差和时，常需作出两总体当拒绝kjkjkjNNss),(),(H 220).(11)()x
13、(.jsntnnSxkjEkjk(22).11)(x 12/.jkjEkkjkjnnSsntx的置信区间为的置信度为据此，可得均值例例5 求例4中的未知参数s2,j,j(j=1,2,3)的点估计及均值差的置信度为0.95的置信区间。(),242.0 ,000016.0/112xsnSEs,262.0 ,256.03322xx,011.0 ,253.011xxx.009.0 ,003.03322xxxx均值差的区间估计如下。由t0.025(n-s)=t0.025(12)=2.1788得)11()12(025.0kjEnnSt006.05210161788.26故 u1-u2,u1-u3,及u2-
14、u3,的置信度为0.95的置信区间分别为),008.0,020.0()006.0256.0242.0(),014.0,026.0()006.0262.0242.0().0 ,012.0()006.0262.0256.0(例6 设在例2中的四种类型电路的响应时间的总体均为正态且各总体的方差相同。又设各样本相互独立。试取水平0.05,检验各个类型电路的响应时间是否有显著差异。解 分别以 1,2,3,4,记类型I,II,III,IV四种电路响应时间总体的平均值。我们需检验(0.05)H0:1=2=3=4,H1:1,2,3,4,不全相等。现在 n=18,s=4,n1=n2=5,n4=3,44.71418386899218224112TxSjniijTj222242221159386 9414192318.98,185318jAjjTTSn（）.46.395ATESSSST,SA,SE的自由度依次为17，3，14，结果载于下表。方差 来源平方和自由度均方F比因 素误 差3 1 8.9 83 9 5.4 6 3 1 41 0 6.3 32 8.2 53.7 6总 和7 1 4.4 4 1 7 因F0.05(3,14)=3.343.76,故在水平0.05下拒绝H0，认为各类型电路的响应时间有显著差异。End
