1、目录第一章自动控制系统的基本原理第一节第二节第三节第四节控制系统的工作原理和基本要求控制系统的基本类型典型控制信号控制理论的内容和方法第二章控制系统的数学模型第一节第二节第三节第四节机械系统的数学模型液压系统的数学模型电气系统的数学模型线性控制系统的卷积关系式第三章拉氏变换第一节第二节第三节第四节傅氏变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换的基本定理拉普拉斯逆变换第四章传递函数第一节传递函数的概念与性质第二节第三节第四节线性控制系统的典型环节系统框图及其运算多变量系统的传递函数第五章时间响应分析第一节第二节第三节第四节概述单位脉冲输入的时间响应单位阶跃输入的时间响应高阶系统时间响应第六章频率响应分析第七章
2、第一节第二节第三节第四节第一节第二节第三节第四节谐和输入系统的定态响应频率特性极坐标图频率特性的对数坐标图由频率特性的实验曲线求系统传递函数控制系统的稳定性稳定性概念劳斯判据乃奎斯特判据对数坐标图的稳定性判据第八章控制系统的偏差第一节控制系统的偏差概念第二节第三节输入引起的定态偏差输入引起的动态偏差第九章控制系统的设计和校正第一节综述第二节第三节第四节第五节第六节第七节第一章希望对数幅频特性曲线的绘制校正方法与校正环节控制系统的增益调整控制系统的串联校正控制系统的局部反馈校正控制系统的顺馈校正自动控制系统的基本原理定义：在没有人的直接参与下，利用控制器使控制对象的某一物理量准确地按照预期的规律
3、运行。第一节控制系统的工作原理和基本要求一、控制系统举例与结构方框图例1一个人工控制的恒温箱，希望的炉水温度为100C,利用表示函数功能的方块、信号线，画出结构方块图。图 1人通过眼睛观察温度计来获得炉内实际温度，通过大脑分析、比较，利用手和锹上煤炭助燃。比较100 C0给定的温度手和锹煤炭眼睛实际的炉水温度图 2例2图示为液面高度控制系统原理图。试画出控制系统方块图和相应的人工操纵的液面控制系统方块图。解：浮子作为液面高度的反馈物，自动控制器通过比较实际的液面高度与希望的液面高度，调解气动阀门的开合度，对误差进行修正，控制器水箱体浮子可保持液面高度稳定。图 3控制器希望的液位高度气动阀门水箱
4、浮子实际的液位高度图 4头脑希望的液位高度手和阀门水箱眼睛实际的液位高度图 5结构方块图说明：1. 信号线：带有箭头的直线（可标时间或象函数）U(t),U(s)；2. 引用线：表示信号引出或测量的位置；3. 比较点：对两个以上的同性质信号的加减运算环节；4. 方 框：代表系统中的元件或环节。方块图中要注明元件或环节的名称，函数框图要写明函数表达式。二控制系统的组成1. 给定环节：给出输入信号，确定被控制量的目标值。2. 比较环节：将控制信号与反馈信号进行比较，得出偏差值。3. 放大环节：将偏差信号放大并进行必要的能量转换。4. 执行环节：各种各类。5. 被控对象：机器、设备、过程。6. 测量环
5、节：测量被控信号并产生反馈信号。7. 校正环节：改善性能的特定环节。三控制系统特点与要求1. 目的：使被控对象的某一或某些物理量按预期的规律变化。2. 过程：即“测量对比补偿”。或“检测偏差纠正偏差”。3. 基本要求：稳定性 系统必须是稳定的，不能震荡；快速性 接近目标的快慢程度，过渡过程要小； 准确性第二节控制系统的基本类型1. 开环变量控制系统（仅有前向通道）控制元件被控对象X (t)i图 6X (t)02. 闭环变量控制系统XX (t)iX (t)控制元件被控对象反馈环节0开环系统：优点：结构简单、稳定性能好； 缺点：不能纠偏，精度低。闭环系统：与上相反。第三节 典型控制信号输入信号是多
6、种多样的，为了对各种控制系统的性能进行统一的评价，通常选定几种外作用形式作为典型外作用信号，并提出统一的性能指标，作为评价标准。1. 阶跃信号x(t)= 0t0X(t)=At0X (it)0At图 7当 A=1 时，称为单位阶跃信号，写为1（t）。阶跃信号是一种对系统工作最不利的外作用形式。例如，电源突然跳动，负载突然增加等。因此，在研究过渡过程性能时通常都选择阶跃函数为典型外作用，相应的过渡过程称为阶跃响应。2. 脉冲函数数学表达式 x(t)=A/T0tTX(t)=0其它X(t)一TA0t图 8脉冲函数的强度为A，即图形面积。d单位脉冲函数（函数）定义为(t)= dt 1(t)性质有: (t
7、)=0t0(t)=t0且 d (t)dt = 1-X(t) (t)0t图 9强度为A 的脉冲函数 x(t)也可写为 x( t)=A(t)必须指出，脉冲函数(t)在现实中是不存在的，它只有数学上的意义，但它又是很重要的很有效的数学工具。3. 斜坡函数（恒速信号） x(t)=Att0x(t)=0t0X(t)0t图 10在研究飞机系统时，常用恒速信号作为外作用来评价过渡过程。4. 恒加速信号x(t)=At2/2t0x(t)=0t0X(t)0图 11t在研究卫星、航天技术的系统时，常用恒加速信号作为外作用来评价过渡过程。5. 正弦函数（谐波函数、谐和信号） x(t)=xm.sin( t+ )t0x(t
8、)=0t0-X(t)X m0一2 TTt图 126. 延时函数（信号） f(t)=x(t- )tf(t)=0t0f(t)X(t)X(t- ) 0t图 137. 随机信号（使用白噪声信号代替） 第四节 控制理论的研究内容和方法一经典控制理论1. 主要内容：分析掌握系统的特性，进行系统性能的改善； 实验对系统特性和改善措施进行测试；综合按照给定的静态、动态指标设计系统。2. 方法时域法以典型信号输入，分析输出量随时间变化的情况； 频域法以谐和信号输入，分析输出量随频率变化的情况；根轨迹法根据系统的特征方程式的根，随系统参数的变化规律来研究系统（又称图解法）。二现代控制理论1. 引入状态空间概念；2
9、. 动态最佳控制；3. 静态最优控制；4. 自适应和自学习系统。图 14 瓦特调速器第二章控制系统的数学模型为了确定控制系统内部各物理量之间定量关系，必须建立数学模型。这一章中心问题是如何从控制系统实体中抽象出数学模型。第一节 机械系统的数学模型1. 机械平移系统（应用牛顿定律）F=0, F=m a&xF(t)-c-kx=m&x&或F(t)-F (t)-F (t)=m &x&ckxFc(t)=阻尼器产生的阻尼力，为c(t)&x&F (t)=弹性恢复力，为 kx(t)kx&整 理 ：m +c +kx=F(t)2. 机械旋转系统J q&J转动惯量c阻尼系数K刚度系数(t)+cq&(t) +kq(t
10、)=M(t)KmF(t)CX(t)图 14图 15 3机械传动系统参数的归算机械系统的运动形式：旋转运动、直线运动。机械系统的组成元件：齿轮、轴、轴承、丝杠、螺母、滑块等。对一个复杂的大系统，必须把各部件参数归算到同一部件上。在这个部件的惯性力、阻尼力、弹性恢复力称为当量参数。如何归算？采用单因素法。31 惯性参数的归算1. 转动惯量的归算将图示系统中的J1、J2 和 J3 归算到a 轴上。Z1Z2Z1Z2a J1 ,1b J2 ,2CJ3 ,3图 16列各轴力矩平衡方程式：dwa 轴：M=J1dt + Mb-adwb 轴：Ma-b=J2 dtdw+ Mc-bc 轴：Mb-c=J3 dtF.m
11、z1 2F.mz 1 2Mb-a负载力矩；Ma-b是 b 轴的主动（驱动）力矩。MzMz列关系式：b-a = 1 ， 同理 c-b =2 力相等关系M由线速度相等关系：a-bz M1z b-c2mz1 1 2 =mz 12 2wzwz得2 = 1 ， 同 理，3 =2wz 11wz 22代入各关系式，得ZzzdwdwM(t)=M=J +J ( 1 )2+J3( 1 2 )21 = J11 2 Z 1z z 12dta dtJa称为归算到 a 轴上的归算转动惯量。)推之，对于系统有n 个轴，归算到a 轴时，Ja =ni=1J (U 2iiUi是从 a 轴到第i 轴的总速比，即主动齿轮齿数积/被动
12、齿轮齿数积。2. 移动质量归算为转动惯量列运动平衡方程式dw丝杠：M=Jdt +M1dv滑块: F=m dt =F 轴式中：M1 是滑块作用于丝杠的力矩；F 轴是丝杠作用于滑块的轴向力。为求M 与F 之间的关系,列关系式,把丝杠按D 展成平面。tg=F 周/F 轴=S/D1D 2Dp DM由 关 系 式 F 周 2 =M1, 则 F 轴 =F= S Vn S tS2p M1=S根据运动关系wdw= n 2pt= 2p代入到 M=J dt+M1 中，整理后得SM=J+m( 2pSJ=J+m ( 2p)2)2dwdw dt =J dtmVCMJ ,图 17VF周S导程F= Fa周 D图 18第二节
13、 液压系统的数学模型分析思路（见图 19）：划分为两个环节。滑阀： 输入量 xi(t)输出量 (t)（中间变量）液压缸：输入量 (t)输 出 量 xo(t)液压缸X (t)0KmPP12CPQ(t)F(t)1P2PPQ(t)21滑阀P建立各元件方程式图 191、滑阀流量方程式(t)=fx (t), r , 其 中ilrr - r压强差l = 12流量(t)是阀芯位移 xi(t)函数，同时又是负载压强差 r l 的函数，具有非线性关系。i如果把非线性问题线性化，这是考虑在 x (t) 额定工作点附近可展成泰勒级数办法，则(t)=k x (t)-k r(1)q ip l其中 kq 是流量增益系数，
14、kp 是压力影响系数。（1）式是根据试验数据修正而来。2、液压缸工作腔液体流动连续方程式v(t)=A x&(t)+k r +r&(2)ot l4bltA工作面积，k 漏损系数，V液体体积压缩率， b 弹性模量。在不考虑液体的的可压缩性，又不考虑泄漏，（2）式可简化为(t)=A x&o(t)（3）3、液压缸负载平衡方程式A r =m &x& (t)+c x& (t)+kx (t)+F(t)(4)looo若自由状态，即 F(t)=0,则A r =m &x& (t)+c x& (t)+kx (t)（5）looo4、系统的运动方程式l消去中间变量r 和(t)，得m &x& (t)+c x& (t)+（
15、k+A2/ k ) x (t)=Ak x (t)/k(6)oo0q ip若外部系统阻尼、刚度系数不受影响，即c=0,k=0,惯性力不考虑。则kqxi(t)=Axo(t)(7)这是来多少油出多少油的关系式。第三节 电气系统的数学模型1. 阻容感网络系统u (t)iRL Cu(t)0图 20由基尔霍夫第一定律（封闭系统）ni=1Ui(t) = 0Ui(t)-UR(t)-Uc(t)-UL(t)=01Ui(t)-Ri(t)- C i(t)dtdi(t)i(t )-L dt =0dUi(t)d 2i(t)di(t)1=L+R+ 二阶微分方程dtdt 2dtc2. 放大器网络系统R2R1i-(t)2(t)
16、1+ iu (t0(t)3u (t)i i)图 211） 比例运算放大器n由j =1ij(t)=0i1(t)=i2(t)+i3(t)因为放大器内阻很大，i3(t)0，于是有i1(t)U即ii2(t)(t) - UR1UA =i1(t)=i2(t)=A- U (t)oR2（引入：Uo(t)=-UA=-(104-106)UA 由于 很大,UA0）RRUO(t)=(1+ 2 )UA(t)- 2 Ui(t)RR112） 积分运算放大器R1i(t)2(t)u (t0Cu (t)i i)1图 22同前分析过程。i (t)= Ui (t) ;U0(t)= 1 t i(t)dt1 t U(t)dt 由 i (
17、t) i (t) 而 来1Rc 0 21= R c 0i121输出与输入之间存在积分关系。3） 微分运算放大器RCi (t)2(t)u (t02u (t)i i)1图 23由 Ui(t)=1 ti (t)dt 得 i (t)=cdU (t)ic 0 11dtU (t)dU (t)i (t)=0, 由 i (t)i (t) 关系式，得U (t)=R Ci2R12202dt输出与输入之间存在微分关系。第四节 线性控制系统的卷积关系式系统为建立输出与输入之间的关系，常利用卷积关系式。一.线性控制系统的权函数X (it)h (t)X (0t) (t)系统图 24h(t)设图示系统，任意给输入量 xi(
18、t)，输出量为 xo(t)。当 xi(t)=(t)，即为单位脉冲函数，此时的输出（也称为响应）xo(t)记为h(t)。h(t)称为系统的单位脉冲响应或称为权函数。若输入脉冲发生在 时刻，则(t)和 h(t)曲线都会向右移动 ，形状不变。X (t)iX (t)iX (j.t)i0 = j.tt tt=n t图 25-1即 xi(t)= (t1)，对应的 xo(t)= h(t1)， 其中 t1=t-定义：1(t- )= d t t +t(t- )=0其它这里(t)t，t=t二、任意输入响应的卷积关系式当 xi(t)为任意函数时，可划分为n 个具有强度Aj 的脉冲函数的叠加，即i(t) (t) (t
19、-)-1-t0 t = j. t tXt图 25-2(0t)h (t)h (t- )0 t tXtXi（t）=nj =1图 25-3A d (t - jdt) j其 中 Aj=xi（jt）. t=面积=强度在某一个脉冲函数Aj(t-jt)作用下，响应为 Ajh(t-jt)。系统有n 个脉冲函数，则响应为：nxo(t)=A h(t - jd t)n jx ( jdt).dt.h(t - jdt)ij =1j =1t，j. t= ，t=d=当 n 时， ，n tx (t)= t x (t).h(t -t )dt卷积关系式o0 i上式说明“任意输入xi(t)所引起的输出 xo(t)等于系统的权函数h
20、(t)和输入 xi(t)的卷积”。三、卷积的概念与性质定义：若已知函数f（t）和g（t），其积分 -f (t ).g(t -t )dt 存在，则称此积分为f（t）和g（t）的卷积，记作 f (t) * g (t) 。性质：1、交换律f (t) * g(t) = g(t) * f (t)证明：令 t- =t1 d =-dt1（ =t-t1）f (t) * g (t) f (t ).g(t -t)dt- f (t - t )g (t )dt=-111= g(t ) f (t - t )dt（左=右，变量可代换）证毕。-2、分配律( )1 ( )11( )( )( )( )( )f t * ft12
21、+ f t3= f t1* ft2+ f t1* f t33、若t0 时，f（t）=g（t）=0，则f (t) * g (t) = t f (t )g(t -t )dt0f（t）输入；g（t）系统；x0（t）输出x0（t）=f (t)g (t)0g()g()=e-0四卷积积分的图解计算积分上下限的确定：下限取 f（ ）和g（t- ）值中最大一个； 上限取 f（ ）和g（t- ）值中最小一个。f(t)f(t)=1(t)01g(t)g(t)=e-t0tf( )1tg(- )g(- )=e0g(t- )0tg(t- )g(t- )f( )10t图 26第三章 拉普拉斯变换第一节 傅氏变换（傅立叶变换
22、）一、傅氏级数的复指数形式（对周期函数而言，略讲）二、非周期函数的傅氏积分T非周期函数f（t）可以看作是T 周期函数f （t），即f（t）= limfTT (t) ， 若 f（t）在(-, ) 上满足：1、在任一有限区间上满足狄氏条件（10 连续或只有有限个第一类间断点；20 只有有限个极值点）；2、在(-, ) 上绝对可积（ - f (t)dt 收敛）。f（t）=1 f (t ) e- jwt dt ejwt .dw非周期函数的积分式2p - -三、傅氏变换1、傅氏变换概念在傅氏积分式中，令 F (w ) = -f (t) e- jwtdtt 是积分变量，积分后是w 的函数。称F（）=Ff（
23、t）傅氏变换f（t）=F-1F（）傅氏逆变换2、傅氏变换的缺点说明10 条件较强，要求f（t）绝对收敛。做不到。例如，1（t）、Asin t，它们的积分- f (t)dt 均发散，即 Ff（t）不存在，无法进行傅氏变换。20 要求f（t）在(-, ) 有意义，而在实际中， t0 常不定义。解决的办法：10 将f（t）乘以收敛因子e-t使积分 -f (t)e-st dt收敛（0）；(-, )(0, )20 将 f（t）乘以 1（t），使当 t0 时，函数值为零。可将积分区间由于是傅氏变换变形为拉氏变换Lf（t）：换成。Lf（t）= f (t).1(t).e-st e- jwt .dt = f (
24、t) e-(s + jw)t.dt = f (t).e- st.dt其 中 S=o _+ jw00复变量。成立的条件是 Re（s）=0经过处理，能解决大部分工程上的问题。这就是Laplace 变换(F.L.Z.H.W.X).第三节拉普拉斯变换(Laplace)一. 定义:1.若 t 0 时,x(t)单值;t0e0则称 X(s)= x(t) e- stdt 为 x(t)的拉氏变换式,记作0X(s)=Lx(t)X(t)=L-1X(s)拉氏逆变换二 . 举 例1. 脉冲函数(t)的拉氏变换L(t)=12. 单位阶跃函数 x(t)=1(t)=1 的拉氏变换X(s)=L1(t)= 1.e-st.dt =
25、 1 ,Re(s)0 即 00s3x（t）= e at ， a 常数w0X (s) =L e at = e-( s-a)tdt =1s -aRe(s)0 即 a4、x（t）=sin w t，常数X (s) =Lsin w t= sinw t.e-st.dt =01 ejwt - e- jwt e-st .dt2 j 0=111w-=2 j s - jws + jws 2 + w 2Re(s)05X（t）=tn幂函数的拉氏变换利用伽玛函数方法求积分。nX (s) =L（t ）= t n .e- st .dt0G(n) = t n-1e-t .dt0G(n + 1) = t ne-t .dtG 函
26、数标准形式0u令 st=u，t= s1tn=s-nun dt= s du， 则X (s) = s -n .u n .e-u .du.s -1 =1 une-u du =1G(n + 1)0s (n+1)n!0s (n+1)若 n 为自然数，X（s）=L（tn）=Re(s)0s (n+1)比如：x（t）=t，X (s) = 1s 2x（t）=t2 x（t）=t3， X (s) = 2s3， X (s) = 6s 4第三节 拉氏变换的基本定理与傅氏变换的定理差不多，但有的定理不相同，同时比傅氏变换定理多也许一些。1、线性定理（比例和叠加定理）若 Lx1（t）=X1（s）， Lx2（t）=X2（s）
27、 Lk1x1（t）+k2x2（t）=k1X1（s）+k2X2（s） 例题x（t）=at2+bt+cX (s) =Lat2+bt+c=aL（t2）+bL（t）+cL（1）= 2a + b + cRe(s)0s 3s 2s2、微分定理若 Lx（t）=X（s），则 L x& （t）=s2X（s）-x（0）x（0）是x（t）的初始值，利用分部积分法可以证明。推论：L &x&(t) = s 2X (s) - sx(0) - x&(0)、Lx（n）（t）=snX（s）-sn-1x（0）-、x（0）（n-1）注意大小写， 小写为时间函数。若初始条件全为零，则Lx（n）（t）=snX（s） 3、积分定理若 L
28、x（t）=X (s) ，则 L t x(t )dt01 X (s)= s推论：L t .t x(t ) dt (n)1 X (s)00= sn4、衰减定理（复数域内位移性质）若 Lx（t）= X (s) ，则 L e- st .x(t) = X (s + a )a表明原函数乘以指数函数的拉氏变换，等于象函数做位移。例题x（t）= e-at cos b t因 L cos b t =ss 2 + b 2 ， 则X (s)=Le-at cos b t =s + aab(s +)2 +25、延时定理（时间域内位移性质）若 Lx（t）=则 Lx（t）=X (s) ，t0 时，x（t）=0，e- st 、
29、 X (s)e- stt在时间域内延迟（位移） ，行动于它的象函数乘以指数因子。x(t)x(t)x(t- )0t图 276、初值定理若 Lx（t）=X（s），且 lim sX (s) 存在，s则 lim x(t) = lim sX (s)t 0s它建立了x（t）在坐标原点的值与象函数sX (s)在无限远点的值之间的对应关系。表明，函数x（t）在 0 点的函数值可以通过象函数 X (s) 乘以s，然后取极限值而获得。7、终值定理若 Lx（t）=X (s) ，且lim x(t) 存在，则lim x(t) = lim sX (s)t t s08、卷积定理若 Lx（t）= X (s) ，Ly（t）=
30、Y (s) ，则L x(t) * y(t) =X (s) . Y (s)第四节 拉氏逆变换已知象函数X（s）求原函数x（t）的运算称为拉氏逆变换，记作x（t）=L-1 X (s) 推导过程略。这是复变函数的积分公式，按定义计算比较困难。其一是查表法（略）；其二是变形法；第三是配换法；第四是分项分式法。这里简单介绍第二项，着重讲第四项。一、变形法 （要利用好各个性质）例1已知 X (s) =1，求 x（t）s + a解：s 变量中有位移量a，原函数中必有衰减因子e-at，原本是 1（t） 1s ，现在是e-at.1（t）= e-atw.e -t( s+a)+w+例2X（s）=，求x（t）(sa)
31、22解：s 变量中有位移a，tx（t）中必有衰减因子 e-at；X（s）中有衰减；x（t）中的时间t 必有位移 。w对于 s 2 + w 2的逆变换是wsinw t第一步变形 原函数sin t 乘以衰减因子e-at，得x（t）1 =te-at sinwt第二步变形 t 位移 ，即（t-t ），得2X（t） =x（t）= e - a (t -t) .sin w(t -t )二、分项分式法若X（s）为有理分式，即P (s)b sm + b sm-1. + bs + bX (s) = m= 01m-1m（nm）Q (s)asn + a sn-1. + as + a然 n=unu0分母多项式Qn（s）
32、具有+ l ，则分母多项式1l个重根s0 和n-1个单根s1s2nsl ，显nlQ （s）= (s - s )n (s - s )(s - s ).(s - s )a0120Si 是实数也可能是虚数，是Qn（s）的零点，又是X（s）的极点。可化成：X (s) =k01+k02. +k0n+k1+k2. +kls - s0(s - s )20(s - s0)ns - s1s - s2s - sl在分项分式中，k 、k 均为常数，称为 X (s) 的各极点处的留数。0ij对于各个单项，则L -1k s - sr = k.esr t , L-1k =(s - s )qrk(q - 1)!t q-1
33、.e sr tK 如何求得？1、比较系数法X (s)s 2 + 4s + 2留数的求解例：= s(s + 3)(s + 4)s=0，-3，-4 为三个单极点。X (s)a +b+c= (a + b + c)s 2 + (7a + 4b + 3c)s + 12a= ss + 3s + 4s(s + 3)(s + 4)通分联立方程：1=a+b+c 4=7a+4b+3c2=12a解得a= 1 , b = 1 , c = 16322、极限法（留数规则）r10 单极点处的留数 （相对比较系数法简单一些）n若 S r 是X（s）的分母多项式Q （s）的一个单根，称 s= S为 X (s) 的一个单极点。此
34、时可设：P (s)K rW (s)X (s) = m= +Q (s)s - snrW (s) 是余项，其中不再含有 S-S r 的因子。可写成： X (s) （S-S r ）=K r + W (s) （S-S r ） 令 s S r ，对等式两边取极限，可得K r = lim(s - sr) X (s)ssrX (s)s 2 + 4s + 2kkk例题：= 1 +2+3s(s + 3)(s + 4)ss + 3s + 4lim s.s 2 + 4s + 2= 1k1=s0s(s + 3)(s + 4)6lim(s + 3)s 2 + 4s + 2= 1k2=s-3s(s + 3)(s + 4)
35、3lim(s + 4)s 2 + 4s + 2= 1k3=s-4s(s + 3)(s + 4)2毕20、重极点处的留数nnnn若 s 是 X (s) 的分母多项式 Q （s）的一个 重根，则称 s=s 是一个 重极点。 X (s) 在 重极点处有个留数0n0k01、k02、 k0n ，此时可设kkkX (s) =01+02+ . +0n+ W (s) ，W（s）中不含（s-s ）。s - s0(s - s0)2(s - s )n00X (s) (s - s0)n k=01(s - s0)n -1 + k02(s - s0)n -2 + . + k+ W (s)(s - s )n0n0令 s s0k，两边取极限，得= lim X (s)(s - s )n0n0ss000为求 kr(r = 1.2.3.n - 1) ，可对 X (s) (s - s01d (n -r)n 求n - r 阶导数，再令s s，两边取极限，得k= lim X (s)(s - s )n0 r(n - r)!ss0ds(n -r)0例题： 已知X (s)s3 - s + 2-=，求其留数。s3 (s1)2 (s2)解 （s 0 ）是三重极点，（ s 1) 是两重极点，（ s 2) 是单极点。X (s)
