1、知识点：旋转的性质的应用知识点：旋转的性质的应用问题情境1：作旋转后的图形问题模型：已知一个图形和旋转中心，作旋转后的图形求解模型：分析题目要求，找出旋转中心、旋转角分析所作图形，找出构成图形的关键点沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，旋转各个关键点连接所作的各个关键点，并标上相应字母写出结论例题：如右图,E是正方形ABCD中CD边上的任意一点,以点A为中心,把ADE旋转90,请画出旋转后的图形.分析：先找出旋转中心A，再确定旋转角为90；本题并没有讲旋转方向，所以有两种情况（顺时针和逆时针）；再结合正方形ABCD，所以顺时针旋转后，D与B重合，E、B、C共线；再作出逆时针旋转的情
2、形。解： DEE如图ADE和ABE即为所求 练习：1任意画一个ABC，作下列旋转：（1）以B为中心，把这个三角形顺时针旋转60； （2）以AC中点为中心，把这个三角形旋转180解：略2ABC中，AB=AC，P是BC边上任意一点，以点A为中心，取旋转角等于BAC，把ABP逆时针旋转，画出旋转后的图形P解：问题情境2：求作旋转中心问题模型：已知旋转前后的图形，求作旋转中心求解模型：分析题目要求，找出各对对应点分别作出两对对应点的垂直平分线找出两条中垂线的交点，即旋转中心写出结论例题：我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点称为旋转中心（1
3、）如图，ABCDEFDEF能否由ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由；（2）如图，ABCMNKMNK能否由ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由（保留必要的作图痕迹）分析：（1）能连接对应点，作对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为旋转中心；（2）能根据三角形的全等关系，找出对应点并连线，作对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心解答：解：（1）能点O1就是所求作的旋转中心；（2）能点O2就是所求作的旋转中心练习：1、在下图44的正方形网格中，MNP绕某点旋转一定的角度，得到M1N1P
4、1，则其旋转中心可能是 （A） 点A （B）点B （C）点C （D）点D分析：图中有三对对应点，其中PP1和NN1点的垂直平分线的交点是点C，所以本题选CABCDMNPP1M1N1知识关系：旋转的性质及应用；平面直角坐标系点的坐标;勾股定理；全等三角形的判定；全等三角形的性质；问题情境3：利用旋转的性质求解点的坐标 问题模型：已知直角坐标系中点A、B的坐标，把A绕B旋转特定的角度到达A，求旋转后A点的坐标过A点向x轴或y轴方向作垂线，构成直角三角形求解模型：直角三角形中是否有两边可求否是过其它点作向x轴或y轴方向作垂线，构成新的直角三角形.证明两个三角形全等或相似.用勾股定理求出第三边，再把点
5、到x、y轴的距离转化A点的坐标用全等或相似的性质求出对应边的长，A再把点到x、y轴的距离转化A点的坐标.例题：如图，平面直角坐标系中，A（4，2）、B（3，0），将ABO绕OA中点C逆时针旋转90得到ABO，则A的坐标为 . （1，3）分析：过A作OB的垂线交y轴于点N，根据勾股定理求得ON与AN的长度即可解：如图过A作OB的垂线交y轴于点N，点A到OB的距离是2，点A到OB的距离AM=2，故AN=MN-AM=OB-AM=3-2=1，由勾股定理得OA=2AC=OC=由勾股定理OA=在RtOAN中，用勾股定理得ON=3，A（1，3）点评：本题涉及图形变换，旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要
6、素：旋转中心C，旋转方向逆时针，旋转角度90，通过画图计算得A1.如图，在直角坐标系中，点A在y轴上，OAB是等腰直角三角形，斜边OA=2，将OAB绕点O逆时针旋转90得OAB，则点B的坐标为 答案：（-1，1）2.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（1， ），线段OA绕O点逆时钟旋转90到达OB，这时B点的坐标是 解答：解：作BMx轴于点M，ANx轴于点N，易得BMOONA，点A的坐标为（1，），B点的坐标是（-，1）3.如图，ABC的顶点坐标分别为A（3，6），B（1，3），C（4，2）如果将ABC绕C点顺时针旋转90，得到ABC，那么点A的对应点A的坐标为 .解：由图知A点的坐标为（3，
7、6），根据旋转中心C，旋转方向顺时针，旋转角度90，画图，从而得A的坐标为（8，3）4.如图，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，ABO=30，AO=2，将AOB绕原点O顺时针旋转后得到AOB当点A恰好落在AB上时，点B的坐标为 答案：(3，)知识关系：旋转的性质及应用；矩形的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定问题情境4：与旋转有关的计算问题情境4情形1：与旋转有关的角的计算问题模型：已知旋转变换图形，求指定的线段长和角的度数求解模型：根据题意，分析图形根据旋转的性质，进行相关量的转化求出指定的角的度数例题：如图，P是矩形ABCD下方一点，将PCD绕P点顺时针旋转60后恰好D点与
8、A点重合，得到PEA，连接EB，求BAE分析：根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变，根据图形求出旋转的角度，即可得出三角形的形状解：PCD绕点P顺时针旋转60得到PEA，PD的对应边是PA，CD的对应边是EA，线段PD旋转到PA，旋转的角度是60，因此这次旋转的旋转角为60，即APD为60，PAD是等边三角形，DAP=PDA=60，PDC=PAE=30，DAE=30，PAB=30，即BAE=60，练习：1、两块大小一样斜边为4且含有30角的三角板如图5水平放置.将CDE绕C点按逆时
9、针方向旋转，当E点恰好落在AB上时，CDE旋转了 _度.分析：此题需根据含30度角的直角三角形的性质对每一项进行分析，即可求出答案解答：解：DE=AB=4，D=A=30，EC=BC=2，由旋转性质知EC=EC=2，又B=60，BCE是等边三角形，BCE=60，ECE=30，故填：302、如图，将ABC绕着点C顺时针旋转50后得到ABC若A=40B=110，则BCA的度数是（）A110B80C40D30解答：解：根据旋转的性质可得：A=A，ACB=ACB，A=40，A=40，B=110，ACB=18011040=30，ACB=30，将ABC绕着点C顺时针旋转50后得到ABC，ACA=50，BCA
10、=30+50=80，故选：B知识关系：旋转的性质及应用；正方形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质；勾股定理问题情境4情形2：与旋转有关的线段的计算问题模型：已知旋转变换图形，求指定的线段长求解模型：根据题意，分析图形根据旋转的性质，进行相关量的转化求出指定的线段长例题：（1）如图，在正方形ABCD中，AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求EAF的度数（2）如图，在RtABD中，BAD=90，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且MAN=45，将ABM绕点A逆时针旋转90至ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由（3）在图
11、中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长分析：（1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形相等，进而证明角相等，从而求出解（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论（3）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果解答：（1）在RtABE和RtAGE中，ABEAGE 同理，（2）， 又，AMNAHN ， ABCFDEG（图）MN（3）由（1）知，设，则，解这个方程，得，（舍去负根）在（2）中，设，则即练习：1、在等边ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，ABD绕点A旋转后得到ACE，则CE的长度为 。【答案
12、】由旋转得到ABDACE，于是CE=BD=BC=2. 知识关系：旋转的性质及应用；扇形面积公式；三角形面积公式问题情境4情形3：与旋转有关的计算问题模型：已知旋转变换图形，求指定图形的面积求解模型：根据题意，分析图形是否是常见图形是根据旋转的性质，求出与面积有关的关键量把相关图形转化为几个常见图形的面积之和或差否利用相关图形的面积公式，求出面积否例题：在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为Oxxy11画出画出绕点顺时针旋转后得到的，并求出在上述旋转过程中扫过的面积。分析：首先画出图形，求出所在直线的解析式；求扫过的面积，实际上是ABCOB1C1A1xy11解：如图所示 如图所示，即为所求
13、 由图可知， =练习：1、如图，在RtABC中，ACB=90，A=30，BC=2，将ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到EDC，此时，点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ） A. 30，2 B.60，2 C. 60， D. 60， 解：ABC是直角三角形，ACB=90，A=30，BC=2，B=60，AC=BCcotA=2=2，AB=2BC=4，EDC是ABC旋转而成，BC=CD=BD=AB=2，B=60，BCD是等边三角形，BCD=60，DCB=30，DFC=90，即DEAC，DEBC，BD=AB=2，DF是ABC的中位线，DF=BC=2=1，C
14、F=AC=2=，S阴影=DFCF=故选C2、如图1，有两全等的正三角形ABC，DEF，且D，A分别为ABC，DEF的重心固定D点，将DEF逆时针旋转，使得A落在上，如图2所示求图1与图2中，两个三角形重迭区域的面积比为何（）A、2：1B、3：2 C、4：3D、5：4解：设三角形的边长是x，则高长是图（1）中，阴影部分是一个内角是60的菱形，AD=另一条对角线长是：2sin30=x则阴影部分的面积是：xx=x2；图（2）中，AD=是一个角是30的直角三角形则阴影部分的面积=ADsin30ADcos30=xx=x2两个三角形重迭区域的面积比为：x2：x2=4：3故选C3、如图，ABC的3个顶点都在
15、55的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将ABC绕点B顺时针旋转到ABC的位置，且点A、C仍落在格点上，则线段AB扫过的图形面积是 平方单位（结果保留）解：在RtABC中，由勾股定理，得AB=，由图形可知，线段AB扫过的图形为扇形ABA，旋转角为90，线段AB扫过的图形面积=故答案为：知识关系：旋转的性质及应用；直角三角形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质；勾股定理问题情境5：与旋转有关的证明问题模型：利用旋转有关的性质证明有关线段的数量关系和位置关系求解模型：根据题意，分析图形找出所要证明的线段的数量关系或位置关系根据旋转的性质，分析解决证明内容的方法写出证明过程例
16、题：两个大小相同且含30角的三角板ABC和DEC如图摆放，使直角顶点重合将图中DEC绕点C逆时针旋转30得到图，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点（1）不添加辅助线，写出图中所有与BCF全等的三角形；（2）将图中的DEC绕点C逆时针旋转45得D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1，如图探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程；（3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1ICI分析：（1）观察图形，根据全等三角形的判定定理，即可得与BCF全等的有GDF、GAH、ECH；（2）利用SAS即可判定AF1CD1H1C，则可得对应线
17、段相等，即可求得D1F1AH1；（3）首先连接CG1，利用AAS即可证得D1G1F1AG1H1然后可证得CG1F1CG1H1又由平行线的性质即可求得答案解：（1）图中与BCF全等的有GDF、GAH、ECH（2）D1F1AH1，证明：，AF1CD1H1CF1CH1C，又CD1CA，CD1F1CCAH1C即D1F1AH1；（3）连接CG1在D1G1F1和AG1H1中，D1G1F1AG1H1G1F1G1H1，又H1CF1C，G1CG1C，CG1F1CG1H112B60，BCF30，BFC90又DCE90，BFCDCE，BACE，13，23，G1ICI练习：1、如图13.1，ABC是等腰直角三角形，四
18、边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BDCF，BDCF成立.（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转（）时，如图13.2，BDCF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45时，如图13.3，延长BD交CF于点G. 求证：BDCF； 当AB4，AD时，求线段BG的长. 【答案】（1）BDCF成立.理由：ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，AB=AC，AD=AF，BAC=DAF=90,BAD=，CAF=，BAD=CAF，BADCAF. BDCF.（2）证明：设BG交AC于点M.如图13.3-1.BADCAF（已证），ABMG
19、CM.BMA CMG ，BMA CMG.BGCBAC 90.BDCF.图13.3-1过点F作FNAC于点N. 如图13.3-1.在正方形ADEF中，AD，ANFN.在等腰直角ABC 中，AB4，CNACAN3，BC.在RtFCN中，.在RtABM中，.AM.CMACAM4， .BMA CMG，. CG.在RtBGC中，.图形的旋转测试一1如图，ABC、ADE均是顶角为42的等腰三角形，BC和DE分别是底边，图中 与 可以通过以点 为旋转中心，旋转角度为 得到其中BAD= ，CE= 2如图，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转90，得到矩形FECG，分别连接AC、FC、AF，若AB=3，BC=2
20、，则 AF= 3如图所示，把ABC绕点C顺时针转35得到FEC，EF交AC于点D，若FDC=90，则A= （第1题） （第2题） （第3题） （第4题） 4如图，将AOB绕点O逆时针旋转90，得到DOE，若点A坐标为（a，b），则点D的坐标为 5将一图形绕着点O顺时针方向旋转70后，再绕着点O逆时针方向旋转120，这时如果要使图形回到原来的位置，需要将图形绕着点O什么方向旋转多少度 （ ）A顺时针方向50 B逆时针方向50C顺时针方向190 D逆时针方向1906要使正十二边旋转后能与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转 （ ）A30 B45 C60 D757如图，在正方形ABCD中，E为D
21、C边上的点，连接BE，将BCE绕点C顺时针方向旋转90得到DCF，连接EF，若BEC=60，则EFD的度数为 （ ）A10 B15 C20 D258如图，ABC绕点A顺时针旋转得ADE，点E恰好落在边BC上（1）若C=65,求DEB的度数；（2）若BAC=90，线段BC与BD有何关系？为什么？9如图，ABC为等边三角形，以AB为边向外作一ABD，使ADB=120，然后把BCD绕着点C按顺时针旋转60得到ACE，已知BD=5，AD=3（1）由旋转可知线段BC、CD、BD的对应线段分别是什么？（2）求BDC的度数（3）求CE的长 10在ABC中，AC=BC=2，C=90，将一块等腰直角三角板的直角
22、顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点，图是旋转三角板得到的图形中的3种情况研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图b加以证明（2）三角板绕点P旋转，PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由 a b 参考答案：1、ABD、ACE、A、42、CAE、BD2、3、554、（b，a）5、A6、A7、B8、（1）解：ABC绕点A顺时针旋转得ADE，点E恰好落在BC上ABCADEDEA=BCA=65，AE=ACAEC=C=65BEA=50 BCBD
23、理由如下：ABC绕点A旋转得ADEAC=AE，AB=AD，CAB=BADAC=AE，AB=AD，CAB=BADCAE=DAB又AD=AB，ACAEABDCBAC=90ABCC90DBA+C=90即DBC=90， DBBC9、（1）BC的对应边AC，CD的对应边CE，BD的对应边AE （2）BCD绕点C顺时针旋转60得ACEBCDACEDCE=60，DC=CE，EACDBC 又ADB+ACB=12060=180，DBC+DAC=180 DACEAC=180，D、A、E三点共线DCE为正三角形 E=60 BDC=E=60(3) 由正DCE得CE=DE BD=5，AD=3 AE=5 DE=8 CE=
24、810、PD=PE证明：连接DE、CPACB=90，P为AB中点CP=PB，CPB，CP平分ACBACBC=2B=45，PCA=BDPE=90，CPB且DPE=DPC+CPECPB=EPBCPEDPCEPB在DPC和EPB中DPCEPBPDPE 当点E在线段CB上PEEB CEPE=PBCE=0BPBECE=2当E在CB的延长线上CE=2图形的旋转测试二1下列语句中正确的个数有 （） 一根针在平移前后，针尖的指向一定相同； 一个图形绕一点旋转之后与自身重合，则一定是整数，且是360的因数； 我们说到正方形的对称特征时，总是指它的中心对称特征； 一个不是中心对称的图形不论绕什么点旋转多少度，都不
25、会与自身重合 A一个 B 两个 C 三个 D 四个ABCDEABCDE2如图，在ABC中，B=40，将ABC绕点A逆时针旋转至ADE处，使点B落在BC延长线上的D处，则BDE= （第2题） （第3题） （第4题）3边长为3的正方形ABCD绕点C顺时针旋转30，得到正方形EFCG，EF交AD于点H， 则DH的长为 4如图，已知梯形ABCD中，ADBC，B = 90，AD = 3，BC = 5，AB = 1，把线段CD绕点D逆时针旋转90 到DE位置，连结AE，则AE的长为 5如图所示，直线，垂足为点O，A、B是直线上的两点， 且OB=2，AB=直线绕点O按逆时针方向旋转，旋转角度为（）（1）当=
26、60时，在直线上找点P，使得BPA是以B为顶角的等腰三角形，此时OP=_ _（2）当在什么范围内变化时，直线上存在点P，使得BPA是以B为顶角的等腰三角形，请用不等式表示的取值范围： _6如图1，在RtACB中，四边形DECF为正方形，请回答下列问题：（1）请简述图1经过怎样的变换形成图2；（2）当AD5，DB6时，ADE与BDF面积的和是多少？ （图1） （图2）7如图，在一个1010的正方形DEFG网格中有一个ABC. 在网格中画出ABC向下平移3个单位得到 在网格中画出ABC绕C点逆时针方向旋转90得到的 若以EF所在的直线为x轴，ED所在的直线为y轴建立直角坐标系，写出、两点的坐标8如
27、图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示） （图1） （图2） （图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决（1）将图3中的ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；（2）将图3中的ABF绕点F顺时针方向旋转30到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；（3）将图3中的ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH
28、DH （图4） （图5） （图6）参考答案：1、A2、803、4、25（1）（2）0180且906、解：（1）将ADE绕点D逆时针旋转90（2）由（1）可知DAF是DAE绕点D逆时针旋转得到的ADA，DADA，ADEADFADBADBSADESBDF=SADB=56=157、解：如图A1B1C1即为所求如图A2B2C2即为所求 A1（8，2）A2（4，9）8、解:A1F，A又ACFCFAFDFEDDFEAEFA1+FED=90 EGF=90 AFA1=30，EFGE=EFFGABFAFB1 AFB1DFE DB1=DFFBAFEF=AED=FAB1，FBA1=FEDAEFFBD=180AEH=DB1HAEHDB1HAH=DH
