1、导数及其应用 一、知识点梳理1.导数：当趋近于零时，趋近于常数c。可用符号“”记作：当时，或记作，符号“”读作“趋近于”。函数在的瞬时变化率，通常称作在处的导数，并记作。即 2.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。 即若点为曲线上一点，则过点的切线的斜率由于函数在处的导数，表示曲线在点处切线的斜率，因此，曲线在点处的切线方程可如下求得：（1）求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率。（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为： 3.导数的四则运算法则：1） 2）3）4.几种常见函数的导数：(1) (2) (3) (4
2、) (5) (6) (7) (8) 5.函数的单调性：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减。6.函数的极值求函数极值的步骤:求导数。求方程的根.列表；下结论。7.函数的最大值和最小值（1）设是定义在区间上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行.求在内的极值.将在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）若函数在上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.注意：（1）在求函数的极值时，应注意：使导函数取值为0的点可能是它的极值点，也可能不是
3、极值点。例如函数的导数，在点处有，即点是的驻点，但从在上为增函数可知，点不是的极值点. (2) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值，然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个点使得导函数为0，那么立即可以断定在这个点处的函数值就是最大（小）值。（3）极大（小）值与最大（小）值的区别与联系 二、典型例题解析：例1（1）若函数在区间内可导，且则 的值为（ ）A B C D（2）已知曲线的一条切线方程是，则的值为 或 或（3）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 A B C D（4）已知函数，若是的一个极值点，则值为 （ ）A2 B.-2 C. D.4例2在区间上的最大值是 2 。解：当1x0，当0x1时，0)在x = 1处取得极值，其中为常数。（1）试确定的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间。
