2020北京数学高三一模20题汇编.docx下载_163文库

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1、 2020 北京数学高三一模 20 汇编 1、（2020 北京朝阳一模）已知函数 1 1 ex x x f x （）求曲线 ( )yf x 在点(0, (0)f 处的切线方程；（）判断函数 ( )f x的零点的个数，并说明理由；（）设 0 x是( )f x的一个零点，证明曲线exy 在点 0 0 (,e ) x x处的切线也是曲线lnyx 的切线 2、（2020 北京东城一模）已知函数( )(ln)f xxxax(aR). （）若1a ，求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程；（）若( )f x有两个极值点，求实数a的取值范围；（）若1a ，求( )f x在区间0, 2a上

2、的最小值. 3、（2020 北京房山一模）已知函数 ( ) （I）求曲线 ( )在点( ( )处的切线方程；（II）讨论函数 ( )的单调性；（III）若 ,设函数 ( ) | ( )| ( )在上的最大值不小于 3，求 a 的取值范围. 4、（2020 北京丰台一模）已知椭圆 22 22 1(0) yx Cab ab ：的离心率为 2 2 ，点(1 0)P , 在椭圆C上，直线 0 yy与椭圆C交于不同的两点A B,. （）求椭圆C的方程；（）直线PA，PB分别交y轴于M N,两点，问：轴上是否存在点Q，使得 2 OQNOQM ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 5、

3、（2020 北京适应一模）已知椭圆 C 的两个端点分别为 A （0,1）， B （0， -1），焦距为2 3. （）求椭圆 C 的方程（）已知直线y m 与椭圆C有两个不同的交点,M N设 D 为直线 AN 上一点，且直线 BD，BM 的斜率的积为 1 4 ，证明：点 D 在x轴上. x 6、（2020 北京自适应一模）椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，它的四个顶点构成的四边形面积为2 2 ( ) I求椭圆C的方程： ()II设P是直线 2 xa上任意一点，过点P作圆 222 xya的两条切线，切点分别为M， N，求证：直线MN 恒过

4、一个定点来源:学|科|网Z|X|X|K 7、（2020 北京海淀一模）已知椭圆 ( )的离心率为 ( ) ( ) ( ) 的面积为 . （I）求椭圆的方程；（II）设是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点 .求证：为等腰三角形. 8、（2020 北京密云一模）已知椭圆 ( )的离心率为，且过点 ( ) ()求椭圆的标准方程； ()点是椭圆上异于短轴端点的任意一点，过点作轴于，线段的中点为 .直线与直线交于点为线段的中点，设为坐标原点，试判断以为直径的圆与点的位置关系. 9、（2020 北京平谷一模）已知椭

5、圆 C: 22 22 1( xy abt ab 0)的两个焦点是 12 ,F F ( 2,1)M在椭圆C上,且 12 | 4,MFMFO为坐标原点,直线l与直线OM平行,且与椭圆交于 A,B 两点.连接 MA、MB 与 x 轴交于点 D，E. (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)求证:|ODOE为定值. 来源:学。科。网 10、（2020 北京人大附一模）已知椭圆 ( )的左、右焦点分别为 ( )、 ( ) | | 离心率过直线上任意一点，引椭圆的两条切线，切点为、 . （）求椭圆的方程；（）在圆中有如下结论：“过圆上一点 ( )处的切线方程为：由上述结论类比得到:“

6、过椭圆 ( ),上一点 ( ) 处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）. 利用中的结论证明直线恒过定点( ). 11、（2020 北京 15 中一模）已知椭圆的离心率为，右焦点为F（c，0），左顶点为A，右顶点B在直线l：x2 上（）求椭圆C的方程；（）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线AP交直线l于点D，当点P运动时，判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明 12、（2020 北京石景山一模）已知函数 ( ) ( ) ( ) ( ) （）若 ( ) ( )恒成立，求实数的取值范围；（）当时，过 ( )上一点( ， )作 ( )的切线，判断：可以作出多少条切线，

7、并说明理由 13、（2020 北京顺义一模）已知椭圆 ( )的焦距和长半轴长都为，过椭圆的右焦点作斜率为 ( )的直线与椭圆相交于两点。（I）求椭圆的方程；（II）设点是椭圆的左顶点，直线分别与直线相交于点。求证：以为直径的圆恒过点。 14、（2020 北京通州一模）已知函数( )()exf xxaxa，设( )( )g xfx. （）求( )g x的极小值；（）若( )0f x 在(0,)上恒成立，求a的取值范围. 15、（2020 北京西城一模）设椭圆 ,直线经过点 ( ),直线经过点 ( ), 直线直线 ,且直线 , 分别与椭圆相交于

8、两点和两点. ()若分别为椭圆的左、右焦点,且直线轴,求四边形的面积; ()若直线的斜率存在且不为 0,四边形为平行四边形,求证: ; ()在()的条件下,判断四边形能否为矩形,说明理由. 来源:Z+xx+k.Com 16、（2020 北京延庆一模）已知椭圆： ( )的左焦点为 ( ) 且经过点 ( ) 分别是的右顶点和上顶点，过原点的直线与交于两点（点在第一象限），且与线段交于点 . （）求椭圆的标准方程；（）若| | ，求直线的方程；（）若的面积是的面积的倍，求直线的方程. 答案： 1、解：（）因为 1 1 ex x x f x ，所

9、以 0 01 0 1 0)2(ef ， 2 (1) 2 ex x fx ， 0 2 (01) 2 03e( )f 所以曲线 ( )yf x 在点(0, (0) f 处的切线的方程为3 20xy （）函数 ( )f x有且仅有两个零点理由如下： ( )f x的定义域为 |,1x xxR 因为 2 2 ( )e0 (1) x f x x ，所以 ( )f x在(,1) 和(1, )上均单调递增因为 (0)20f ， 2 1 ( 2) 3 e0f ，所以 ( )f x在(,1) 上有唯一零点 1 x 因为 2 e(2)30f ， 5 4 5 ( )e90 4 f，所以 ( )f x在(1,)

10、上有唯一零点 2 x 综上， ( )f x有且仅有两个零点（）曲线exy 在点 0 0 (,e ) x x处的切线方程为 00 0 ee () xx yxx，即 000 0 eee xxx yxx 设曲线 lnyx 在点 33 (,)xy 处的切线斜率为 0 ex，则 0 3 1 ex x ， 0 3 1 ex x ， 30 yx ，即切点为 0 0 1 (,) ex x 所以曲线 lnyx 在点 0 0 1 (,) ex x处的切线方程为 0 0 0 1 e () e x x yxx，即 0 0 e1 x yxx 因为 0 x是( )f x的一个零点，所以 0 0 0 1 1 ex x

11、x 所以 000 0 0 0000 1 1 eee (1)(1)1 xxx x x xxxx 所以这两条切线重合所以结论成立 15 分 2、解：解：（）当1a 时，( )ln21fxxx，所以(1)1 f . 又因为(1)1f ，所以切线方程为11yx ，即 0xy. 4 分（）( )ln21fxxax，设 ( )ln21g xxax，当0a时,易证( )g x在0 +，单调递增，不合题意. 当0a时 1 2gxa x ，令 0g x，得 1 2 x a ，当 1 0, 2 x a 时， 0g x， g x在 1 0, 2a 上单调递增，当 1 ,+ 2 x a 时， 0g

12、 x， g x在 1 , 2a 上单调递减，所以 g x在 1 2 x a 处取得极大值 11 ln 22 g aa . 依题意，函数 ln21g xxax有两个零点，则 11 ln0, 22 g aa 即 1 1 2a ，解得 1 0 2 a. 又由于 11 1 2ea ， 11 =20ga ee ， 1 2 2 1 2 a e a ，由 2 1(0) x exx得 11 22 2 22 111 ()22122(2)111 100 222 aa g ea eaa aaa 实数a的取值范围为 1 0 2 a时， f x有两个极值点. 13 分（）由（）可知，当1a 时， 111 (

13、 )lnln0 222 g xg aa ，所以 f x在(0 + )，上单调递减， f x在区间0, 2a上的最小值为 2 (2 )2 (ln22)faaaa. 15 分 3、解：（） 2 ( )62fxxax 由(0)0 f ，(0)2f，得曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程为2y （）定义域为 R R， 2 ( )6223fxxaxxxa 令( )0fx，解得 12 0, 3 a xx 若0a， 2 ( )60fxx，( )f x在R上单调递增；若0a，在,0上，( )0fx，( )f x单调递增，在( 0 , ) 3 a 上，( )0fx， ( )f x单调递减，

14、在, 3 a 上，( )0fx，( )f x单调递增；若0a，, 3 a 上，( )0fx，( )f x单调递增，在( , 0 ) 3 a 上，( )0fx， ( )f x单调递减，在0,上，( )0fx，( )f x单调递增；（）若0a，函数( )f x的单调减区间为0, 3 a ，单调递增区间为 (,0), 3 a . 当1 3 a 时，即3a，由（）知，( )f x在 1,0上单调递增，在0,1上单调递减，则 max ( )max|( 1)|,|(0)|,|(1)|max ,2,|4|3g xfffaa 当1 3 a 时，即03a，( )f x在 1,0和,1 3 a 上单

15、调递增，在0, 3 a 上单调递减， ( )f x在 3 a x 处取得极小值 3 ( )20 327 aa f 则 max ( )max|( 1)|,|(0)|,|(1)|max ,2,4g xfffaa，若 max ( )3g x，则43a，即01a 综上，实数a的取值范围为0,13, 4、解：（）由题意 2 222 1 1 2 2 . b c a abc , , 解得 22 21ab,. 所以椭圆C的方程为 2 2 1 2 y x.5 分（)假设存在点Q使得 2 OQNOQM .设(0)Q m,，因为 2 OQNOQM , 所以OQNOMQ .则tantanOQNOMQ. 即 O

16、NOQ OQOM ，所以OMONOQ 2 . 因为直线 0 yy交椭圆C于AB，两点，则AB，两点关于y轴对称. 设 0000 ()()A xyBxy, 0 (1)x ，因为(1 0)P ,，则直线PA的方程为：) 1( 1 0 0 x x y y. 令0x，得 1 0 0 x y yM. 直线PB的方程为：) 1( 1 0 0 x x y y. 令0x，得 1 0 0 x y yN. 因为OMONOQ 2 ，所以 1 2 0 2 0 2 x y m. 又因为点 00 ()A x y,在椭圆C上，所以 22 00 2(1)yx. 所以 2 20 2 0 2(1) 2 1 x m x .

17、即2m . 所以存在点(2 0)Q ,使得 2 OQNOQM 成立.14 分 5、解答：（）由题意知 3c ， 222 , 1,4acbxabc只能且焦点在轴上，所以椭圆 C 的方程为： 2 2 1 4 x y。（）由题意可设 00 (,),(,)Mx m N x m,11m 。则 22 0 4(1)xm- 因为点 D 为直线 AN 上一点，所以 0 (,1)ADANx m，所以0,11ODANOAxm 所以 00 (1)211 4 BDBM mm KK xx 整理得 22 0 4 (1)8(1)mmx 将代入整理得1 (1) 10mm， 10, (1) 10mm ，即0 D y 所

18、以点 D 在x轴上。 6、【解答】解：( ) I由题意可知， 222 1 222 2 2 2 2 ab c e a abc ，解得2a ，1bc，所以椭圆的标准方程 2 2 1 2 x y； ()II证明：方法一：设点 0 (2,)Py， 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y 其中 22 11 2xy， 22 22 2xy，由PMOM，PNON， 101 11 1 2 yyy xx ， 202 22 1 2 yyy xx ，即 22 11110 20xyxy y， 22 22220 20xyxy y，注意到 22 11 2xy， 22 22 2xy，于是， 110 220

19、xy y， 220 220xy y，所以，M，N满足 0 220xyy，由 0 y的任意性可知，1x ，0y ，即直线MN恒过一个定点(1,0) 方法二：设点 0 (2,)Py，过点P且与圆 22 2xy相切的直线PM，PN，切点分别为M，N，由圆的知识可知，M，N是圆以OP为直径的圆 22200 (1)()1() 22 yy xy 和圆 22 2xy 的两个交点，由 22 222200 2 (1)()1() 22 xy yy xy ，消去二次项得直线MN方程为 0 220xyy，由 0 y的任意性可知，1x ，0y ，即直线MN恒过一个定点(1,0) 方法三：由圆的极点极线可

20、知，已知 0 (M x， 0) y为圆 222 :()()CxaybR外一点，由点M引圆C的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，则直线AB的方程为 2 00 ()()()()xa xayb ybR，特殊地，知 0 (M x， 0) y为圆 222 :C xyR外一点，由点M引圆C的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，则直线AB的方程为 2 00 xxyyR 设点 0 (2,)Py，由极点与极线可知，直线MN的方程 0 22xyy，即 0 220xyy，由 0 y的任意性可知，1x ，0y ，即直线MN恒过一个定点(1,0) 所以直线MN恒过一个定点(1,0) 7【解析】（1）由题得

21、 ,解得：椭圆的方程为：（2）方法一：设 ( ) ( ， ) 可求得直线： ( )，直线：联立 ( ) ，解得： ( ， ) 同理：直线 ( ) 直线：可求得 ( ， ) 可求得： | | ( ) ， | | ( ) ，而 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 其中 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) | | | | 即| | | | 为等腰三角形方法二：设 ( ) ( ) 可求得直线： ( ) 直线：联立: ( ) ,解得： ( ) 同理：直线： ( ) 直线：可求得 ( ， ) 线段的中点 ,

22、( ) ( ) ( ) ， ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 的斜率不存在为等腰三角形方法三： ( ， ) ( ， ) | | ( ) ， | | ( ) ，而 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 其中 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) | | | | 即| | | | 为等腰三角形 8、解：方法一因为( )e1 , x f xaxxR，来源:学|科|网 Z|X|X|K 所以令( )0f x ，得10ax . （1）当0a 时，方程无解，此时函数( )f x无零点；（

23、2）当0a 时，解得 1 x a ，此时函数( )f x有唯一的一个零点. 综上所述，当0a 时，函数( )f x无零点；当0a 时，函数( )f x有一个零点. 方法二（1）当0a 时因为( )e0 x f x ，所以函数( )f x无零点；（2）当0a 时因为 1 0 a -1-，(0)10f ，( )f x在区间 1 ( 1,) a 单调递增，所以( )f x在区间 1 ( 1,) a 内有且仅有唯一的零点；若 1 (, 1)x a ，则 1 1( 1) 10axaa a ，又因为e0 x ，所以( )e10 x f xax 即函数( )f x在区间 1 () a ，-

24、1-内没有零点故当0a 时，( )f x有且仅有唯一的零点（3）当0a时因为 1 1 1 ( 1)()0 a fa a ， 1 1 1 (1)0 a fa a ，并且( )f x在区间 1 ( 1,) a 单调递减，所以( )f x在区间 1 ( 1,) a 内有且仅有唯一的零点；若 1 (, 1)x a ，则 1 1( 1) 10axaa a ，又因为e 0 x ，所以( )e10 x f xax 即函数( )f x在区间 1 () a ，-1-内没有零点故当0a时，( )f x有且仅有唯一的零点综上所述：当0a 时，函数( )f x无零点；当0a 时，函数( )f x有一

25、个零点. 9、解：（I）因为，| | | | ，由椭圆的定义得：分点 ( )在椭圆上，代入椭圆方程中，解得椭圆的方程为 4 分（II）证明：设 ( ) ( ) 直线的斜率为，设直线的方程为 5 分与椭圆方程联立得 ( ) 整理得：所以 7 分直线的直线方程为 ( ) 令，则 9 分同理 10 分 | | | | | ( )| | ( )( ) ( )( ) ( )( ) | 12 分 | ( ) ( )( ) ( )( ) | 代入整理得：| | 所以| |为定值 14 分 10、解：（）由，离心率得椭圆 C 的方程为： 5 分（）类比圆的切线方程得：

26、过椭圆上一点 ( )处的切线方程为： 8 分的方程为： 9 分设 ( )， ( )，的纵坐标为，即 ( ) 10 分由的结论的方程为 11 分又其过 ( )点，同理有 12 分点 ( )， ( )，在直线上 13 分当时，方程恒成立，直线过定点( ) 14 分 11、解：（）依题可知B（a，0），a2 因为，所以c1，故椭圆C的方程为（）方法一：以BD为直径的圆与直线PF相切证明如下：由题意可设直线AP的方程为yk（x+2）（k0）则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k），直线方程代入椭圆方程，可得（3+4k 2） x 2+16k2x

27、+16k2120 设点P的坐标为（x0，y0），则2x0 所以x0，y0 因为点F坐标为（1，0），当k时，点P的坐标为（1，），直线PF的方程为x1，D的坐标为（2， 2）此时以BD为直径的圆（x2） 2+（y1）21 与直线 PF相切当k时，则直线PF的斜率kPF 所以直线PF的方程为y（x1），即点E到直线PF的距离又因为|BD|2R4|k|，故以BD为直径的圆与直线PF相切综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切方法二：以BD为直径的圆与直线PF相切证明如下：设点P（x0，y0），则当x01

28、时，点P的坐标为（1，），直线PF的方程为x1， D的坐标为（2，2）此时以BD为直径的圆（x2） 2+（y1）21 与直线 PF相切当x1 时直线AP的方程为，点D的坐标为，BD中点E的坐标为，故直线PF的斜率为，故直线PF的方程为，即，所以点E到直线PF的距离故以BD为直径的圆与直线PF相切综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切 12、解：（I）令 ( ) ( ) ( ) ( ) 分所以 ( ) 令 ( ) ，解得分当变化时， ( ) ( )的变化情况如下表： ( ) ( ) ( ) ( ) 减极小值增分所以在( )的最小值为 ( ) 分令

29、( ) 解得所以当时， ( ) 恒成立，即 ( ) ( )恒成立分（II）可作出 2 条切线分理由如下：当时， ( ) 设过点( )的直线与 ( ) 相切于点 ( ) 分则 ( ) 即整理得分令 ( ) 则 ( )在( )上的零点个数与切点的个数一一对应。 ( ) 令 ( ) 解得分当变化时， ( ) ( )的变化情况如下表： ( ) ( ) ( ) ( ) 减极小值增所以 ( )在( )上单调递减，在( )上单调递增且 ( ) ( ) ( ) 分所以 ( )在( ( ) )和( )上各有一个零点，即有两个不同的解所以，过点( )可作出的 2

30、条切线分 13、（I）由题意得解得 -3 分故椭圆的方程为 -5 分 (II) ( ) ( ) 直线的方程为 ( ) -6 分由 ( ) 得( ) 直线过椭圆的焦点，显然直线椭圆相交设 ( ) ( ),则 -8 分直线的方程为 ( )，令得 ;即 ( ) 同理： ( ) -10 分 ( ) ( ) 又 ( )( )-11 分 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 以为直径的圆恒过点 -14 分 14、解：（）( )(1)1 x fxxae1 分由题意可知( )(1)1 x g xxae，所以( )(2) x g xxae2 分当2xa时(

31、)0g x，( )g x在(2,)a上单调递增；3 分当2xa时( )0g x，( )g x在(,2)a上单调递减4 分所以( )g x在2xa处取得极小值，为 2 (2)1 a g ae 5 分（）由（）得 2 ( )( )1 a fxg xe 当2a 时 2 ( )10 a fxe ，6 分所以( )f x在单调递增，所以( )(0)0f xf7 分即2a 时( )0f x 在(0,)恒成立.8 分当2a 时(0)(0)20fga，9 分又( )( )10 a f ag ae ，10 分又由于( )fx在(2,)a上单调递增；在(0,2)a上单调递减；所以在(0, )a上

33、理由如下：点 O 到直线，直线的距离分别为 | | | | 由（II）知所以点 O 到直线，直线的距离相等。根据椭圆的对称性，故而原点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心。假设平行四边形是矩形，则| | | | 那么则所以。这时直线轴。这与直线的斜率存在相矛盾。所以假设不成立。即平行四边形 ABCD 不能为矩形。 16、解：（）法一：依题意可得 22 222 2, 21 1, . c ab abc 解得 2 2 2. a b c ，，（试根法）所以椭圆的标准方程为 22 1 42 xy . 3 分法二：设椭圆的右焦点为 1 F，则 1 |3CF ， 24

34、,2aa， 2c ， 2b，所以椭圆的标准方程为 22 1 42 xy . 3 分（）因为点Q在第一象限，所以直线l的斜率存在， 4 分设直线l的斜率为k，则直线l的方程为ykx，设直线 l与该椭圆的交点为 1122 ( ,),(,)P x yQ xy 由 22 24 ykx xy 可得 22 (1 2)40kx， 5 分易知0 ，且 1212 2 4 0, 12 xxx x k ， 6 分则 2222 1212121 2 ()()1()4PQxxyykxxx x 7 分 2 2 22 41 10443 1 21 2 k k kk ，所以 2 714 , 22 kk (负舍)，所

35、以直线l的方程为 14 2 yx. 8 分用Q到原点距离公式（未用弦长公式）按照相应步骤给分，设点 11 (,)Q x y，3,PQ 3 , 2 OQ 29 , 4 OQ 22 11 9 , 4 xy 又 22 11 24,xy 解得： 11 27 , 22 xy 所以直线l的方程为 1 1 y yx x ，即 14 2 yx. （）设(,) mm M xy， 00 ,Q xy，则 00 ,Pxy，易知 0 02x， 0 01y. 由 2,0A ，(0,2)B，所以直线AB的方程为220xy. 9 分若使BOP的面积是BMQ的面积的 4 倍，只需使得 4OQMQ ， 10 分法一：即

36、3 4 M Q x x . 11 分设直线l的方程为ykx，由 + 220 ykx xy 得， 22 (,) 1212 k M kk 12 分由 22 24 ykx xy 得， 22 22 (,) 1 21 2 k Q kk ， 13 分代入可得 2 1418 270kk，即： 2 7 79 20 2 kk（约分后求解）解得 9 28 14 k ，所以 9 28 14 yx . 15 分法二：所以 444 (,) 333 mm OQOMxy ，即 44 (,) 33 mm Qxy . 11 分设直线l的方程为ykx，由 220 ykx xy 得， 22 (,) 1212 k M k

37、k 12 分所以 88 (,) 33 233 2 k Q kk ，因为点Q在椭圆G上，所以 22 00 1 42 xy ， 13 分代入可得 2 1418 270kk，即： 2 7 79 20 2 kk 解得 9 28 14 k ，所以 9 28 14 yx . 15 分法三：所以 00 333 (,) 444 OMOQxy ，即 00 33 (,) 44 Mxy . 11 分点M在线段AB上，所以 00 33 2 20 44 xy ，整理得 00 8 2 3 xy ， 12 分因为点Q在椭圆G上，所以 22 00 1 42 xy ，把式代入式可得 2 00 912 270yy，

38、解得 0 2 21 3 y . 13 分来源:学|科|网Z|X|X|K 于是 00 842 2 33 xy，所以， 0 0 9 28 14 y k x . 所以，所求直线的方程为 9 28 14 yx . 15 分解析几何（一）问题梳理： 1.求值计算问题（求点的坐标，直线方程，长度，面积，比值，角） -方程（组）； 2.最值（取值范围）问题-函数或方程； l 3.恒成立（或定值问题）（1）恒等式证明，（2）恒不等式（函数值域或最值）； 4.存在性问题（1）等式-方程（组），（2）不等式-不恒成立-最值（或取值范围）（二）核心方法-坐标法（用坐标表示一切，一切用坐标表示）（三）解题策略-几何转化（平行四边形，菱形，矩形，等腰（等边）三角形，直角三角形，面积，比值，椭圆，定义、判定、性质）；变元设置（点（单动点、双动点），直线（斜率、截距）；消元方法（代入消元、加减消元、同乘或同除、整体代换）；消元途径与时机，代数转化（约分化简、分式化整式、根式配方）.

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