1、名师伴你行名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行 考考 纲纲 解解 读读 幂函数幂函数(1)了解幂函数的概念了解幂函数的概念.(2)结合函数结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图象的图象,了解它们的变化情况了解它们的变化情况.21xx1返回目录返回目录 名师伴你行考考 向向 预预 测测 1.高考以基础知识为主高考以基础知识为主,考查幂函数的图象与性质考查幂函数的图象与性质,多以多以选择、填空题形式出现，也有与函数性质、二次函数、方选择、填空题形式出现，也有与函数性质、二次函数、方程、不等式结合的综合性较强的解答题程、不等式结合的综合性较强的解答题.2.以常见的以常见的5种幂函数为载
2、体种幂函数为载体,考查求值、单调性、奇考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点偶性、最值等问题是高考命题的出发点.返回目录返回目录 1.幂函数的意义一般地一般地,函数函数y=叫做幂函数叫做幂函数,其中其中x是自变是自变量量,是常数是常数.2.画幂函数图象的方法(1)列表、描点、连线法列表、描点、连线法.(2)先画出幂函数在第一象限的图象先画出幂函数在第一象限的图象,再利用幂函数的性再利用幂函数的性质作出其余的图象质作出其余的图象.x(R)名师伴你行返回目录返回目录 3.幂函数幂函数y=x,y=x2,y=x3,的图象如图的图象如图.4.幂函数幂函数y=x,y=x2,y=x3,的性质
3、的性质2 21 1x xy y x1y y2 21 1x xy y x1y y名师伴你行返回目录返回目录 y=xy=xy=xy=x2 2y=xy=x3 3定义域定义域R RR RR R0,+)0,+)(-,0)(-,0)(0,+)(0,+)值域值域R R0,+)0,+)R R0,+)0,+)(-,0)(-,0)(0,+)(0,+)奇偶性奇偶性奇奇偶偶奇奇非奇非偶非奇非偶奇奇单调性单调性增增(-,0)(-,0)减减,(0,+)(0,+)增增增增增增(-,0)(-,0)减减,(0,+)(0,+)减减定点定点(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(1,1)(1,1)2 21 1x xy y x1y
4、 y名师伴你行5.幂函数的性质(1)所有的幂函数在所有的幂函数在(0,+)上都有定义上都有定义,并且图象都通过并且图象都通过点点 .(2)如果如果0,则幂函数的图象过原点则幂函数的图象过原点,并且在区间并且在区间0,+)上上为为 .(3)如果如果0,则幂函数的图象在区间则幂函数的图象在区间(0,+)上是上是 .在第一象限内在第一象限内,当当x从右边趋向于原点时从右边趋向于原点时,图象在图象在y轴右方无轴右方无限地逼近限地逼近y轴轴,当当x趋向于趋向于+时时,图象在图象在y轴上方无限地逼近轴上方无限地逼近x轴轴.(4)当当为奇数时为奇数时,幂函数为幂函数为 ,当当为偶数时为偶数时,幂函幂函数为数
5、为 .返回目录返回目录 偶函数偶函数 (1,1)增函数增函数 减函数减函数 奇函数奇函数 名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行2010年高考全国卷年高考全国卷设设a=log32,b=ln2,c=5 ,则则 a,b,c的大小关系为的大小关系为 .21【分析【分析】先换为同底的对数先换为同底的对数,再比较大小再比较大小.【解析【解析】a=log32=.因为因为 ,所以所以 即即cab.返回目录返回目录 51c,elog1b,3log122 名师伴你行1elog3log522 ,elog13log15122 化为同底数的对数是本题的关键化为同底数的对数是本题的关键.返回目录返回目录 比较下列各组数
6、的大小比较下列各组数的大小:.(-1.9)(-1.9),3.8,3.8(4)(4.1)(4)(4.1);)3 32 2(3)(-(3)(-;)9 91 1(-8 8-(2)(2);3.13.1(1)3(1)35 53 33 32 2-5 52 23 32 23 32 28 87 78 87 72 25 52 25 5和和和和和和和和)6(名师伴你行返回目录返回目录 (1)函数函数y=在在(0,+)上为减函数上为减函数,又又33.1 .2 25 5x x2 25 52 25 5名师伴你行(2),函数函数y=在在(0,+)上为增函数上为增函数.又又 ,则则 ,从而从而 .8 87 78 87 7)
7、8 81 1-(-(8 8-9 91 18 81 18787)()(9 91 18 81 18787)(89 91 18 87 7x x(3)函数函数 y=在在(0,+)上为减函数上为减函数,又又 ,返回目录返回目录.)6 6()6 6(-,)3 32 2)3 32 2(-3 32 23 32 23 32 23 32 2 (3 32 2x x63 2 2.)6 6(-)3 32 2(-3 32 23 32 2 名师伴你行.(4.1)(4.1)(3.8)(3.8)(-1.9)(-1.9)0,0,(-1.9)(-1.9)1,1,1 13.83.81,01,01 1(4.1)(4.1)(4)(4)2
8、 25 53 35 53 35 53 33 32 23 32 25 52 25 52 25返回目录返回目录 当当x(0,+)时时,幂函数幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数为减函数,则实数则实数m的值为的值为 .首先利用幂函数的定义首先利用幂函数的定义,确定确定m的范围的范围,其其次再依据幂函数的性质次再依据幂函数的性质,在第一象限是减函数在第一象限是减函数,确定指数确定指数小于零小于零.名师伴你行返回目录返回目录 解法一解法一:依题意依题意y=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数是幂函数,故故m2-m-1=1,解得解得m=2或或m=-1.又又函数在函数在(0,+)上是减函数上是减函
9、数,-5m-3 ,故故m=-1舍去舍去,m=2.53名师伴你行解决此类问题的关键就是紧扣幂函数的定义解决此类问题的关键就是紧扣幂函数的定义,x的系数的系数必须为必须为1,指数是实数即可指数是实数即可,若有其他性质问题可依据幂函数若有其他性质问题可依据幂函数的图象与性质进一步求解的图象与性质进一步求解.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 已知函数已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时为何值时,f(x):(1)是幂函数是幂函数;(2)是幂函数是幂函数,且是且是(0,+)上的增函数上的增函数;(3)是正比例函数是正比例函数;(4)是反比例函数是反比例函数;(5)是二次函
10、数是二次函数.(1)因为因为f(x)是幂函数是幂函数,故故m2-m-1=1,即即m2-m-2=0,解得解得m=2或或m=-1.名师伴你行返回目录返回目录(2)若若f(x)是幂函数且又是是幂函数且又是(0,+)上的增函数上的增函数,m2-m-1=1 -5m-30,(3)若若f(x)是正比例函数是正比例函数,则则-5m-3=1,解得解得m=-,此时此时m2-m-10,故故m=-.(4)若若f(x)是反比例函数是反比例函数,则则-5m-3=-1,m=-,此时此时m2-m-10,故故m=-.则则m=-1.54545252名师伴你行(5)若若f(x)是二次函数是二次函数,则则-5m-3=2,即即m=-1
11、,此时此时m2-m-10,故故m=-1.综上所述综上所述,当当m=2或或m=-1时时,f(x)是幂函数是幂函数;当当m=-1时时,f(x)既是幂函数既是幂函数,又是又是(0,+)上的增函数上的增函数;当当m=-时时,f(x)是正比例函数是正比例函数;当当m=-时时,f(x)是反比例函数是反比例函数;当当m=-1时时,f(x)是二次函数是二次函数.返回目录返回目录 5452名师伴你行返回目录返回目录 先求幂函数的解析式先求幂函数的解析式,而后利用而后利用g(x),f(x)的图象的图象,求求x的取值范围的取值范围.名师伴你行若点若点(,2)在幂函数在幂函数f(x)的图象上的图象上,点点(-2,)在
12、幂函在幂函 f(x),f(x)g(x)g(x),f(x)g(x),试求函数试求函数h(x)的最大值以及单调区间的最大值以及单调区间.241数数g(x)的图象上的图象上,定义定义h(x)=(1)设设f(x)=x,其图象过其图象过(,2)点点,故故2=(),解得解得=2,f(x)=x2.设设g(x)=x,其图象过点其图象过点(-2,),=(-2),解得解得=-2.g(x)=x-2.返回目录返回目录 241241名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行(2)在同一坐标系中在同一坐标系中,作出作出f(x)=x2与与g(x)=x-2的图象的图象,如图如图所示所示.x-2,x1.根据图象可知函数根据图象可知
13、函数h(x)的最大值等于的最大值等于1,单调递增区间单调递增区间是是(-,-1)和和(0,1);递减区间是递减区间是(-1,0)和和(1,+).则有则有h(x)=利用函数图象可以很直观判断函数的最值和单调区间利用函数图象可以很直观判断函数的最值和单调区间.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 若上题中的点若上题中的点(,2)改为改为(2,8),探求探求h(x)的单调性及奇的单调性及奇偶性偶性.2名师伴你行【解析【解析】设设f(x)=x,过点过点(2,8),=3,f(x)=x3.由上题知由上题知,g(x)=x-2.在同一平面直角坐标系在同一平面直角坐标系中画出中画出y=f(x)与与y=g
14、(x)的图象的图象,如图如图,返回目录返回目录 名师伴你行从图中及从图中及h(x)的定义可知的定义可知 x-2,x1 x3,x1,且在定义域且在定义域(-,1)上上h(x)为增函数为增函数,在在1,+)上上h(x)为减为减函数函数.又又h(-2)=(-2)3=-8,h(2)=2-2=,h(-2)h(2),且且h(-2)-h(2),h(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数.h(x)=41返回目录返回目录 已知幂函数已知幂函数f(x)=(mZ)为偶函数为偶函数,且在区间且在区间(0,+)上是单调减函数上是单调减函数.(1)求函数求函数f(x);(2)讨论讨论F(x)=的奇偶性的奇偶性.先求先求m,然后
15、根据奇偶性的定义判断然后根据奇偶性的定义判断.x x 3 3-2m2m-m m2 2x xf f(x x)b b-f f(x x)a a名师伴你行(1)f(x)是偶函数是偶函数,m2-2m-3应为偶数应为偶数,又又f(x)在在(0,+)上是单调减函数上是单调减函数,m2-2m-30,即即-1m3.又又mZ,m=0,1,2.当当m=0或或2时时,m2-2m-3=-3不是偶数不是偶数,舍去舍去;当当m=1时时,m2-2m-3=-4,m=1,即即f(x)=x-4.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录(2)F(x)=-bx3,F(-x)=+bx3.当当a0,b0时时,F(x)为非奇非偶函数为非
16、奇非偶函数;当当a=0,b0时时,F(x)为奇函数为奇函数;当当a0,b=0时时,F(x)为偶函数为偶函数;当当a=0,b=0时时,F(x)既是奇函数既是奇函数,又是偶函数又是偶函数.2 2x xa a2 2x xa a名师伴你行本题考查了偶函数的定义、幂函数的图象以及分本题考查了偶函数的定义、幂函数的图象以及分类讨论的思想类讨论的思想.利用偶函数及幂函数在区间利用偶函数及幂函数在区间(0,+)上是减上是减函数函数,结合结合m的取值范围的取值范围,解出解出m值值,从而求出从而求出f(x).在第在第(2)问中问中,当不能准确判断当不能准确判断F(-x)与与F(x)是否相等时是否相等时,自然想到对
17、自然想到对a,b进行分类讨论进行分类讨论.名师伴你行已知函数已知函数f(x)=.(1)求求f(x)的单调区间的单调区间;(2)比较比较f(-)与与f(-)的大小的大小.:f(x)=其图象可由幂函数其图象可由幂函数y=x-2向左平向左平移移2个单位个单位,再向上平移再向上平移 1 个单个单位而得到位而得到,如图如图,所以该函数在所以该函数在(-2,+)上是减函数上是减函数,在在(-,-2)上是增函数上是增函数.4 44x4xx x5 54x4xx x2 22 2222)2(1x4 44x4xx x5 54x4xx x2 22 2返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录:f(x)=1+(x+2
18、)-2,设设x10,y=f(x)在在(-,-2)上是增上是增函数函数,即增区间为即增区间为(-,-2);当当x1,x2(-2,+)时时,f(x2)-f(x1)0,y=f(x)在在(-2,+)上是减上是减函数函数,即减区间为即减区间为(-2,+).(2)图象关于直线图象关于直线x=-2对称对称,又又-2-(-)=-2f(-).4 44x4xx x5 54x4xx x2 22 2222 21 12 22 22 21 12 21 12 21 12 22 22 2)(x x2 2)(x x4 4)x x)(x xx x-(x x2 2)(x x1 1-2 2)(x x1 12222名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行名师伴你行
