1、名师伴你行名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行 双曲线双曲线（1）了解双曲线的定义、标准方程，会）了解双曲线的定义、标准方程，会求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程.（2）了解双曲线的简单几何性质）了解双曲线的简单几何性质.名师伴你行返回目录返回目录 从近两年的高考试题来看，双曲线的定义、标准方程从近两年的高考试题来看，双曲线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点，题型大多为选择题、填空题，及几何性质是高考的热点，题型大多为选择题、填空题，难度为中等偏高，主要考查双曲线的定义及几何性质，考难度为中等偏高，主要考查双曲线的定义及几何性质，考查基本运算能力及等价转化思想查基本运算能力及等价转化思
2、想.预测预测2012年高考仍将以双曲线的定义及几何性质为主年高考仍将以双曲线的定义及几何性质为主要考查点，重点考查运算能力、逻辑推理能力要考查点，重点考查运算能力、逻辑推理能力.返回目录返回目录 1.1.双曲线的定义双曲线的定义 平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等的距离的差的绝对值等于常数（小于于常数（小于|F1F2|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线线.这这 叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的做双曲线的 .两个定点两个定点 焦距焦距 名师伴你行2.2.双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程和几
3、何性质返回目录返回目录 标准方程标准方程图形图形2222xy-=1(a0,b0)ab2222yx-=1(a0,b0)ab名师伴你行返回目录返回目录 性质范围xa或x-aya或y-a对称性对称轴：对称中心:对称轴：对称中心:顶点顶点坐标A1 ,A2 顶点坐标A1 ,A2渐近线y=y=y=y=离心率e=e ，其中c=.实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|=；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|=；a叫做双曲线的 长，b叫做双曲线的虚半轴长.a,b,c的关系c=(ca0,cb0)bxaaxbcax轴，轴，y轴轴 x轴，轴，y轴轴 原点原点 原点原点 (-a,0)(a,0
4、)(0,-a)(0,a )(1,+)22a+b2a 2b 实半轴实半轴 22a+b名师伴你行返回目录返回目录 已知动圆已知动圆M与圆与圆C1：（：（x+4）2+y2=2外切，与圆外切，与圆C2：（x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心内切，求动圆圆心M的轨迹方程的轨迹方程.利用两圆内、外切的充要条件找出利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的点满足的几何条件，结合双曲线定义求解几何条件，结合双曲线定义求解.名师伴你行返回目录返回目录 如图，设动圆如图，设动圆M的半径为的半径为r，则由已知，则由已知|MC1|=r+，|MC2|=r-，|MC1|-|MC2|=2 .又又C1（-4，0），），C2（4
5、，0），），|C1C2|=8，2|C1C2|.根据双曲线定义知，点根据双曲线定义知，点M的轨迹是以的轨迹是以C1（-4，0）,C2（4，0）为焦点的双曲线的右支）为焦点的双曲线的右支.a=，c=4，b2=c2-a2=14.点点M的轨迹方程是的轨迹方程是 （x ）.22222222xy-=1214名师伴你行返回目录返回目录 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几 何条件探何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量.在在运用
6、双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差差的绝对值的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线还是双曲线，弄清所求轨迹是整条双曲线还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性和完备性.名师伴你行在在ABC中，中，B(4 ，0)，C(-4 ，0)且满足条件且满足条件sinB-sinC=sinA,则动点则动点A的轨迹方程的轨迹方程.12返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行【解析【解析】设设A的坐标为的坐标为(x,y),在在ABC中，由正弦定理得中，由正弦定理得 (其中其中R为为
7、ABC外接圆的半径），外接圆的半径），代入代入sinB-sinC=sinA得得 ,又又|BC|=8,则得则得|AC|-|AB|=4，因此，因此A的轨迹是以的轨迹是以B，C为焦点的双曲线为焦点的双曲线的右支（除去右顶点），且的右支（除去右顶点），且2a=4,2c=8，即，即a=2,c=4.b2=c2-a2=12.所以所求所以所求A点的轨迹方程为点的轨迹方程为 (x2).2RsinCcsinBbsinAa 212R|BC|212R|AB|-2R|AC|112y4x22 返回目录返回目录 名师伴你行2010年高考北京卷已知双曲线年高考北京卷已知双曲线 的离的离心率为心率为2，焦点与椭圆，焦点与椭圆
8、的焦点相同，的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程；渐近线方程为为 .1by-ax2222 19y25x22 返回目录返回目录 名师伴你行【分析【分析】根据双曲线有关几何性质求解根据双曲线有关几何性质求解.【解析【解析】双曲线的焦点与椭圆的焦点相同双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,c=4.e=2,a=2,b2=12,b=.焦点在焦点在x轴上轴上,焦点坐标为焦点坐标为(4,0),渐近线方程为渐近线方程为y=x,即即y=x,化为一般式为化为一般式为 xy=0.ac32ab33返回目录返回目录 名师伴你行 双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的双曲线的几何性质的实质是围绕
9、双曲线中的“六点六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线四线”（两条对称轴、两条渐近线），（两条对称轴、两条渐近线），“两形两形”（中心、焦点以（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互联系三角形）研究它们之间的相互联系.返回目录返回目录 名师伴你行2010年高考天津卷已知双曲线年高考天津卷已知双曲线 (a0,b0)的一条渐近线方程是的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点，它的一个焦点在抛物线在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为的准线上
10、，则双曲线的方程为()A.B.C.D.1by-ax2222 31108y-36x22 127y-9x22 136y-108x22 19y-27x22 返回目录返回目录 名师伴你行【答案【答案】B【解析【解析】抛物线抛物线y2=24x的准线方程为的准线方程为x=-6，故双曲线中故双曲线中c=6.由双曲线由双曲线 的一条渐近线方程为的一条渐近线方程为y=x，知，知 ,且且c2=a2+b2.由由解得解得a2=9,b2=27.故双曲线的方程为故双曲线的方程为 .故应选故应选B.2222xy-=1ab3ab 127y9x22 3返回目录返回目录 名师伴你行已知双曲线已知双曲线C的中心是原点，右焦点为的中
11、心是原点，右焦点为F（，0），一），一条渐近线条渐近线m：x+y=0，设过点，设过点A(-3 ,0)的直线的直线l的方的方向向量向向量e=(1,k).(1)求双曲线求双曲线C的方程的方程;(2)若过原点的直线若过原点的直线a l，且，且a与与l的距离为的距离为 ,求求k的值的值;(3)证明：当证明：当k 时时,在双曲线在双曲线C的右支上不存在点的右支上不存在点Q,使使之到直线之到直线l的距离为的距离为 .3226226返回目录返回目录 名师伴你行【分析【分析】（1）由渐近线为）由渐近线为x+y=0可设双曲线方程可设双曲线方程为为x2-2y2=(0)，则，则a2=,b2=,c=.可求可求.（2）
12、由由al求求k.（3）可利用反证法证明或利用直接法）可利用反证法证明或利用直接法.22 3【解析【解析】（1）设双曲线）设双曲线C的方程为的方程为x2-2y2=(0),+=3，解得，解得=2.双曲线双曲线C的方程为的方程为 -y2=1.2 2x2返回目录返回目录（2）直线）直线l：kx-y+3 k=0，直线，直线a：kx-y=0.由题意，得由题意，得 ，解得，解得k=.(3)设过原点且平行于设过原点且平行于l的直线的直线b：kx-y=0，则直线则直线l与与b的距离的距离d=，当当k 时，时，d .又双曲线又双曲线C的渐近线为的渐近线为x y=0，双曲线双曲线C的右支在直线的右支在直线b的右下方
13、，的右下方，名师伴你行6k1k232 222k1k23 2262返回目录返回目录 双曲线双曲线C右支上的任意点到直线右支上的任意点到直线l的距离大于的距离大于 .故在双曲线故在双曲线C的右支上不存在点的右支上不存在点Q，使之到直线，使之到直线l的距离的距离为为 .1-2k20,-4kt0,-2(t2+1)0.方程不存在正根，即假设不成立方程不存在正根，即假设不成立.故在双曲线故在双曲线C的右支上不存在点的右支上不存在点Q，使之到直线，使之到直线l的距离的距离为为 .名师伴你行666返回目录返回目录 正确设出双曲线方程是解决本题的基础，合理的正确设出双曲线方程是解决本题的基础，合理的推理、准确的
14、计算以及充分地用好双曲线性质是做好推理、准确的计算以及充分地用好双曲线性质是做好本题的关键本题的关键.名师伴你行返回目录返回目录 双曲线双曲线C：（a0,b0）的右顶点）的右顶点A，x轴上轴上有一点有一点Q（2a，0），若），若C上存在一点上存在一点P，使，使AP，PQ=0，求此双曲线离心率的取值范围求此双曲线离心率的取值范围.P点坐标为点坐标为(x,y),则由则由APPQ=0，得，得APPQ，则则P点在以点在以AQ为直径的圆上，为直径的圆上，即即 .又又P点在双曲线上，得点在双曲线上，得 .由由消去消去y，得，得2222xy-=1ab2223a(x-a)+y=()222222xy-=1ab名师伴你行（a2+b2）x2-3a2x+2a4-a2b2=0.即即(a2+b2)x-(2a3-ab2)(x-a)=0.当当x=a时，时，P与与A重合，不符合题意，舍去重合，不符合题意，舍去.当当x=时时,满足题意的满足题意的P点存在点存在,需需x=a,化简得化简得a22b2,即即3a22c2,.离心率离心率e=(1,).返回目录返回目录 32222a-aba+b32222a-aba+bc6a2ea62名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行2222byax byax 名师伴你行
