1、名师伴你行名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行 抛物线抛物线了解抛物线的标准方程，会求抛了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程，了解抛物线的物线的标准方程，了解抛物线的简单几何性质简单几何性质.名师伴你行 从近两年的高考试题来看，抛物线的定义、标准从近两年的高考试题来看，抛物线的定义、标准方程、几何性质，以及直线与抛物线的位置关系等是方程、几何性质，以及直线与抛物线的位置关系等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题;客观题突出客观题突出“小而巧小而巧”，主要考查抛物线的定义、标，主要考查抛物线的定义、标准方程，主观题考查的较为全面，
2、除考查定义、几何准方程，主观题考查的较为全面，除考查定义、几何性质外，还考查直线与抛物线的位置关系，考查基本性质外，还考查直线与抛物线的位置关系，考查基本运算能力及逻辑推理能力运算能力及逻辑推理能力.预测预测2012年高考仍将以抛物线的定义、性质，以年高考仍将以抛物线的定义、性质，以及直线与抛物线的位置关系为主要考点，重点考查函及直线与抛物线的位置关系为主要考点，重点考查函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数与方程、转化与化归、数形结合思想等.返回目录返回目录 返回目录返回目录 1.抛物线的定义 平面内与一个定点平面内与一个定点F和一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F)距距离离 点
3、的轨迹叫做抛物线点的轨迹叫做抛物线.点点F叫做抛物线叫做抛物线的的 ,直线直线l叫做抛物线的叫做抛物线的 .相等相等 焦点焦点 准线准线 名师伴你行返回目录返回目录 2.2.抛物线的标准方程和几何性质抛物线的标准方程和几何性质(如表所示如表所示)标准方程标准方程y y2 2=2px(p0)=2px(p0)y y2 2=-2px(p0)=-2px(p0)图形图形性性质质范围范围x x0 x x0准线方程准线方程X=X=X=X=焦点焦点()()对称轴对称轴关于关于 对称对称顶点顶点（0 0，0 0）离心率离心率e=p,02p,02-p2p2x轴轴 1 名师伴你行1 返回目录返回目录 标准方程标准方
4、程x x2 2=2py(p0)=2py(p0)x x2 2=-2py(p0)=-2py(p0)图形图形性性质质范围范围y0y0准线方程准线方程x xx x焦点焦点()()对称轴对称轴关于关于 对称对称顶点顶点（0 0，0 0）离心率离心率e=p0,2p2-p0,2y轴轴 -p2名师伴你行返回目录返回目录 已知抛物线已知抛物线y2=2x的焦点是的焦点是F,点点P是抛物线上的动点是抛物线上的动点,又又有点有点A(3,2),求求|PA|+|PF|的最小值的最小值,并求出取最小值时并求出取最小值时P点的坐标点的坐标.由定义知由定义知,抛物线上点抛物线上点P到焦点到焦点F的距离等的距离等于于P到准线到准
5、线l的距离的距离d,求求|PA|+|PF|的问题可转化为的问题可转化为|PA|+d的问题的问题.名师伴你行返回目录返回目录 将将x=3代入抛物线方程代入抛物线方程y2=2x,得得y=.2,A在抛物线内部在抛物线内部.如图，设抛物线上点如图，设抛物线上点P到准线到准线l:x=-的距离为的距离为d,由定义知由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,当当PAl时时,|PA|+d最小最小,最小值为最小值为 ,即即|PA|+|PF|的最小值为的最小值为 ,此时此时P点纵坐标点纵坐标为为2,代入代入y2=2x,得得x=2,点点P坐标为坐标为(2,2).66127272名师伴你行 重视定义在解题中的应用重视
6、定义在解题中的应用,灵活地进行抛物线上的灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离到准线距离的等价转化点到焦点的距离到准线距离的等价转化,是解决抛物线是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径焦点弦有关问题的重要途径.返回目录返回目录 名师伴你行已知抛物线已知抛物线C:y2=4x的焦点为的焦点为F，准线为，准线为l，过抛物线，过抛物线C上的点上的点A作准线作准线l的垂线，垂足为的垂线，垂足为M，若，若AMF与与AOF（其中（其中O为坐标原点）的面积之比为为坐标原点）的面积之比为3：1，则，则点点A的坐标为的坐标为 .返回目录返回目录 名师伴你行 【解析】【解析】如图，由题意可知，如图，由题意可知，|OF|=
7、1，由抛物线定，由抛物线定义得义得|AF|=|AM|,AMF与与AOF（其中（其中O为坐标原为坐标原点）的面积之比为点）的面积之比为3：1，|AM|=3,设设A（,y0）,+1=3,解得解得y0=2 ,=2,点点A的坐标是的坐标是(2,2 ).返回目录返回目录 名师伴你行3)MAFsin(AFOF21MAFsinAMAF21SSAOFFAM 4y204y2024y202返回目录返回目录 名师伴你行2009年高考山东卷设斜率为年高考山东卷设斜率为2的直线的直线l过抛物线过抛物线y2=ax（a0）的焦点）的焦点F，且和，且和y轴交于点轴交于点A.若若OAF（O为坐标原点）的面积为为坐标原点）的面积
8、为4，则抛物线方程为，则抛物线方程为 .返回目录返回目录 名师伴你行【分析【分析】画出草图如图画出草图如图,利用条件利用条件,求参数求参数a.【解析【解析】图由抛物线方程知焦点图由抛物线方程知焦点F(，0)，直线直线l为为y=2(x-)，与与y轴交点轴交点A(0，-).SOAF=|OA|OF|=4.a2=64，a=8.故故y2=8x.故应选故应选B.4a4a2a21212a4a16a2返回目录返回目录 求抛物线方程的基本方法仍然是待定系数法，需要注意求抛物线方程的基本方法仍然是待定系数法，需要注意的是：（的是：（1）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物
9、线方程属于四种类型的哪一种；（程属于四种类型的哪一种；（2）要注意把握抛物线的顶点、）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；（对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；（3）要注意焦）要注意焦参数参数p的几何意义，并利用它的几何意义来解决问题，特别的几何意义，并利用它的几何意义来解决问题，特别是当顶点不在原点时，更要注意利用参数是当顶点不在原点时，更要注意利用参数p的几何意义，以的几何意义，以及焦点到顶点的距离和顶点到准线的距离均为及焦点到顶点的距离和顶点到准线的距离均为 来求其方程来求其方程.这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，设定一种形式这里易犯的错误就是缺少对开口
10、方向的讨论，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解的标准方程后求解，以致失去一解.反过来，也要注意由抛物线方程读有关信息，如参数反过来，也要注意由抛物线方程读有关信息，如参数p及顶点坐标，进而求出有关几何性质及顶点坐标，进而求出有关几何性质.p2名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应并求对应抛物线的准线方程抛物线的准线方程:(1)抛物线焦点抛物线焦点F在在x轴上，直线轴上，直线y=-3与抛物线交于点与抛物线交于点A，|AF|=5；(2)焦点在直线焦点在直线x-2y-4=0上上.返回目录返回目录 名师伴你行
11、【解析【解析】(1)设所求焦点在设所求焦点在x轴上的抛物线方程为轴上的抛物线方程为y2=2px(p0)，A(m,-3)，由抛物线定义得，由抛物线定义得5=|AF|=m+，又，又(-3)2=2pm,p=1或或p=9.故所求抛物线方程为故所求抛物线方程为y2=2x或或y2=18x.对应的准线方程为对应的准线方程为y=或或x=.2p2921返回目录返回目录 名师伴你行(2)令令x=0得得y=-2,令令y=0得得x=4,即抛物线的焦点为即抛物线的焦点为(4,0)或或(0,-2).当焦点为当焦点为(4,0)时时,=4,p=8.此时抛物线方程为此时抛物线方程为y2=16x.当焦点为（当焦点为（0，-2）时
12、，）时，=2，p=4.此时抛物线方程为此时抛物线方程为x2=-8y.故所求的抛物线方程为故所求的抛物线方程为y2=16x或或x2=-8y，对应的准线方，对应的准线方程分别是程分别是x=-4或或y=2.2p2p返回目录返回目录 设抛物线设抛物线y2=8x的焦点为的焦点为F，准线为，准线为l，P为抛物线上一为抛物线上一点，点，PAl,A为垂足，如果直线为垂足，如果直线AF的斜率为的斜率为-，那么，那么|PF|=.3名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行【分析【分析】由已知可求直线由已知可求直线AF的方程的方程,则则A点坐标可求点坐标可求,进而求出进而求出P点坐标点坐标,|PF|可求可求.【解析【解
13、析】如图所示如图所示,直线直线AF的方程为的方程为y=-(x-2),与准与准线方程线方程x=-2联立得联立得A(-2,4 ).设设P(x0,4 ),代入抛物线代入抛物线y2=8x,得得8x0=48,x0=6,|PF|=x0+2=8.故应选故应选B.333返回目录返回目录 名师伴你行 本题考查了抛物线的几何性质，考查运算求解本题考查了抛物线的几何性质，考查运算求解能力和数形结合思想，难度适中能力和数形结合思想，难度适中.返回目录返回目录 名师伴你行已知抛物线已知抛物线y=2px2(p0)的焦点为的焦点为F，点，点P（1,）在抛物）在抛物线上，过线上，过P作作PQ垂直抛物线的准线，垂足为垂直抛物线
14、的准线，垂足为Q，若抛物线，若抛物线的准线与对称轴相交于点的准线与对称轴相交于点M，则四边形，则四边形PQMF的面积的面积为为 .41返回目录返回目录 名师伴你行【答案【答案】【解析【解析】由由P（1,）在抛物线上，得）在抛物线上，得p=，故抛物线的，故抛物线的标准方程为标准方程为x2=4y，点，点F（0，1），准线为），准线为y=-1,|FM|=2,|PQ|=1+=，|MQ|=1，则直角梯形，则直角梯形PQMN的面积为的面积为 （+2）1=.813418141452145813返回目录返回目录 名师伴你行2010年高考福建卷已知抛物线年高考福建卷已知抛物线C:y2=2px(p0)过点过点A(
15、1,-2).(1)求抛物线求抛物线C的方程的方程,并求其准线方程并求其准线方程;(2)是否存在平行于是否存在平行于OA(O为坐标原点为坐标原点)的直线的直线l,使得直线使得直线l与抛物线与抛物线C有公共点有公共点,且直线且直线OA与与l的距离等于的距离等于?若存若存在在,求出直线求出直线l的方程的方程;若不存在若不存在,说明理由说明理由.55返回目录返回目录 名师伴你行【分析【分析】(1)易求易求;(2)假设存在假设存在,设出方程代入抛物线方程设出方程代入抛物线方程,由位置关系、距离公式求解由位置关系、距离公式求解.【解析【解析】(1)将将(1,-2)代入代入y2=2px,得得(-2)2=2p
16、1,所以所以p=2,故所求的抛物线故所求的抛物线C的方程为的方程为y2=4x,其准线方程为其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线假设存在符合题意的直线l,其方程为其方程为y=-2x+t.由由 y=-2x+t y2=4x 得得y2+2y-2t=0.返回目录返回目录 名师伴你行因为直线因为直线l与抛物线与抛物线C有公共点有公共点,所以所以=4+8t0,解得解得t-.另一方面另一方面,由直线由直线OA与与l的距离的距离d=可得可得 ,解得解得t=1.因为因为 1 -,+）,1-,+）,所以符合题意的直线所以符合题意的直线l存在存在,其方程为其方程为2x+y-1=0.2155515|t|2
17、121返回目录返回目录 名师伴你行 研究直线与抛物线位置关系研究直线与抛物线位置关系,一般应用判别式一般应用判别式;同时常常用到弦长公式、距离公式、韦达定理同时常常用到弦长公式、距离公式、韦达定理.返回目录返回目录 名师伴你行已知动圆过定点已知动圆过定点P(1,0),且与定直线且与定直线l:x=-1相切相切,点点C在在l上上.(1)求动圆圆心的轨迹求动圆圆心的轨迹M的方程的方程;(2)设过点设过点P,且斜率为且斜率为-的直线与曲线的直线与曲线M相交于相交于A,B两两点点;问问ABC能否为正三角形能否为正三角形?若能若能,求出求出C点的坐标点的坐标;若不若不能能,说明理由说明理由.3返回目录返回
18、目录 名师伴你行【解析【解析】(1)依题意依题意,曲线曲线M是以点是以点P为焦点为焦点,直线直线l为准线为准线的抛物线的抛物线,所以曲线所以曲线M的方程为的方程为y2=4x.如图所示如图所示.（2）由题意得，直线）由题意得，直线AB的方程为的方程为y=-(x-1),由由 y=-(x-1)y2=4x,得得3x2-10 x+3=0.解得解得A（）,B(3,-2 ).若若ABC能为正三角形，能为正三角形，333332,31设设C(-1,y)，则，则|AC|=|AB|=|BC|，即，即 组成的方程组无解，因此直线组成的方程组无解，因此直线l上不存在点上不存在点C使使ABC是正三角形是正三角形.返回目录返回目录 名师伴你行,)33232()31-3(y)3(21)(3,)33232()31-3(y)-332()131(22222222 返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 2p4名师伴你行名师伴你行
