1、2021-2022 学年高二年级下学期期末考试数学试卷附解析本试卷共 22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。nn3461.等差数列a 前 n 项和为 S ，a +a
2、5，则 S （）A15B20C25D30【答案】A66【分析】由等差数列的性质易得 a3+a4a1+a 5，而 S63（a1+a ），代入可得答案416616【解答】解：由题意可得 a3+a a +a 5， 故 S 3（a +a ）15故选：A【知识点】等差数列的性质2.（2x ）5 的展开式中 x3 项的系数为（）A80B80C40D48【答案】B【分析】利用通项公式即可得出【解答】解：通项公式 T r+1（1）r25rx52r，令 52r3，解得 r1展开式中 x3 项的系数80故选：B【知识点】二项式定理3.设 f（x）存在导函数且满足1，则曲线 yf（x）上的点（1，f（1）处的切线的
3、斜率为（）A1B2C1D2【答案】A【分析】根据极限的运算法则的应用，曲线在某处切线斜率的意义即可求出【解答】解：yf（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率为 f（1）1，故选：A【知识点】变化的快慢与变化率、导数及其几何意义4. 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（ ）A. 钱B 钱C 钱D 钱【答案】B【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊
4、所得钱分别为a2d，ad，a，a+d，a+2d，由题意求得 a6d， 结合 a2d+ad+a+a+d+a+2d5a5 求得 a1，则答案可求【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a2d，ad，a，a+d，a+2d， 则由题意可知，a2d+ada+a+d+a+2d，即 a6d，又 a2d+ad+a+a+d+a+2d5a5，a1，则 a2da2故选：B【知识点】等差数列的通项公式5. 设 x 是函数 f（x）ln（x+2）ax23a2x 的极小值点，则 f（x）的极大值为（）A2B1CD【答案】D【分析】求函数的导函数，利用极小值点求出a 的值，再确定出函数的解析式，从而确定函数的极大
5、值【解答】解：函数 f（x）ln（x+2）ax23a2x，定义域是：x|x2f（x）2ax3a2因为 x 是函数 f（x）ln（x+2）ax23a2x 的极小值点，则：f（ ）0，解得：9a23a20，即：a ，或 a ，讨论 a； 当 a 时，函数 f（x）在（2，1），f（x）0在 （1， ）f（x）0在 （ ，+）f（x）0+ x ，函数 f（x）在 x 取得极小值点，在 x1 取得极大值点，函数定义域是：x|x2f（x）的极大值为 f（1）当 a 时，函数 f（x） x ， 在（2， ），f（x）0在（ ，+），f（x）0x 不是函数 f（x）ln（x+2）ax23a2x 的极小值点，
6、与题设矛盾，a 舍去综合可得：x 是函数 f（x）ln（x+2）ax23a2x 的极小值点时，f（x）的极大值为： 故选：D【知识点】利用导数研究函数的极值6.2019 年 10 月 17 日是我国第 6 个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院 A，医生乙只能分配到医院 A 或医院 B， 医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有（ ）A18 种B20 种C22 种D24 种【答案】B【分析】根据题意，分 4 种情况讨论：甲乙都分到 A
7、 医院，甲分配到医院 A，乙分配到医院 B，甲和一名医生一起分到 A 医院，乙在 B 医院，甲单独分到 A 医院，乙和一名医生一起分到 B 医院， 由加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分 4 种情况讨论：6甲乙都分到 A 医院，剩下 3 人全排列，分配到其三个医院，有A 3 种分派方案；3甲分配到医院 A，乙分配到医院B，剩下3 人分成 2 组，安排到C、D 医院，有C 2A 26 种3 2分派方案；A甲和一名医生一起分到 A 医院，乙在 B 医院，剩下 2 人全排列，安排到 C、D 医院，有 C 1 22 24 种分派方案；2 2甲单独分到 A 医院，乙和一名医生一起分到 B 医院，
8、剩下 2 人全排列，安排到 C、D 医院， 有 C 1A 24 种分派方案；则一共有 6+6+4+420 种分配方案；故选：B【知识点】排列、组合及简单计数问题7.2019 年 10 月 1 日在庆祝中华人民共和国成立 70 周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为 ， ， ，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（）ABCD【答案】C【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解【解答】解：军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为 ， ， ，这三名同学中至
9、少有一名同学被选上的概率为：P1（1 ）（1 ）（1 ）故选：C【知识点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式8. 某种商品的广告费支出 x 与销售额 y（单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的数据，得出 y与 x 的线性回归方程为，则表中的 m 的值为（）x24568y3040m5070A45【答案】DB50C55D60【分析】计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论【解答】解：由题意， 5，38+ ，y 关于 x 的线性回归方程为，38+ 6.55+17.538+ 50 12，m60 故选：D【知识点】线性回归方程二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分
10、，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选对得分，错选或漏选不得分。9. 对于二项式，以下判断正确的有（）A. 存在 nN *，展开式中有常数项B. 对任意 nN*，展开式中没有常数项C. 对任意 nN*，展开式中没有 x 的一次项D. 存在 nN*，展开式中有 x 的一次项【答案】AD【分析】本题考查二项式定理，只要能写出二项展开式的通项，就可选出答案，属于简单题【解答】解：该二项展开式的通项为，当 n4k 时，展开式中存在常数项，A 选项正确，B 选项错误；当 n4k1 时，展开式中存在 x 的一次项，D 选项正确，C 选项错误 故选：AD【知识点】二项式定理10
11、. 甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有4 个红球，3 个白球和 3 个黑球先从甲罐中随机取AAA出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随123机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）A BC事件 B 与事件 A1 相互独立123DA ，A ，A 是两两互斥的事件【答案】BDAAA【分析】本题是概率的综合问题，掌握条件概率的基本运算是解决问题的关键本题在， ，是两两12323互斥的事件，把事件 B 的概率进行转化 P（B）P（B|A1）+P（BA ）+P（BA ），可知事件 B的概率是确定的【解答
12、】解：易见A1，A2，A3是两两互斥的事件，故选：BD【知识点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式11. 设等比数列an的公比为 q，其前 n 项和为 Sn，前 n 项积为 Tn，并满足条件 a11，且 a2020a20211，（a20201）（a20211）0，下列结论正确的是（）AS2020S2021Ba2020a202210 C数列Tn无最大值DT2020 是数列Tn中的最大值【答案】ABD【分析】根据题意，分析可得a20201，a20211，从而有 a11，0q1，则等比数列an为正项的递减数列再结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案即可得到正确选项a qaa1a qa qa【
13、解答】解：根据题意，根据题意，等比数列的公比为 ，若 ，则（2019）（2020）（ ）n2020 20211112（q4039）1，1n又由 a 1，必有 q0，则数列a 各项均为正值，a1a10a10a10q1若（ ）（ ） ，必有 ， ，则必有 ，2020202120202021依次分析选项：Aa SSa0SSA对于 ，数列各项均为正值，则 ，必有， 正确；n202120202021202020212020 20222021对于 B，若 0a20211，则 aa1（a）210，B 正确，Caaa1a0TT C对于 ，根据 ，可知是数列中的最大项， 错误；12202020212020n对于
14、 D，易得 D 正确， 故选：ABD【知识点】等比数列的前n 项和12. 如果函数 yf（x）的导函数 yf（ x）的图象如图所示，则以下关于函数 yf（x）的判断正确的是（）A. 在区间（2，4）内单调递减B在区间（2，3）内单调递增Cx3 是极小值点Dx4 是极大值点【答案】BD【分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的单调区间以及函数的极值即可【解答】解：A函数 yf（x）在区间（2，4）内 f（x）0，则函数单调递增；故 A 不正确，B函数 yxf（x）在区间（2，3）的导数为 f（x）0，yf（x）在区间（2，3）上单调递增，B 正确；C由图象知当x3 时，函数 f（x）
15、取得极小值，但是函数yf（x）没有取得极小值，故C 错误，Dx4 时，f（x）0，当 2x4 时，f（x）0，f（x）为增函数，4x， 此时 f（x）0 此时函数 yf（x）为减函数，则函数 yf（x）内有极大值，x4 是极大值点；故 D 正确， 故选：BD【知识点】利用导数研究函数的极值三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 某幼儿园的2 名老师带着5 名学生排队过马路，要求前后必须各有一名老师监护，则不同的排法共种【答案】240【分析】根据题意，分 2 步进行分析：将 2 名老师安排在两端，将 5 名学生全排列，安排在 2 名老师中间，由分步计数原理计算可得答案
16、【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析：要求前后必须各有一名老师监护，需要将2 名老师安排在两端，则 2 名老师的排法有 2 种，5将 5 名学生全排列，安排在 2 名老师中间，有 A 5120 种排法， 则有 2120240 种排法，故答案为：240【知识点】排列、组合及简单计数问题14.2019 年 10 月 22 日，联合国教科文组织公布 2019 年度联合国教科文组织赤道几内亚国际生命科学研究奖获奖名单，共 3 人获奖，其中包括来自中国的屠呦呦中国中医科学院教授、2015 年诺贝尔生理学或医学奖获得者屠呦呦发现的全新抗疟疾药物青蒿素在20 世纪 80 年代治愈了许多中国病人某科研机构
17、为了了解某种在研制的药品的指标数据 y 与百分比浓度 p 之间的关系，随机统计了某 5 次实验的相关数据，并制作了对照表如表：百分比浓度p610141822指标数据 y62m442814由表中数据求得回归直线方程为 3p+82.2，则 m【答案】53【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解即可【解答】解：由题意 14，所以样本中心为（14，），因为回归直线经过样本中心，所以314+82.2，解得 m53故答案为：53【知识点】线性回归方程n15.对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果已知最后结果的误差nnN（0， ），为使误差 在（0.5，0.5）的概率不小于
18、 0.9545，至少要测量次（若 XN（ ，2），则 P（|X |2）0.9545）【答案】32【分析】根据正态曲线的对称性知，要使得误差 在（0.5，0.5）的概率不小于 0.9545，问题转化为（n2， +2）（0.5，0.5）且 ，可求【解答】解：根据正态曲线的对称性知，要使得误差 在（0.5，0.5）的概率不小于 0.9545，n则（ 2， +2）（0.5，0.5）且 ，所以 0.5，解得，n32，即 n 的最小值 32 故答案为：32【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义16.定义 maxa，b且 f（x） 2e，g（x），令 h（x）maxf（x），g（x），则 h（x）的
19、极大值为，单调递增区间为【分析】对 g（x）求导，分析 g（x）的正负，g（x）的单调性，作出 h（x）maxf（x），g（x）的大致图象如下：h（x）的单调递增区间为 ，e【解答】解：因为 g（x）所以 g（x）（x0），令 g（x）0，则 xe，当 0xe 时，g（x）0，g（x）单调递增， 当 xe 时，g（x）0，g（x）单调递减，所以 g（x）g（e） ，极大值由 f（x）g（x），即 x2e，得 x ，作出 h（x）maxf（x），g（x）的大致图象如下：则 h（x）g（e） ，且在（0， ），（e，+）上单调递减，极大值在 ，e上单调递增，则 h（x）的单调递增区间为 ，e故答案
20、为： ， ，e【知识点】利用导数研究函数的极值四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。考生根据要求作答。nn42317.S 为等比数列a 的前 n 项和，已知 a 9a ，S 13，且公比 q0nn（1） 求 a 及 S ；n（2） 是否存在常数，使得数列S +是等比数列？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由1【分析】（1）由题意可得，解得 a 1，q3，根据通项公式和求和公式即可求出，n（2）假设存在常数，使得数列S +是等比数列，分别令 n1，2，3，根据等比数列的性质求出 的值，再根据定义证明即可【解答】解：（1）由题意可得，解得 a11，q3，nna 3n1
21、，S ，n（2）假设存在常数，使得数列S +是等比数列，S1+1，S2+4，S3+13，（+4）2（+1）（+13），解 得 ，n此 时 S + 3n，则3，故存在常数 ，使得数列Sn+ 是等比数列【知识点】等比数列的前 n 项和18. 已知数列an的前 n 项和为，数列bn满足 bnlog2annn（1） 求数列a 、b 的通项公式；1234n（2） 求 Tnb 2b 2+b 2b 2+（1）n+1b 2nn【分析】本题第（1）题先根据组合的知识可知S 2n1，然后根据公式 a 可计算出nnn2 nn数列a 的通项公式，最后将数列a 的通项公式代入 b log a 进行计算可得数列b 的通项
22、公式；第（2）题先根据第（1）题的结果可判断出数列bn是以 0 为首项，1 为公差的等差数列，然后对 n 分奇数和偶数两种情况分别进行计算，利用平方差公式及等差数列的求和公式可计算出Tn 的表达式【解答】解：（1）由题意，2n1，当 n1 时，a S 2111，11当 n2 时，a S S2n12n1+12n1，nnn1当 n1 时，a 1 也满足 a 2n1，1nna 2n1，nN*，b log a log 2n1n1，nN*n2 n2（2）由（1）知，bnn10+1（n1），n故数列b 是以 0 为首项，1 为公差的等差数列，当 n 为奇数时，n1 为偶数，Tnb 2b 2+b 2b 2+
23、（1）n+1b 21234nb 2b 2+b 2b 2+b2b2+b 21234n2n1n（b +b ）（b b ）+（b +b ）（b b ）+（b+b）（bb）+b 212123434n2n1n2n1n（b +b +b +b +b+b）+b 21234n2n1n+（n1）2；当 n 为偶数时，n1，n+1 均为奇数，Tnb 2b 2+b 2b 2+（1）n+1b 21234nb 2b 2+b 2b 2+b2b 21234n1n（b +b ）（b b ）+（b +b ）（b b ）+（b+b ）（bb ）12123434n1nn1n（b +b +b +b +b+b ）1234n1n；综上所述
24、，可知：Tn【知识点】数列的求和、组合及组合数公式19. 为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，坚决防范疫情向校园蔓延，切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网络平台等多种方式实施线上教育教学工作某教育机构为了了解人们对其数学网课授课方式的满意度，从经济不发达的A 城市和经济发达的B 城市分别随机调查了 20 个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：若评分不低于 80 分，则认为该用户对此教育机构授课方式“认可”，否则认为该用户对此教育机构授课方式“不认可”（）请根据此样本完成下列22 列联表，并据此列联表分析，能否有95%的把
25、握认为城市经济状况与该市的用户认可该教育机构授课方式有关？认可不认可合计A 城市B 城市合计（）以该样本中 A，B 城市的用户对此教育机构授课方式“认可”的频率分别作为A，B 城市用户对此教育机构授课方式“认可”的概率现从 A 城市和 B 城市的所有用户中分别随机抽取 2 个用户，用 X 表示这4 个用户中对此教育机构授课方式“认可”的用户个数，求x 的分布列参考公式：参考数据：，其中 na+b+c+dP（K2K）0.100.050.025k2.7063.8415.024【答案】【第 1 空】5【第 2 空】15【第 3 空】20【第 4 空】10【第 5 空】10【第 6 空】20【第 7
26、空】15【第 8 空】25【第 9 空】40【分析】（）根据茎叶图可完成列联表，再根据公式求出K2，再与 3.841 比较大小即可求出结论；（）由题意可得，X 的取值可能为 0，1，2，3，4，再根据相互独立事件与互斥事件的概率公式即可求出分布列认可不认可合计A 城市51520B 城市101020合计152540【解答】解：（）有茎叶图可得列联表如下：，没有 95%的把握认为城市经济状况与该市的用户认可该教育机构授课方式有关；（）由题意知，A 城市用户对此教育机构授课方式“认可”的概率为，B 城市用户对此教育机构授课方式“认可”的概率为，X 的可能结果为 0，1，2，3，4，P（X0） P（X
27、1）P （ X 2 ） ，P（X3），+，P（X4），X 的分布列为X01234P【知识点】独立性检验、离散型随机变量及其分布列20. 某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校 300 名高三学生平均每天体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，得到频率分布直方图如图将日均体育锻炼时间在40，60）的学生评价为“锻炼达标”（1）根据频率分布直方图，完成下面的22 列联表；锻炼达标锻炼不达标合计身体素质合格身体素质不合格合计50120300（2） 根据列联表判断，是否有 99.9%的把握认为学生“身体素质”与“锻炼时间”有关？参考公式：K2 临界值表：，其中 na+b+c+dP（K2k
28、0）0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.828【分析】（1）根据题目所给的数据填写 22 列联表即可；（2）计算 K 的观测值 K2，并与附录中的数据进行对比即可作出判断【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，“锻炼达标”的人数为 300（0.03+0.04）10210补充完整的 22 列联表如下：锻炼达标锻炼不达标合计身体素质合格14040180身体素质不合格7050120合计21090300（2）K212.96310.828，故有 99.9%的把握认为学生“身体素质”与“锻炼时间”有关【知识点】独立性检验mmmmm21. 在集合 A1，2，3，4，2
29、n中，任取 m（mn，m，nN *）元素构成集合 A 若 A 的所有元素之和为偶数，则称A 为 A 的偶子集，其个数记为f（m）；若A 的所有元素之和为奇数，则称A 为 A 的奇子集，其个数记为 g（m）令 F（m）f（m）g（m）（1）当 n2 时，求 F（1），F（2）的值；（2）求 F（m）【分析】（1）当 n2 时，根据定义即可求 F（1），F（2）（2）分别讨论当 m 是奇数和偶数时，f（m）和 g（m）的值，利用二项式定理进行求解即可【解答】解：（1）当 n2 时，集合为1，2，3，4当 m1 时，偶子集有2，4，奇子集有1，3，f（1）2，g（1）2，F（1）0； 当 m2 时，
30、偶子集有2，4，1，3，奇子集有1，2，1，4，2，3，3，4， f（2）2，g（2）4，F（2）2；（2）当 m 为奇数时，偶子集的个数 f（m） 0 m+ 2 m2+ 4 m4+ m1 1，n nn nn nnn奇子集的个数 g（m） 1 m1+ 3 m3+ m 0，n nn nnn所以 f（m）g（m），F（m）f（m）g（m）0当 m 为偶数时，偶子集的个数 0 m+ 2 m2+ 4 m4+ m 0，n nn nn nnn奇子集的个数 g（m） 1 m1+ 3 m3+ m1 1，n nn nnn所 以 F（m）f（m）g（m） 0 m 1 m1+ 2 m2 3 m3+ m1 1+ m
31、0，一方面，n nn nn nn nnnnnm（1+x）m（1x）m（0+1x+2x2+mxm）（ 01x+2x2+（1）mm m），xmmmmmmm所以（1+x）m（1x）m 中 xm 的系数为 0 mm m1 m1+2 m2m m3 m3+m1m1+ m 0，mmmmmmm另一方面，（1+x）m（1x）m（1+x）m（1x2）m 中，（1x2）m 中 xm 的系数为（1），故 F（m）（1），综上，F（m）【知识点】二项式定理22.已知函数 f（x）（x1）lnx+ax2+（1a）x1（1） 当 a1 时，判断函数的单调性；（2） 讨论 f（x）零点的个数【分析】（1）把 a1 代入后对函
32、数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调性；（2） 先对函数求导，然后结合导可判断函数的单调性，然后结合函数的性质及零点判定定理 即可求解【解答】解：（1）a1 时，f（x）（x1）lnxx2+2x1，令 h（x），则，易得函数 h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，故 h（x）h（1）0 即 f（x）0， 所以 f（x）在（0，+）上单调递减；（2）由 f（x）（x1）lnx+ax2+（1a）x1 可得 f（1）0，即 x1 为函数 f（x）的一个零点，设 g（x）lnx+ax+1，则 f（x）的零点个数即为 g（x）的不为 1 的零点个数加上 1，（i） 当
33、a1 时，由（1）知 f（x）单调递减，且 x1 是 f（x）的零点，故 f（x）有且只有 1个零点 1；（ii） 当 a0 时 ，g（x） 单 调 递 增 且 g（1）0， g（x）lnx+ax+1，0x1，因为 ax2+（a+3）x1（a+4）x2+（a+3）x1（a+4）x1（x+1），所以 g（）0，综上可知，g（x）在（0，+）上有 1 个零点且 g（1）9， 所以 f（x）有 2 个零点（iii） 又，所以当1a0 时，g（x）在（0， ）上单调递增，在（）上单调递减，故 g（x）的最大值 g（ ）ln（ ）0，又 g（x）0， 且 g（ ）0，g（ ） 0，所以 g（x）在（0， ）上有 1 个零点，在（ 此时 f（x）共有 3 个零点，）上有 1 个零点且 x0 也是零点，（iv） 又，所以当 a1 时，g（x）在（0， ）上单调递增，在（）上单调递减，故 g（x）的最大值 g（ ）ln（ ）0，故 g（x）没有零点，此时 f（x）只有 1 个零点，综上可得，当a1 时，f（x）有 1 个零点；当1a0 时，f（x）有 3 个零点，当a0 时，f（x）有 2 个零点【知识点】利用导数研究函数的单调性
