1、1.1.什么叫做等比数列？什么叫做等比数列？等比数列的递推公式是什么？等比数列的递推公式是什么？从第从第2 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列叫做等比数列列叫做等比数列.nn 1aq(n2)a2.2.等比数列的通项公式是什么？等比数列的通项公式是什么？1n1naa q-=(0)q)(*1NnqaannabG3.等比中项mnmnqaa练练.一个等比数列的第一个等比数列的第3 3项与第项与第4 4项分别是项分别是1212与与18,18,求它的求它的第第1 1项与第项与第2 2项项.21aa q 32q 解得解得 答：这个数列的第答：这个
2、数列的第1项与第项与第2项分别是项分别是 与与 8.1633118a q 2112a q 1163a 解法一：由题意得解法一：由题意得163832 解法二：由题意得解法二：由题意得43183122aqa 233112aaa qaq 由由163 21aa q 8 思考3已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则an等于什么？为什么？(1)当q1,a10或0q1,a11,a10或0q0时,an是递减数列;当q=1时,an是常数列;当q0.等比数列 等差数列名 称an+1-an=dan=a1+（n-1）d an=a1qn-1 an+1 an=q等差、等比数列对照表等差、等比数列对照表定义定义
3、后一项后一项 前一项前一项后一项后一项/前一项前一项通项通项公式公式性性 质质推推 广广dmnaamn)()(mnmnqaa递推递推公式公式(q0)性质性质1：若数列若数列 是公比为是公比为q的等比数列，则随意取出连续的的等比数列，则随意取出连续的三项以上的数，把他们重新依次看成一个数列，则仍三项以上的数，把他们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列。是等比数列。na1234,na a a aa例如：例如：123,a a a567,a a a101112131415,a a a a a a性质性质2：若数列若数列 是公比为是公比为q的等比数列，则任取的等比数列，则任取“间隔相同间隔相同”的三项以
4、上的数，把他们重新依次看成一个数列，则的三项以上的数，把他们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列。仍是等比数列。na1234,na a a aa例如：例如：2581114,;a a a a a4812,;a a a357911,.a a a a a102030405060,;a a a a a a性质性质3：若数列若数列 是公比为是公比为q的等比数列，的等比数列，c是不等于是不等于0的常的常数，那么数列数，那么数列 仍是等比数列。仍是等比数列。na1234,na a a aanca1234,nccc aa c aac a11(1)nnnncq ncaaaa性质性质4：若数列若数列 ，是公比分为
5、是公比分为 的等比数列。的等比数列。则有（则有（1）仍为等比数列，且公比为仍为等比数列，且公比为 ；（2）仍为等比数列，且公比为仍为等比数列，且公比为 。na1234,na a a aa nb12,q qnna b12q qnnab12qq1234,nb b b bb11223344,nna b a b a b a ba b121111(1)nnnnnnnnnaba bq qa ba b31241234,nnaaa aab b b bb11111121(1)nnnnnnnnnnnnnaqba babaqb aabb性质性质5：2pqrskaaaaa在等差数列在等差数列 中，当中，当 时，则时，
6、则 na2(,)p q r sk q pr s kN 在等比数列在等比数列 中，当中，当 时，则时，则？na2(,)p q r skq pr skN 2pqrska aa aa1122111112211112222211()()()()()pqp qpqrsr srskkkaaaaaaaaaqqqaqqqaqqaa 12132.nnna aa aa a1.定义定义2.公比公比(差差)3.等比等比(差差)中项中项4.通项公式通项公式5.性质性质(若若m+n=p+q)daann 1q不可以不可以是是0d可以可以是是0等比中项等比中项abG 等差中项等差中项baA 211 nnqaadnaan)1(
7、1 qpnmaaaa qpnmaaaa mnmnqaa dmnaamn)(等差数列等差数列qaann 1 等比数列等比数列题型一题型一等比数列性质的应用等比数列性质的应用 已知数列an为等比数列(1)若an0，且a2a42a3a5a4a636，求a3a5的值；(2)若a1a2a37，a1a2a38，求数列an的通项公式解解(1)法一法一an0，a10，q0.又a2a42a3a5a4a636，a1qa1q32a1q2a1q4a1q3a1q536，即a12q42a12q6a12q836，a12q4(12q2q4)36，即a12q4(1q2)236，a1q2(1q2)6，a3a5a1q2a1q4a1
8、q2(1q2)6.【例例1】（1 1）法二）法二a2a42a3a5a4a636，a322a3a5a5236，(a3a5)236，a3a56.(1)若若an0，且，且a2a42a3a5a4a636，求，求a3a5的值；的值；(2)若若a1a2a37，a1a2a38，求数列，求数列an的通项公式的通项公式(2)a22a1a3代入已知，得代入已知，得a238，a22.在递增等比数列an中，a1a964，a3a720，求a11的值解解在等比数列an中，a1a9a3a7，由已知可得：a3a764与a3a720联立得：an是递增等比数列，a7a3.取a34，a716，164q4，q44.a11a7q416
9、464.【变式变式1】三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数【例例2 2】题型题型二二等差数列与等比数列的综合应用等差数列与等比数列的综合应用 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数思路探索思路探索 根据等差数列和等比数列的性质，设出未知数，根据等差数列和等比数列的性质，设出未知数，结合题中条件求解即可结合题中条件求解即可【变式变式2】所以，当a4，d4时，所求四个数为0,4,8,16；当a9，d6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0
10、,4,8,16或15,9,3,1.当a8，q2时，所求四个数为0,4,8,16；故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.A(n1)2 Bn2C(n1)2 Dn(2n1)错解错解 易得an2n，且log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3a2n1)log2213(2n1)误区警示误区警示因没数清数列的项数致误因没数清数列的项数致误【示示例例】对等差数列1,3，2n1的项数没数清正解正解 a5a2n522nan2，an0，an2n，log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3a2n1)log2213(2n1)log22n2n2.故选故选B.答案答案B 某市2
11、010年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.审题指导审题指导 本题主要考查构建数学模型解决实际问题，通本题主要考查构建数学模型解决实际问题，通过阅读之后，找出题目中的相关信息，构造等差数列和等过阅读之后，找出题目中的相关信息，构造等差数列和等比数列比数列题型题型三三等比数列
12、的实际应用等比数列的实际应用【例例3】规范解答规范解答(1)设中低价房面积构成数列an，由题意可知，an是等差数列，其中a1250，d50，(2分分)令25n2225n4 750，即n29n1900，解得n19或n10，而n是正整数n10.(4分分)故到2019年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米 (6分分)(2)设新建住房面积构成数列bn，由题意可知，bn是等比数列，其中b1400，q1.08，则bn400(1.08)n1，(8分分)由题意可知an0.85bn，即250(n1)50400(1.08)n10.85满足上述不等式的最小正整数n6.(10分分)故到2
13、015年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.(12分分)【题后反思题后反思】本题将实际问题抽象出一个数列问题，解本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列在求解过程中应题的哪一部分是数列问题，是哪种数列在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算不要在运算中出现问题注意首项的确立，时间的推算不要在运算中出现问题 始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机受此拖累，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美
14、元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元你能求出7月到9月平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?解解设每月平均下降的百分比为x，则每月的价格构成了等比数列an，记：a1147(7月份价格)，则8月份价格：a2a1(1x)147(1x)；9月份价格：a3a2(1x)147(1x)2.147(1x)297，解得x18.8%.设an34，则34147(118.8%)n1，解得n8.即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶【变式变式3】变形、变形、等比数列等比数列an中中,a1=2,q=-3,求求a8与与an.变形变形 2、等比
15、数列等比数列an中中,a1=2,a9=32,求求q.变形、变形、等比数列等比数列an中中,a1+a3=10,a4+a6=5/4,求求q的值的值.变形、变形、等比数列等比数列an中中,a3+a6=36,a4+a7=18,an=1/2,求求n.例题讲解例题讲解1.首项为首项为3,末项为末项为3072,公比为公比为2的等比数列的项数有的等比数列的项数有()A.11项项 B.12项项 C.13项项 D.10项项2.在等比数列在等比数列 中中,则则na,24,3876543 aaaaaa 11109aaaA.48 B.72 C.144 D.192 练习题练习题:ADA.1或或2 B.-1或或-2 C.1或或-2 D.-1或或2 3.在等比数列在等比数列 中中,则公比则公比q等于等于:na5642aaa C(1)求a1，a2；(2)证明：数列an是等比数列.习题习题2.求下列各等比数列的通项公式：求下列各等比数列的通项公式：(1)a12,a38;(2)a15,且且2an13an.等比数列的通项公式及运算
