1、16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部120232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六数学分析数学分析（2）16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部220232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六 221P一、一、F(x,y)=0 情形情形二、多变量情形二、多变量情形三、方程组情形三、方程组情形16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部320232023年年5 5月月6 6日星期六日星期
2、六 前面关于隐函数（组）的微分法都假定：隐函数前面关于隐函数（组）的微分法都假定：隐函数存在，且它们的导数或偏导数也存在。存在，且它们的导数或偏导数也存在。本章讨论隐函数存在性问题及连续性、可微性。本章讨论隐函数存在性问题及连续性、可微性。3221sinyx,zxy.1、隐函数概念隐函数概念因变量可由自变量的某一分析式来表示因变量可由自变量的某一分析式来表示的函数称为显函数例如：的函数称为显函数例如：一、一、F(x,y)=0 情形情形16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部420232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六方
3、程式所确定的函数方程式所确定的函数,通常通常称为隐函数称为隐函数例如：例如：2/32/32/333330 xya,xyzxy.自变量与因变量之间的关系是由某一个自变量与因变量之间的关系是由某一个不是任一方程不是任一方程 都能确定隐函数都能确定隐函数,0),(yxF例如例如 显然不能确定任何隐函数显然不能确定任何隐函数 0122 yx 隐函数一般隐函数一般显函数，也显函数，也)(xfy 显函数上面把隐函数仍记为显函数上面把隐函数仍记为 ，这，这 与它能否用显函数表示无关与它能否用显函数表示无关 16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基
4、础部520232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六.01).(22 yxyxF例如方程例如方程一个方程能否确定隐函数还应与所讨论的点一个方程能否确定隐函数还应与所讨论的点及其某邻域有关及其某邻域有关.2011;yx 它它在在，-点点及及其其某某个个邻邻域域内内唯唯一一地地确确定定了了（一一个个函函数数：下下半半圆圆）20 11;yx它它在在，点点及及其其某某个个邻邻域域内内唯唯一一地地确确定定了了（一一个个函函数数：上上半半圆圆）.)0,1()0,1(质质邻域内却不具有这种性邻域内却不具有这种性这两点的任何这两点的任何和和但在但在 (0,1)(0,1)(0,-1)(0,-1)(-1,0
5、)(-1,0)(1,0)(1,0)16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部620232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六类似地可定义多元隐函数例如类似地可定义多元隐函数例如:由方程由方程 0),(zyxF,),(yxfz 确定的隐函数确定的隐函数 由方程由方程 0),(uzyxF,),(zyxfu 确定的隐函数确定的隐函数 等等等等.条件时，由条件时，由 F(x,y)=0 能确定隐函数能确定隐函数 y=f(x)并使并使 ),(yxF要讨论的问题是：当函数要讨论的问题是：当函数 满足怎样一些满足怎样一些 该隐函数具有连续、
6、可微等良好性质该隐函数具有连续、可微等良好性质?16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部720232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六(,)0F x y(,)0zF x yz 几 何 上唯一确定隐唯一确定隐函数函数()yf x ()yf x（1 1）连续）连续 （1 1）连续曲线存在）连续曲线存在000(,)pxy,使使00(,)0F xy（2 2）可微）可微（2 2）存在切线）存在切线 交线交线.0),(的交线的交线与与曲面曲面 zyxFz.0),(相交相交必须与必须与曲面曲面 zyxFz16.1 16.1 隐函数存在
7、定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部820232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六曲面曲面(,)zF x y在0p点有切平面且切平面的法线不平行于点有切平面且切平面的法线不平行于z轴（即切平面不是轴（即切平面不是xoy平面）平面）0p切平面的法向量为切平面的法向量为0,1xyPnF F与0,0,1k 不共线不共线0,0,0 xyPFF（即,xyFF 不能同时为零）交线交线 存在切线存在切线 ，意味着一元函数的可微性，也要求，意味着一元函数的可微性，也要求LT0,0,0 xyPF F16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(
8、2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部920232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六z yOO16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部1020232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六1 设方程设方程 F(x,y)=0中中 ),(yxF的函数的函数 满足以下三个条件：满足以下三个条件：(ii)(初始条件初始条件)；0),(00 yxF则有如下结论成立：则有如下结论成立：(i)在区域在区域00:,;xyDxxayybFF 上上连连续续(iii)00(,)0.yFxy F(x,y)=0 惟一地确定了一个隐函数惟一地确
9、定了一个隐函数 DPU)(0)(0PU(i)存在某邻域存在某邻域 ，在，在 内由方程内由方程16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部1120232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六00(),(,),yf xxxx;0)(,(,)()(,(0 xfxFPUxfx它满足：它满足：00()f xy),(00 xxx,且当且当 时时,使得使得 证明过程归结起来有以下四个步骤证明过程归结起来有以下四个步骤(见图见图2)：(,)/(,).xyyFx yFx y 在在 上连续上连续()f x),(00 xx00()(,)yf xxx
10、在在内内有有连连续续导导数数，且且16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部1220232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六(c)同号两边伸同号两边伸 x0 xy0yO0 x0 x0 y0y(d)利用介值性利用介值性 x0 xy0yO0 x0 x0()U P0y0y()yf x(b)正、负上下分正、负上下分_+_0 xyO0 x0 x0 x0y0y0y(a)一点正一点正,一片正一片正+x0 x0 x0 x0y0y0yyO16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础
11、部1320232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六0000,SxxyyD.其中其中,),(,0),(SyxyxFy 00(,)0.yFxy 由条件由条件(iii)，不妨设，不妨设 ),(yxFy因为因为 连续，连续，保号性，保号性，使得使得 0,0 x0 x 0 x 0y0y 0y xyOD+所以根据连续函数的所以根据连续函数的0()0yF P 16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部1420232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六00(,)0,F xy _+_0 xyO0 x0 x0 x0y0y0y,),(,0
12、),(SyxyxFy ,00 xxx因因 故故 y),(yxF,00 yy把把 看作看作 的函数，它在的函数，它在 上上 严格增，且连续严格增，且连续(据条件据条件(i)0(,),F xy特别对于函数特别对于函数 由条由条 00(,)0F xy 件可知件可知00(,)0.F xy 16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部1520232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六因为因为 关于关于 连续，故由连续，故由 ),(,),(00 yxFyxFx(b)的结论，根据保号性，的结论，根据保号性，使得使得,)0(0(,)0,F x
13、 y x0 xy0yO0 x 0 x 0y 0y ,),(00 xxx),(yxFy因因 关于关于 连续连续,且严且严 格增，故由格增，故由(c)的结论，依据介值性定理的结论，依据介值性定理,存在惟存在惟 0(,)0,F x y 00(,).xxx16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部1620232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六x0 xy0yO0 x 0 x 0()U P0y 0y ()yf x 满足满足00(,),yyy一的一的 就证得存在惟一的隐函数就证得存在惟一的隐函数:.0),(yxF由的任意性由的任意性,
14、这这 x0000(,),(,).xIxxyJyy ,)(0JIPU 1若记若记 则定理结论则定理结论 得证得证 00(,),xxx即即欲证上述欲证上述 在在 连续连续.)(xfx(),yf x 16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部1720232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六00,yyyy(,)0,(,)0.F x yF x y类似于前面类似于前面(c)，使得使得,0 (,)0,F x y ),(yxFy由由 对对 严格增，而严格增，而 ().yf x 其中其中推知推知 0,取取足足够够如图如图 3 所示所示,.x
15、xOyx x yy y 0y 0y 0P.()yf x 小，使得小，使得 16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部1820232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六,),(),(00 xxxx.0),(,0),(yxFyxF,),(,)(xxxyxfy在在 上处处连续上处处连续),(00 xx因此因此 在连续在连续.由的任意性由的任意性,便证得便证得 x)(xf)(xfx),(xxx且当且当 时，有时，有 类似于前面类似于前面(d)，由于隐函数惟一，故有，由于隐函数惟一，故有 16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定
16、理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部1920232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六()()yf x,yyf xxJ.0),(,0),(yyxxFyxF使用微分中值定理使用微分中值定理,使得使得 ,)10(0(,)(,)F xx yyF x y ,Ixxx 设则设则 由条件易知由条件易知 F 可微，并有可微，并有 2(,)yFx yyy 1(,)xFxx yyx(,)(,)F xx yyF x yy (,)(,)F x yyF x y 16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部2020232023年
17、年5 5月月6 6日星期六日星期六12(,)(,)xyF xx yyy.xF x yy 显然也是连续函数显然也是连续函数)(xf 0 x,0 yyxFFf,因因 都是连续函数都是连续函数,故故 时时并有并有 1002(,)()limlim(,)xxxyFxx yyyfxxFx yy (,),(,).(,)xyFx yx yIJFx y 16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部2120232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院
18、基础部2220232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六 定理定理 1 的条件的条件(i)(iii)既是充分条件既是充分条件,又又 是一组十分重要的条件是一组十分重要的条件.例如：例如：在点在点 虽虽 ,0)0,0(,0),(33 yFxyyxF)0,0(.xy 不满足条件不满足条件(iv)，但仍能确定惟一的隐函数，但仍能确定惟一的隐函数 0)(),(22222 yxyxyxF ,在在 点点 同样不满足同样不满足)0,0(条件条件(iii);如图如图 4 在该点无论多么小在该点无论多么小的邻域内的邻域内,确实不能确实不能 xyO11 确定惟一的隐函数确定惟一的隐函数.16.1 16.1
19、隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部2320232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六必须注意必须注意,定理定理 1 是一个是一个的隐函数存的隐函数存在定理例如从以上双纽线图形看出在定理例如从以上双纽线图形看出:除了除了(0,0),(1,0),(1,0)三点以外三点以外,曲线上其余各点处都存在曲线上其余各点处都存在 条件条件(iii)在证明中的作用只是用来保证在邻在证明中的作用只是用来保证在邻 )(0PU域域 内内 关于为严格单调关于为严格单调),(yxFy局部隐函数局部隐函数 .)(xfy 在方程在方程 中中,0),(yxFxy与与 的
20、地位是平等的地位是平等 的的.当条件当条件(iii)改为改为(其它条件不变其它条件不变).)(ygx 时，将存在局部的连续隐函数时，将存在局部的连续隐函数 0),(00 yxFx16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部2420232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六。，在该邻域内可唯一确定可微的隐函数在该邻域内可唯一确定可微的隐函数1),(22 yxyxF方程方程.2,2都在全平面连续都在全平面连续yFxFyx .00 yFy时，时，.1,0 0122 xyyx时时知，当知，当由由).(xfy 都存在邻域，都存在邻域，外
21、，其它任意点外，其它任意点因此，除因此，除),()0,1(00yx 16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部2520232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六方程方程cossinxyyxe内确定隐函数内确定隐函数()yf x或或()xg y？能否在原点的某邻域能否在原点的某邻域解：令令(,)cossinxyF x yyxe则则cosxyxFxyesinxyyFyxe，他们都在全平面上连续他们都在全平面上连续.(0,0)0,(0,0)1,(0,0)0 xyFFF故方程在故方程在(0,0)点的邻域内可唯一地确定可微的隐函数点的
22、邻域内可唯一地确定可微的隐函数()xg y由于由于(0,0)0yF，据此无法断定是否在据此无法断定是否在(0,0)点的某邻域内点的某邻域内()yf x存在。存在。有隐函数有隐函数16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部2620232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六0)(22222 yxyx 试讨论双纽线方程试讨论双纽线方程 ()yf x 所能确定的隐函数所能确定的隐函数 ().xg y 或或xyO11 令令 它有连续的它有连续的 ,)(),(22222yxyxyxF .2)(4,2)(42222yyxyFxyxxFyx
23、 求解求解,0),(0),(0),(0),(yxFyxFyxFyxFyx与与 分别得到分别得到 16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部2720232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六26(0,0)(,)0,44xxFF(0,0)1,00.yyFF)0,1(,)0,0(所以，除所以，除 这这三点外，曲线上在其他三点外，曲线上在其他 xyO11 在其他所有点处都存在局部的在其他所有点处都存在局部的可微隐函数可微隐函数().xg y.)(xfy 所有点处都存在局部的可微隐函数所有点处都存在局部的可微隐函数 )42,46(,)
24、0,0(同理，除同理，除 这五点外，曲线上这五点外，曲线上 16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部2820232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六二、多变量情形二、多变量情形2 设函数设函数 F(x1,x2,xn;y)满足以下条件满足以下条件 则有如下结论成立：则有如下结论成立：(i)在区域在区域(0)(0):,(1,2,)iiiDxxayyb in(iii)(i)上具有对一切变量的连续偏导数上具有对一切变量的连续偏导数.方程方程F(x1,x2,xn;y)=0惟一确定一个函数惟一确定一个函数(ii)(初始条件初始条件)
25、；;0);,()0()0()0(2)0(1 yxxxFn;0);,()0()0()0(2)0(1 yxxxFny内，内，）的某一邻域）的某一邻域在点在点)0()0()0(2)0(1;,(yxxxn y=f(x1,x2,xn);,()0()0(2)0(1)0(nxxxfy 且且16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部2920232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六1212(,;)(1,2,).(,;)iixnxynFxxxyfinFxxxy y=f(x1,x2,xn)在在 内连续；内连续；y=f(x1,x2,xn)在在 内
26、对各变量有连续偏内对各变量有连续偏导数，且导数，且16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部3020232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六例例4 4 设sin0zxyz,问方程是否在原点问方程是否在原点(0,0,0)地确定可微函数地确定可微函数(,)zf x y，其中(,)x y属于(0,0)某个邻域某个邻域 ，使得，使得sin(,)(,)f x yxyf x y的某邻域唯一的某邻域唯一点的解解：令令(,)sinF x y zzxyz.显然显然(,)F x y z的偏导数，且的偏导数，且(,)cosxF x y zzxy
27、 ,由由(0,0,0)1zF，(0,0,0)0F知，存在知，存在0，使得在，使得在|,|xy有唯一的可微函数有唯一的可微函数(,)zf x y，满足，满足：在全平面有连续在全平面有连续sin(,)(,)f x yxyf x y16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部3120232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六设有一组方程设有一组方程 (,)0,(1)(,)0,F x y u vG x y u v则称由则称由(1)确定了隐函数组确定了隐函数组 之对应之对应,能使能使(,),(1),x y u vV 且满足方程组且满足方
28、程组其中其中 定义在定义在 若存在若存在 2,R,D E 4R.V FG与与使得对于任给的使得对于任给的(,),x yD()u,vE 与与有有的的三、方程组情形三、方程组情形16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部3220232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六(,),(,),(,),(,),uu x yx yDu vEvv x y 并有并有 (,(,),(,)0,(,).(,(,),(,)0,F x y u x y v x yx yDG x y u x y v x y 关于隐函数组的一般情形关于隐函数组的一般情形(含有
29、含有 m+n 个变量的个变量的 m 个方程所确定的个方程所确定的 n 元隐函数元隐函数)，与此同理，与此同理.16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部3320232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六 设方程组设方程组(1)中的函数中的函数 F 与与 G 满足下列条件：满足下列条件：在以点在以点 为内点的某区域为内点的某区域 ),(00000vuyxP4RD 内有连续的偏导数；内有连续的偏导数；(初始条件初始条件);0)()(00 PGPF.0),(),(00 PPvuGFJ则有如下结论成立：则有如下结论成立：在在 P0
30、点的某一邻域点的某一邻域 内，方程内，方程 F=0;G=0 16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部3420232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六(,)(,)uu x yvv x y (,(,),(,)0,(,(,),(,)0,F x y u x y v x yG x y u x y v x y (,).xyU 000000(,),(,)uu xyvv xy确定确定一组隐函数一组隐函数它们被定义在它们被定义在(x0,y0)的某个邻域的某个邻域 U 内，且满足内，且满足及及(,)(,)uu x yvv x y 在在 U
31、内连续；内连续；16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部3520232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六且有且有 1(,),(,)1(,).(,)vF GxJu xvF GyJu y 1(,),(,)1(,);(,)uF GxJx vuF GyJy v 本定理的详细证明从略，下面只作一粗略的解释本定理的详细证明从略，下面只作一粗略的解释:(,),(,)u x yv x y在在 内存在一阶连续偏导数，内存在一阶连续偏导数，U 由方程组由方程组(1)的第一式的第一式 确定隐确定隐 (,)0F x y u v 函数函数 (,)
32、,ux y v 且有且有16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部3620232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六,.xxuyyuvvuFFFFFF (,)(,(,),)0.H x y vG x yx y v v(,(,)(,).ux y v x yu x y(,)ux y v 将将 代入方程组代入方程组(1)的第二式的第二式,得得 (,),vv x y 再由此方程确定隐函数再由此方程确定隐函数 并代回至并代回至 这样就得到了一组隐函数这样就得到了一组隐函数 (,),(,).uu x yvv x y通过详细计算通过详细计算
33、,又可得出如下一些结果又可得出如下一些结果:,;xxuxvuvvHGGHGG16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部3720232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六1(,),(,)xvxxvxuuvxvxuxuuuvvFFHuvxFFHFFGGF GFFGGJx v L L1(,);(,)yvyuF GvyJy v L L1(,)1(,),.(,)(,)vF GvF GxJu xyJu y同理又有同理又有 16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部38202
34、32023年年5 5月月6 6日星期六日星期六 设有方程组设有方程组 22240,50.xyyzx yyzz 2224,(,)5(,),xyyzF x y zx yyzzG x y z 0(1,2,1)P 试讨论在点试讨论在点 的近旁能确定怎样的隐函的近旁能确定怎样的隐函 0P数组？并计算各隐函数在点数组？并计算各隐函数在点 处的导数处的导数.0P 易知点易知点 满足以上方程组满足以上方程组.设设 16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部3920232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六它们在它们在 上有连续的各阶偏导数上
35、有连续的各阶偏导数.再考察再考察 3R,F G0022222xyzPPxyzFFFyxzyzGGGxyxzyz 2 24.4 24 0P在点在点 关于所有变量的雅可比矩阵关于所有变量的雅可比矩阵 02 2(,)40,(,)4 2PF Gx y 由于由于16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部4020232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六042(,)80,(,)44PF Gz x 024(,)0,(,)24PF Gy z (),(),(),();xx zzz yyy zxx y与与0P因此由隐函数组定理可知因此由隐函数组
36、定理可知,在点在点 近旁可以惟一近旁可以惟一 地确定隐函数组地确定隐函数组:但不能肯定但不能肯定 y,z 可否作为可否作为 x 的两个隐函数的两个隐函数.16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部4120232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六00d0(,)(,)0,(,)d4(,)PPxF GF Gz yzx y 00d(8)(,)(,)2;(,)d4(,)PPyF GF Gx zzx y 00d41(,)(,),(,)d82(,)PPzF GF Gy xyz x 00d0(,)(,)0.(,)d8(,)PPxF GF
37、Gz yyz x 运用定理运用定理 3 的结论的结论,可求得隐函数在点可求得隐函数在点 P0 处的处的 导数值导数值:16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部4220232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六,1)1,0(,1)1,0(gf满足满足.0),(),(,0),(),(33 xyxyfyxgyyxxgyxf且 ,),(,),(33xyuvvuyxGyxvuvuyxF令令,0)1,1,1,0(,0)1,1,1,0(GF且且解：解：续偏导数，续偏导数，附近存在对各变量的连附近存在对各变量的连，在点在点则则)1110(
38、,GF)1,1,1,0(),(),(vuGFJ，和和函数函数附近是否存在连续可微附近是否存在连续可微，问在点问在点),(),()10(yxgyxf )1,1,1,0(2233 vyxu.03103 ).,(),(yxgyxf和和在满足条件的在满足条件的由隐函数存在定理，存由隐函数存在定理，存16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部4320232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六1212(,;,)(1,2,)inmF x xxyyyim 设有设有m 个函数个函数满满足足D具具有有满满足足一一切切变变元元的的连连续续内内偏偏
39、导导数数；000000121(,;,)nmP xxxyy在在点点的的某某一一邻邻域域(ii)001212(,)0.(,)mPnPF FFJyyy 0),;,()0()0(2)0(1)0()0(2)0(1 mniyyyxxxF),2,1(mi（初始条件）（初始条件）16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部4420232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六能能唯唯一一确确定定一一组组函函数数 00012,nxxx 它它们们定定义义在在点点某某邻邻域域内内，则有如下结论成立：则有如下结论成立：在在 P0 点的某一邻域内，由方程组
40、点的某一邻域内，由方程组 1212(,;,)(1,2,)inmF x xxyyyim 12(,)(1,2,)iinyf xxxim满满足足1212(,;,)0inmF xxxfff 16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部4520232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六 这一组函数这一组函数 f i 在在 内连续；内连续；这一组函数这一组函数 f i 在在 内对各变量有连续偏导数，内对各变量有连续偏导数，且且12120iiiimjjjmjFFFFfffxyxyxyx(1,2,)im 16.1 16.1 隐函数存在定理隐函
41、数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部4620232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六练习题练习题.1ln),(xzeyzxyzyxF1.1.方程方程 在点在点 的的 的某邻域内能否确定出某一个变量为另外的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的连续、可微函数？两个变量的连续、可微函数？1ln xzeyzxy)1,1,0(解答提示解答提示,xzxzeyF ,yzxFy .lnxzzxeyF ,2)1,1,0(xF,1)1,1,0(yF0)1,1,0(zF结论：结论：).,(),(:zxyyzyxx ，可确定两个隐函数可确定两个隐函数16.1 16.1
42、隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部4720232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六(1).03 ),(,),(22232 xyzzyxzyxzxyzyxf满足满足且点且点设设2.2.,0323 )1(222时时当当 xyzxyzzyxz,3232 xyzyzxzx );1,1,1(),()1()1(xfyxzz并并求求确确定定隐隐函函数数问问在在何何条条件件下下能能由由).1,1,1(),()1()2(xfzxyy并求并求确定隐函数确定隐函数问在何条件下能由问在何条件下能由 .),()1(yxzz 确定隐函数确定隐函数能由能由,322
43、32xxzzxyzyf .231)1,1,1(xf解答提示解答提示16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部4820232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六,0323 )2(222时时当当 xzyxyzzyxy.121)1,1,1(xf(1).03 ),(,),(22232 xyzzyxzyxzxyzyxf满足满足且点且点设设2.2.);1,1,1(),()1()1(xfyxzz并并求求确确定定隐隐函函数数问问在在何何条条件件下下能能由由).1,1,1(),()1()2(xfzxyy并求并求确定隐函数确定隐函数问在何条件下
44、能由问在何条件下能由 解答提示解答提示.),()1(zxyy 确定隐函数确定隐函数能由能由,3232xzyyzxyx ,2332xxyxyzzyf 16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部4920232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六 01),(0),(3.222xyvuvuyxGyxvuvuyxF讨论讨论?)2,1,1,2(0隐函数组隐函数组的邻域内能确定怎样的的邻域内能确定怎样的在点在点P:解解0)()(00 PGPFF，G有连续的偏导数有连续的偏导数.0 PvuyxvuyxGGGGFFFF 0112212 Pxy
45、vux 011214214 P 16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部5020232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六0 PvuyxvuyxGGGGFFFF ,60个雅可比行列式中个雅可比行列式中处的处的在在P.0),(),(vxGF只有只有,因此因此为自变量为自变量难以肯定能否作为以难以肯定能否作为以只有只有uyvx,.的隐函数的隐函数!OK其它其它0112212 Pxyvux 011214214 P 16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部51202
46、32023年年5 5月月6 6日星期六日星期六作 业 布 置:课本课本P231 P231 习题习题 2 2课外题：见下页课外题：见下页16.1 16.1 隐函数存在定理隐函数存在定理数学分析数学分析(2)华北科技学院基础部华北科技学院基础部5220232023年年5 5月月6 6日星期六日星期六1.讨论方程讨论方程0),(323 zyxxyzzyxF在原点附近确定的二元隐函数及其偏导数在原点附近确定的二元隐函数及其偏导数？否确定二元隐函数否确定二元隐函数的邻域内能的邻域内能在在方程组方程组 ),(),()1,1,0,1(00.32222yxvvyxuuPvuxyuvyx 2.2.讨论方程组讨论方程组在点的附近在点的附近 22222zyxzyx)2,1,1(能否确定形如能否确定形如 的隐函数组的隐函数组)(),(zgyzfx
