1、2.2建立概率模型类型一类型一“放回放回”与与“不放回不放回”的概率模型的概率模型【典例典例】1.1.古代古代“五行五行”学说认为学说认为“物质分金、木、物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为两种，则抽取的两种物质不相克的概率为()3213A.B.C.D.105252.2.从从1 1，2 2，3 3，4 4，5 5这这5 5个数字中，不放回地依次任取个数字中，不放回地依次任取两数，其和为偶数的概率是两数
2、，其和为偶数的概率是_._.3.3.从含有两件正品从含有两件正品a a1 1，a a2 2和一件次品和一件次品b b1 1的的3 3件产品中每件产品中每次任取次任取1 1件，连续取两次件，连续取两次.(1)(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率中恰有一件是次品的概率.(2)(2)若每次取出后又放回，连续取两次，求取出的产品若每次取出后又放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率中恰有一件是次品的概率.【解题探究解题探究】1.1.从五种不同属性的物质中抽取两种，从五种不同属性的物质中抽取两种，共有多少种抽法？
3、共有多少种抽法？提示：提示：共有共有1010种抽法种抽法.2.2.从从5 5个数字中不放回地依次任取两数，共有多少种抽个数字中不放回地依次任取两数，共有多少种抽法？法？提示：提示：共有共有2020种种.3.3.本例中事件本例中事件(a(a1 1，a a1 1)既是问题既是问题(1)(1)中的基本事件，也中的基本事件，也是问题是问题(2)(2)中的基本事件吗？中的基本事件吗？提示：提示：不是不是.由于问题由于问题(1)(1)中的产品取后不再放回，故中的产品取后不再放回，故不是不是(1)(1)中的基本事件，是中的基本事件，是(2)(2)中的基本事件中的基本事件.【解析解析】1.1.选选C.C.从五
4、种不同属性的物质中随机抽取两从五种不同属性的物质中随机抽取两种，出现的情况有种，出现的情况有(金，木金，木)，(金，水金，水)，(金，火金，火)，(金，土金，土)，(木，水木，水)，(木，火木，火)，(木，土木，土)，(水，水，火火)，(水，土水，土)，(火，土火，土)共共1010种等可能事件，其中金种等可能事件，其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有有5 5种，则不相克的也有种，则不相克的也有5 5种，所以抽取的两种物质不种，所以抽取的两种物质不相克的概率为相克的概率为 .122.2.如图如图1 12 23 34 45 51 13
5、 34 45 56 62 23 35 56 67 73 34 45 57 78 84 45 56 67 79 95 56 67 78 89 9基本事件共有基本事件共有2020个，其中和为偶数的基本事件共有个，其中和为偶数的基本事件共有8 8个个.所以其和为偶数的概率为所以其和为偶数的概率为P=P=答案：答案：82.205253.(1)3.(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为可能的结果为(a(a1 1，a a2 2)，(a(a1 1，b b1 1)，(a(a2 2，a a1 1)，(a(a2 2，b b1 1)，(b(b1 1，a
6、 a1 1)，(b(b1 1，a a2 2)，其中小括号内左边的字母，其中小括号内左边的字母表示第表示第1 1次取出的产品，右边的字母表示第次取出的产品，右边的字母表示第2 2次取出的次取出的产品，由产品，由6 6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的，用件的出现是等可能的，用A A表示表示“取出的两件中恰好取出的两件中恰好有一件次品有一件次品”这一事件，则这一事件，则A=(aA=(a1 1，b b1 1)，(a(a2 2，b b1 1)，(b(b1 1，a a1 1)，(b(b1 1，a a2 2).).事件事件A A由由4 4个基本事
7、件组成，因而个基本事件组成，因而P(A)=P(A)=42.63(2)(2)有放回地连续取两次，其一切可能的结果为有放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a(a1 1，a a1 1)，(a(a1 1，a a2 2)，(a(a1 1，b b1 1)，(a(a2 2，a a1 1)，(a(a2 2，a a2 2)，(a(a2 2，b b1 1)，(b(b1 1，a a1 1)，(b(b1 1，a a2 2)，(b(b1 1，b b1 1)，共，共9 9个基本事件个基本事件.由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的，用些基本
8、事件的出现是等可能的，用B B表示表示“恰有一件次恰有一件次品品”这一事件，则这一事件，则B=(aB=(a1 1，b b1 1)，(a(a2 2，b b1 1)，(b(b1 1，a a1 1)，(b(b1 1，a a2 2).).事件事件B B由由4 4个基本事件组成，因而个基本事件组成，因而P(B)=P(B)=4.9【方法技巧方法技巧】“放回放回”与与“不放回不放回”问题的区别问题的区别对于某一次试验，若采用对于某一次试验，若采用“放回放回”抽样，则同一个个抽样，则同一个个体可以被重复抽取，而采用体可以被重复抽取，而采用“不放回不放回”抽样，则同一抽样，则同一个个体不可能被重复抽取个个体不可
9、能被重复抽取.【变式训练变式训练】从装有两个白球和一个红球的袋中不放从装有两个白球和一个红球的袋中不放回地摸两个球，则摸出的两个球中恰有一个红球的概回地摸两个球，则摸出的两个球中恰有一个红球的概率为率为()1211A.B.C.D.3362【解析解析】选选B.B.不放回地摸出两球共有不放回地摸出两球共有3 3种情况，即种情况，即(白白1 1，红，红)，(白白2 2，红，红)，(白白1 1，白，白2)2)，而恰有一个，而恰有一个红球的结果有红球的结果有2 2个个.所以所以P=.P=.23类型二类型二“有序有序”与与“无序无序”问题问题【典例典例】一个口袋中有形状、大小都相同的一个口袋中有形状、大小
10、都相同的6 6个球，其个球，其中有中有2 2个白球、个白球、2 2个红球和个红球和2 2个黄球，从中一次随机摸出个黄球，从中一次随机摸出2 2个球，试求个球，试求2 2个球中恰有一个白球的概率个球中恰有一个白球的概率.【解题探究解题探究】本例中本例中“恰有一个白球恰有一个白球”的含义是什么？的含义是什么？提示：提示：“恰有一个白球恰有一个白球”是指两个球中有且只有一个是指两个球中有且只有一个白球白球.【解析解析】把把6 6个球分别标号，个球分别标号，2 2个白球分别标为白个白球分别标为白1 1，白，白2 2；2 2个红球分别标为红个红球分别标为红1 1，红，红2 2；2 2个黄球分别标为黄个黄
11、球分别标为黄1 1，黄黄2 2，则所有可能的结果如图所示：，则所有可能的结果如图所示：由图可知，所有可能的结果共有由图可知，所有可能的结果共有1515种种.记记“恰有一个白球恰有一个白球”为事件为事件A A，则，则A A中有中有8 8种可能结果，种可能结果，所以所以P(A)=P(A)=，即，即2 2个球中恰有一个白球的概率为个球中恰有一个白球的概率为 .815815【延伸探究延伸探究】1.1.若本例中条件不变，试求两球都是红球的概率若本例中条件不变，试求两球都是红球的概率.【解析解析】记记“两球都是红球两球都是红球”为事件为事件B B，则，则B B中只有一中只有一种可能结果，所以种可能结果，所
12、以P(B)=P(B)=，即两球都是红球的概率，即两球都是红球的概率为为 .1151152.2.若本例中条件不变，试求两球是同色的概率若本例中条件不变，试求两球是同色的概率.【解析解析】记记“两球同色两球同色”为事件为事件C C，则，则C C中有中有3 3种可能结种可能结果，所以果，所以P(C)=P(C)=，即两球是同色的概率为，即两球是同色的概率为311551.5【方法技巧方法技巧】“有序有序”与与“无序无序”问题的区别问题的区别若问题与顺序有关，则若问题与顺序有关，则(a(a1 1，a a2 2)与与(a(a2 2，a a1 1)为两个不同为两个不同的基本事件；若问题与顺序无关，则的基本事件
13、；若问题与顺序无关，则(a(a1 1，a a2 2)与与(a(a2 2，a a1 1)为同一个基本事件为同一个基本事件.【补偿训练补偿训练】1.1.卡片上分别写有数字卡片上分别写有数字1 1，2 2，3 3，4 4，从，从这这4 4张卡片中随机抽取张卡片中随机抽取2 2张，则取出的张，则取出的2 2张卡片上的数字张卡片上的数字之和为奇数的概率为之和为奇数的概率为()1123A.B.C.D.3234【解析解析】选选C.C.从从4 4张卡片中随机取张卡片中随机取2 2张共有张共有6 6种取法，取种取法，取得得2 2张卡片上数字之和为奇数，即张卡片上数字之和为奇数，即(1(1，2)2)，(1(1，4
14、)4)，(2(2，3)3)，(3(3，4)4)，4 4种，故其概率为种，故其概率为42.632.2.掷两枚骰子，事件掷两枚骰子，事件“点数之和为点数之和为6”6”的概率是的概率是()1151A.B.C.D.119366【解析解析】选选C.C.掷两枚骰子，每枚骰子可能有掷两枚骰子，每枚骰子可能有6 6种结果，种结果，所以共有所以共有3636个基本事件，这些事件出现的可能性是相个基本事件，这些事件出现的可能性是相同的；事件同的；事件“点数之和为点数之和为6 6”包括的基本事件有包括的基本事件有(1(1，5)5)，(2(2，4)4)，(3(3，3)3)，(4(4，2)2)，(5(5，1)1)共共5
15、5个个.所以所以P=P=5.36类型三类型三古典概型的综合问题古典概型的综合问题【典例典例】1.1.设有关于设有关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+2ax+b+2ax+b2 2=0=0，若若a a是从是从0 0，1 1，2 2，3 3四个数中任取的一个数，四个数中任取的一个数，b b是从是从0 0，1 1，2 2三个数中任取的一个数，则上述方程有实根的概三个数中任取的一个数，则上述方程有实根的概率是率是()1311A.B.C.D.44622.2.某校夏令营有某校夏令营有3 3名男同学名男同学A A，B B，C C和和3 3名女同学名女同学X X，Y Y，Z Z，其年级情况如下表
16、：，其年级情况如下表：一年级一年级二年级二年级三年级三年级男同学男同学A AB BC C女同学女同学X XY YZ Z现从这现从这6 6名同学中随机选出名同学中随机选出2 2人参加知识竞赛人参加知识竞赛(每人被选每人被选到的可能性相同到的可能性相同).).(1)(1)用表中字母列举出所有可能的结果用表中字母列举出所有可能的结果.(2)(2)设设M M为事件为事件“选出的选出的2 2人来自不同年级且恰有人来自不同年级且恰有1 1名男名男同学和同学和1 1名女同学名女同学”，求事件，求事件M M发生的概率发生的概率.【解题探究解题探究】1.1.方程方程x x2 2+2ax+b+2ax+b2 2=0
17、=0有实根，需满足什么有实根，需满足什么条件？条件？提示：提示：需满足需满足0 0，即，即4a4a2 2-4b-4b2 20.0.2.(1)2.(1)从从6 6名同学中随机选出名同学中随机选出2 2人，有顺序吗？人，有顺序吗？(2)(2)选出选出的的2 2人来自不同年级且恰有人来自不同年级且恰有1 1名男同学和名男同学和1 1名女同学在基名女同学在基本事件中都能找到吗？本事件中都能找到吗？提示：提示：(1)(1)从从6 6名同学中随机选出名同学中随机选出2 2人，没有顺序人，没有顺序.(2).(2)选选出的出的2 2人来自不同年级且恰有人来自不同年级且恰有1 1名男同学和名男同学和1 1名女同
18、学在名女同学在基本事件中都能找到基本事件中都能找到.【解析解析】1.1.选选B.aB.a，b b取值共有情形取值共有情形1212种，其中保证种，其中保证4a4a2 2-4b-4b2 20 0的有的有 共有共有9 9种，所以上述方程有实根的概率为种，所以上述方程有实根的概率为a0a1a1a2a2a2a3b0b0b1b0b1b2b0，a3a3b1b2，93P.1242.(1)2.(1)从从6 6名同学中随机选出名同学中随机选出2 2人，共有人，共有(A(A，B)B)，(A(A，C)C)，(A(A，X)X)，(A(A，Y)Y)，(A(A，Z)Z)，(B(B，C)C)，(B(B，X)X)，(B(B，Y
19、)Y)，(B(B，Z)Z)，(C(C，X)X)，(C(C，Y)Y)，(C(C，Z)Z)，(X(X，Y)Y)，(X(X，Z)Z)，(Y(Y，Z)Z)共共1515种种.(2)M(2)M含基本事件为含基本事件为(A(A，Y)Y)，(A(A，Z)Z)，(B(B，X)X)，(B(B，Z)Z)，(C(C，X)X)，(C(C，Y)Y)，共，共6 6种种.所以事件所以事件M M发生的概率发生的概率为为P=P=62.155【方法技巧方法技巧】解决古典概型综合问题的两个关键点解决古典概型综合问题的两个关键点(1)(1)审读题干：对于实际问题要认真读题，深入理解题审读题干：对于实际问题要认真读题，深入理解题意，计算
20、基本事件总数要做到不重不漏，这是解决古意，计算基本事件总数要做到不重不漏，这是解决古典概型问题的关键典概型问题的关键.(2)(2)编号：分析实际问题时，往往对要研究的对象进行编号：分析实际问题时，往往对要研究的对象进行编号或者用字母代替，使复杂的实际意义变为简单的编号或者用字母代替，使复杂的实际意义变为简单的数字和字母，方便寻找对象间的关系，这是解决古典数字和字母，方便寻找对象间的关系，这是解决古典概型的问题时主要的解题技巧概型的问题时主要的解题技巧.【变式训练变式训练】某班数学兴趣小组有男生三名，分别记某班数学兴趣小组有男生三名，分别记为为a a1 1，a a2 2，a a3 3，女生两名，
21、分别记为，女生两名，分别记为b b1 1，b b2 2，现从中任，现从中任选选2 2名学生去参加校数学竞赛名学生去参加校数学竞赛.(1)(1)写出这种选法的基本事件空间写出这种选法的基本事件空间.(2)(2)求参赛学生中恰有一名男生的概率求参赛学生中恰有一名男生的概率.(3)(3)求参赛学生中至少有一名男生的概率求参赛学生中至少有一名男生的概率.【解析解析】(1)(1)从从3 3名男生和名男生和2 2名女生中任选名女生中任选2 2名学生去参名学生去参加校数学竞赛，其一切可能的结果组成的基本事件空加校数学竞赛，其一切可能的结果组成的基本事件空间为间为=(a=(a1 1，a a2 2)，(a(a1
22、 1，a a3 3)，(a(a2 2，a a3 3)，(a(a1 1，b b1 1)，(a(a1 1，b b2 2)，(a(a2 2，b b1 1)，(a(a2 2，b b2 2)，(a(a3 3，b b1 1)(a)(a3 3，b b2 2)，(b(b1 1，b b2 2).).由由1010个基本事件组成个基本事件组成.(2)(2)用用A A表示表示“恰有一名参赛学生是男生恰有一名参赛学生是男生”这一事件，这一事件，则则A=(aA=(a1 1，b b1 1)，(a(a1 1，b b2 2)，(a(a2 2，b b1 1)，(a(a2 2，b b2 2)，(a(a3 3，b b1 1)，(a(
23、a3 3，b b2 2).).事件事件A A由由6 6个基本事件组成，故个基本事件组成，故P(A)=0.6.P(A)=0.6.610(3)(3)用用B B表示表示“至少有一名参赛学生是男生至少有一名参赛学生是男生”这一事这一事件，则件，则B=(aB=(a1 1，a a2 2)，(a(a1 1，a a3 3)，(a(a1 1，b b1 1)，(a(a1 1，b b2 2)，(a(a2 2，a a3 3)，(a(a2 2，b b1 1)，(a(a2 2，b b2 2)，(a(a3 3，b b1 1)，(a(a3 3，b b2 2)，事件，事件B B由由9 9个基本事件组成，故个基本事件组成，故P(
24、B)=0.9.P(B)=0.9.910【补偿训练补偿训练】1.1.从数字从数字1 1，2 2，3 3中任取两个不同的数组中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数大于成一个两位数，则这个两位数大于2121的概率是的概率是()1111A.B.C.D.6432【解析解析】选选D.D.从数字从数字1 1，2 2，3 3中任取两个不同的数组成中任取两个不同的数组成的两位数，共有的两位数，共有6 6种不同结果，即种不同结果，即1212，1313，2121，2323，3131，32.32.其中大于其中大于2121的两位数有的两位数有3 3个，记个，记“这个两位数这个两位数大于大于21”21”为事件为事
25、件A A，则由古典概型的概率公式可知，则由古典概型的概率公式可知P(A)=P(A)=31.622.2.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取有放回地随机摸取3 3次，每次摸取一个球次，每次摸取一个球.(1).(1)一共有多一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果少种不同的结果？请列出所有可能的结果.(2).(2)若摸到若摸到红球时得红球时得2 2分，摸到黑球时得分，摸到黑球时得1 1分，求分，求3 3次摸球所得总分次摸球所得总分为为5 5分的概率分的概率.【解析解析】(1)(1)一共有一共有8 8种不同的结果，列举如下：种不
26、同的结果，列举如下：(红、红、红、红红、红)，(红、红、黑红、红、黑)，(红、黑、红红、黑、红)，(红、黑、红、黑、黑黑)，(黑、红、红黑、红、红)，(黑、红、黑黑、红、黑)，(黑、黑、红黑、黑、红)，(黑、黑、黑黑、黑、黑).).(2)(2)记记“3 3次摸球所得总分为次摸球所得总分为5 5分分”为事件为事件A A，事件事件A A包含的基本事件为：包含的基本事件为：(红、红、黑红、红、黑)，(红、黑、红、黑、红红)，(黑、红、红黑、红、红)，事件，事件A A包含的基本事件数为包含的基本事件数为3 3，由由(1)(1)可知，基本事件总数为可知，基本事件总数为8 8，所以事件所以事件A A的概率
27、为的概率为P(A)=P(A)=3.8自我纠错自我纠错古典概型概率的求解古典概型概率的求解【典例典例】甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，则甲站在边上的概率为排，则甲站在边上的概率为 .【失误案例失误案例】分析解题过程，找出错误之处，并写出正确答案分析解题过程，找出错误之处，并写出正确答案.提示：提示：以上解题过程错误的根本原因是利用树状图寻以上解题过程错误的根本原因是利用树状图寻找基本事件时，考虑问题不全，致使基本事件不全，找基本事件时，考虑问题不全，致使基本事件不全，从而导致错误从而导致错误.正确解法如下：正确解法如下：【解析解析】利用树状图来列举
28、基本事件，如图所示利用树状图来列举基本事件，如图所示.由树状图可看出共有由树状图可看出共有2424个基本事件个基本事件.甲站在边上有甲站在边上有1212种情况：种情况：(甲，乙，丙，丁甲，乙，丙，丁)，(甲，甲，乙，丁，丙乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，甲，丙，丁，乙乙)，(甲，丁，乙，丙甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙甲，丁，丙，乙)，(乙，乙，丙，丁，甲丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲乙，丁，丙，甲)，(丙，乙，丁，丙，乙，丁，甲甲)，(丙，丁，乙，甲丙，丁，乙，甲)，(丁，乙，丙，甲丁，乙，丙，甲)，(丁，丁，丙，乙，甲丙，乙，甲).).故甲在边上的概率为故甲在边上的概率为P=P=答案：答案：121.24212
