1、2023-5-61中学数学教学设计的实施与改进中学数学教学设计的实施与改进2023-5-622023-5-632023-5-642023-5-652023-5-662023-5-67两种基本的课程设计模式两种基本的课程设计模式以目标为核心的课程设计模式以过程为核心的课程设计模式2023-5-682023-5-692023-5-6102023-5-6112023-5-6122023-5-6132023-5-6142023-5-6152023-5-6162023-5-6172023-5-6182023-5-6192023-5-6202023-5-621通过恰当的、对学生思维有适度启发性的问题，引导
2、学生的思考和探索，通过恰当的、对学生思维有适度启发性的问题，引导学生的思考和探索，经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维基本过程，切实改经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维基本过程，切实改进学生的学习方式，培养问题意识，孕育创新精神进学生的学习方式，培养问题意识，孕育创新精神。2023-5-622礼记学记君子教学，不是直接灌输知识，而是创设情境，言此而意彼，让学生感悟、发现，从而得到教师“举一”而学生“反三”的教学效果。2023-5-623“跳一跳能够摘到的果子跳一跳能够摘到的果子”反映当前教学内容的本质；反映当前教学内容的本质；学生经过适度努力能够解决。学生经过适度努力
3、能够解决。2023-5-624案例一：三角函数诱导公式的推导案例一：三角函数诱导公式的推导你能利用圆的几何性质推导出三角函数的诱导公式吗？你能利用圆的几何性质推导出三角函数的诱导公式吗？的终边、的终边、+180+180的终边与单位圆交点有什么关系？的终边与单位圆交点有什么关系？你能得出你能得出sinsin与与sinsin（+180+180）之间的关系吗？）之间的关系吗？我们可以通过查表求锐角三角函数值，那么，如何求任意角的三角函数值呢？我们可以通过查表求锐角三角函数值，那么，如何求任意角的三角函数值呢？能否将任意角的三角函数转化为锐角三角函数？能否将任意角的三角函数转化为锐角三角函数？2023
4、-5-625 问题情境 三角函数与（单位）圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系。圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径为对称轴的轴对称图形。你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论一下终边与角的终边关于原点、x 轴、y 轴以及直线y=x对称的角与角的关系以及它们的三角函数之间的关系？2023-5-6263 3提高思想性提高思想性加强过程与联系，以数学概念的发展过程、逻辑关系组织教学内容，保持加强过程与联系，以数学概念的发展过程、逻辑关系组织教学内容，保持思想方法的前后一致性；以核心概念和基本思想（数
5、及其运算、函数、空间思想方法的前后一致性；以核心概念和基本思想（数及其运算、函数、空间观念、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）为贯穿教学过程观念、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）为贯穿教学过程的的“灵魂灵魂”。2023-5-627案例二：案例二：“向量向量”内容的结构内容的结构核心目标：核心目标：1.1.理解向量及其运算的意义；理解向量及其运算的意义；2.2.能用向量语言和方法表述和解决数学、物理中的一些问题。能用向量语言和方法表述和解决数学、物理中的一些问题。2023-5-628向量方法的内核向量方法的内核 利用向量表示空间基本元素，将空间的基本性质和基本定理的运用
6、转利用向量表示空间基本元素，将空间的基本性质和基本定理的运用转化成为向量运算律的系统运用：化成为向量运算律的系统运用：点点（以确定点为始点的）向量。（以确定点为始点的）向量。直线直线 一个点一个点A A、一个方向、一个方向a a定性刻画；引进数乘向量定性刻画；引进数乘向量kaka，可以实际，可以实际控制直线上的每一个点。控制直线上的每一个点。2023-5-629平面平面 一个点一个点A A、两个不平行的（非、两个不平行的（非0 0）向量）向量a a，b b在在“原则原则”上确上确定了平面（定性刻画）；定了平面（定性刻画）；距离和角是刻画几何元素之间度量关系的基本量距离和角是刻画几何元素之间度量
7、关系的基本量引进向量的数量引进向量的数量积的定义积的定义 a ab b=|=|a a|b b|cos|cos，作为反映向量的长度和两个向量间夹角的关系。作为反映向量的长度和两个向量间夹角的关系。2023-5-630用向量解决问题的用向量解决问题的“三步曲三步曲”（1 1）建立几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将几何）建立几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为向量问题；问题转化为向量问题；（2 2）通过向量运算研究几何元素之间的关系）通过向量运算研究几何元素之间的关系(平行、垂直平行、垂直)，及其度量问题，及其度量问题（如距离、夹角）等；（如距离、夹角
8、）等；（3 3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何关系。成几何关系。2023-5-631向量内容的结构顺序向量内容的结构顺序向量的实际背景及基本概念向量的实际背景及基本概念向量的线性运算向量的线性运算平面（空间）向量基本定理及坐标表示平面（空间）向量基本定理及坐标表示向量的数量积向量的数量积向量应用举例向量应用举例2023-5-632 4 4加强结构性加强结构性结构良好的教学内容的特点结构良好的教学内容的特点核心知识（基本概念及由内容所反映的数学思想方法）为联结点，精中核心知识（基本概念及由内容所反映的数学思想方法）为联结点，精中求简，易学、好懂、能懂、会用，能切实减轻学生负担；求简，易
9、学、好懂、能懂、会用，能切实减轻学生负担；形成概念的网络系统，联系通畅，便于记忆与检索；形成概念的网络系统，联系通畅，便于记忆与检索；具有自我生长的活力，容易在新情境中引发新思想和新方法。具有自我生长的活力，容易在新情境中引发新思想和新方法。2023-5-633“结构性结构性”的几个具体要求的几个具体要求（1 1）教学目标明确，削支强干，重点突出，集中精力于核心内容。）教学目标明确，削支强干，重点突出，集中精力于核心内容。（2 2）教学内容安排注重层次结构，张弛有序，循序渐进。由浅入深，由易到难，先）教学内容安排注重层次结构，张弛有序，循序渐进。由浅入深，由易到难，先简后繁，先单一后综合。简后
10、繁，先单一后综合。（3 3）每堂课都围绕一个中心论题展开和深化，精心组织相关的数学成分，使相应的）每堂课都围绕一个中心论题展开和深化，精心组织相关的数学成分，使相应的核心概念或重要思想成为一个有机整体，相关的数学术语、定义、符号、概念、技能核心概念或重要思想成为一个有机整体，相关的数学术语、定义、符号、概念、技能等因素都得到仔细的展开；课与课之间建立精当的序列关系，保持知识的连贯性，思等因素都得到仔细的展开；课与课之间建立精当的序列关系，保持知识的连贯性，思想方法的一致性。易错、易混淆的问题有计划地复现和纠正，使知识得到螺旋式的巩想方法的一致性。易错、易混淆的问题有计划地复现和纠正，使知识得到
11、螺旋式的巩固和提高。固和提高。2023-5-634（4 4）强调科学思考方法的应用）强调科学思考方法的应用推广推广 类比类比 当前内容当前内容 类比类比 特殊化特殊化2023-5-635案例三案例三 数系扩充中的结构思想数系扩充中的结构思想度量的实际需要度量的实际需要具有实际意义；具有实际意义；数学概念发展的内在需要：数学概念发展的内在需要：引进新的数，定义相应的运算，使得算术运算中原来的运算律保持不变引进新的数，定义相应的运算，使得算术运算中原来的运算律保持不变2023-5-636数系扩张数系扩张1.1.自然数及其运算律自然数及其运算律 自然数是从计算有限集合中元素个数的过程中抽象出来的：自
12、然数是从计算有限集合中元素个数的过程中抽象出来的：在积累大量数数经验的基础上，通过在积累大量数数经验的基础上，通过 2+3 2+3 3+2 3+2，2 23 33 32 2 等而直观地认识到，如果等而直观地认识到，如果a a，b b表示自然数，那么就有表示自然数，那么就有 1 1）a a+b b=b b+a a；2 2）a b a b=b a b a；2023-5-637类似地，对于自然数类似地，对于自然数a a，b b，c c，有，有3 3）a a+（b b+c c）=（a a+b b）+c c；4 4）（）（abab）c c=a a（bcbc）；）；5 5）a a（b b+c c）=ab
13、ab+ac ac。2023-5-6382.2.数系扩张的实际需要数系扩张的实际需要实践中，需要度量像长度、面积、重量和时间这样的量。为了能自由地实践中，需要度量像长度、面积、重量和时间这样的量。为了能自由地度量这种能任意细分的量，需要对算术的范围进行扩张。其过程大致是：度量这种能任意细分的量，需要对算术的范围进行扩张。其过程大致是：第一步，把度量的问题变为计数的问题：先任意地选择一个度量单位第一步，把度量的问题变为计数的问题：先任意地选择一个度量单位（如米、千克、时等等），并规定它为（如米、千克、时等等），并规定它为1 1。如果被度量的量恰好是单位的。如果被度量的量恰好是单位的整数倍，则完成度
14、量。整数倍，则完成度量。2023-5-639被度量的量不是单位的整数倍，这时就进行第二步：把原单位分成被度量的量不是单位的整数倍，这时就进行第二步：把原单位分成n n等等分，引进一个新的小单位分，引进一个新的小单位分数概念的引入。分数概念的引入。怎样定义分数的运算怎样定义分数的运算加法和乘法？原则：加法和乘法？原则：关于自然数的加法和乘法的运算律在有理数范围内继续成立。关于自然数的加法和乘法的运算律在有理数范围内继续成立。2023-5-640 分数加法和乘法的定义：分数加法和乘法的定义：2023-5-641 相等的定义：相等的定义：3.3.数系扩张的数学需要数系扩张的数学需要核心：运算的封闭性
15、，保持运算律不变。核心：运算的封闭性，保持运算律不变。在自然数的范围内，符号在自然数的范围内，符号b ba a仅在仅在b ba a时有意义。通过时有意义。通过a aa a=0=0引进符号引进符号0 0，不，不仅消除了这个限制，更重要的是由此引进了符号仅消除了这个限制，更重要的是由此引进了符号1 1，3 3，以及对以及对b ba a的情况定义：的情况定义：b ba a=（a ab b）。）。这样就保证了减法在整数集内的封闭性。这样就保证了减法在整数集内的封闭性。2023-5-642如何定义整数集内的乘法运算，才能保证自然数范围内的运算律保持不如何定义整数集内的乘法运算，才能保证自然数范围内的运算
16、律保持不变？变？例如，为什么规定例如，为什么规定 (1)(1)(1)=11)=1？希望保持分配律希望保持分配律a a（b b+c c）=ab ab+ac ac的结果。的结果。2023-5-643让让(1)(1)(1)=1)=1 1行不行？行不行？不行！会出现矛盾：不行！会出现矛盾：令令a a=1 1，b b=1=1，c c=1 1，就会有，就会有 1(11(11)=1)=1 11=1=2 2。而另一方面又有而另一方面又有 1(11(11)=1)=10=010=0。2023-5-644正如引进负整数和正如引进负整数和 0 0 扩张了减法运算的范围一样，分数的引进为除扩张了减法运算的范围一样，分数
17、的引进为除法消除了类似的算术上的障碍。法消除了类似的算术上的障碍。2023-5-645 搞好课堂教学设计，提高教学质量和效益搞好课堂教学设计，提高教学质量和效益明确教学目标，使学生保持高水平的数学思维。明确教学目标，使学生保持高水平的数学思维。以问题引导学习，尽量采用以问题引导学习，尽量采用“归纳式归纳式”，让学生经历概念的概括过程，思想，让学生经历概念的概括过程，思想方法的形成过程，这是基本而重要的。方法的形成过程，这是基本而重要的。既讲逻辑又讲思想，引导学生通过类比、推广、特殊化等思维活动，促使他既讲逻辑又讲思想，引导学生通过类比、推广、特殊化等思维活动，促使他们找到研究的问题，形成研究的
18、方法。们找到研究的问题，形成研究的方法。使学生在建立知识的内在联系过程中领悟本质。使学生在建立知识的内在联系过程中领悟本质。2023-5-646 搞好课堂教学设计的搞好课堂教学设计的“三二一三二一”三个基本点三个基本点理解数学理解数学对数学的思想、方法及其精神的理解；对数学的思想、方法及其精神的理解；理解学生理解学生对学生数学学习规律的理解，核心是理解学生的数学思对学生数学学习规律的理解，核心是理解学生的数学思维规律；维规律；理解教学理解教学对数学教学规律、特点的理解。对数学教学规律、特点的理解。2023-5-647两个关键两个关键 提好的问题提好的问题在学生思维最近发展区内，有意义；在学生思
19、维最近发展区内，有意义；设计自然的过程设计自然的过程数学知识发生发展的原过程（再创造），学生对数学知识发生发展的原过程（再创造），学生对数学知识的认识过程。数学知识的认识过程。2023-5-648一个核心一个核心 概括概括引导学生自己概括出典型实例的共同本质特征。引导学生自己概括出典型实例的共同本质特征。强调学生实质的、高水平的思维参与度，使学生在教学过程中保持高强调学生实质的、高水平的思维参与度，使学生在教学过程中保持高水平的数学思维活动。水平的数学思维活动。2023-5-649案例案例:“不等式基本性质不等式基本性质”中的提问中的提问不等式基本性质的研究可以通过类比等式的基本性质而得到启发
20、。不等式基本性质的研究可以通过类比等式的基本性质而得到启发。你能回忆一下等式的基本性质吗？你能回忆一下等式的基本性质吗？考察等式的基本性质的基本思想是什么？（考察等式的基本性质的基本思想是什么？（“运算中的不变性运算中的不变性”）类似的，不等式有哪些基本性质呢？类似的，不等式有哪些基本性质呢？2023-5-650贯彻过程性原则的具体要求贯彻过程性原则的具体要求（1 1）通过分析）通过分析“两个过程两个过程”，明确概括过程的主导思路，围绕这条思路确定，明确概括过程的主导思路，围绕这条思路确定猜想和发现的方案；猜想和发现的方案；（2 2）在把概括的结论具体化的过程中，推动对概念细节的认识；）在把概
21、括的结论具体化的过程中，推动对概念细节的认识；（3 3）通过变式、反思、系统化，建立概念的联系，形成概念体系；）通过变式、反思、系统化，建立概念的联系，形成概念体系；（4 4）强调类比、特殊化、推广等具有普适性的逻辑思考方法的应用。）强调类比、特殊化、推广等具有普适性的逻辑思考方法的应用。2023-5-651以科学认识的形成与发展途径为参照设计概括过程以科学认识的形成与发展途径为参照设计概括过程创设问题情境，引起学生对新知识的注意与思考；创设问题情境，引起学生对新知识的注意与思考；开展观察、试验、类比、猜想、归纳、概括、特殊化、一般化等活动，形开展观察、试验、类比、猜想、归纳、概括、特殊化、一
22、般化等活动，形成假设；成假设；利用已有知识进行推理论证活动，检验假设，获得新知识，并纳入到已有利用已有知识进行推理论证活动，检验假设，获得新知识，并纳入到已有认知结构中；认知结构中；新知识的应用，加深理解（理在用中方知妙），建立相关知识的联系，巩新知识的应用，加深理解（理在用中方知妙），建立相关知识的联系，巩固新知识。固新知识。2023-5-652例：例：不等式基本性质的猜想证明应用不等式基本性质的猜想证明应用（1 1）引导学生回忆规定实数大小方法（顺序公理，数形结合）；）引导学生回忆规定实数大小方法（顺序公理，数形结合）；（2 2）引导学生认识实数大小的基本事实的本质和作用（实数大小比较归结
23、为）引导学生认识实数大小的基本事实的本质和作用（实数大小比较归结为统一的与统一的与0 0的大小比较或判断差的符号问题）；的大小比较或判断差的符号问题）；（3 3）等式有）等式有“等式两边同加（减）一个数，等式仍然成立等式两边同加（减）一个数，等式仍然成立”“”“等式两边同乘等式两边同乘（除）一个数，等式仍然成立（除）一个数，等式仍然成立”等基本性质。可以看到，等式的基本性质就等基本性质。可以看到，等式的基本性质就是是“运算中的不变性运算中的不变性”。类似的，不等式有哪些基本性质呢？。类似的，不等式有哪些基本性质呢？2023-5-653（4 4）尝试用实数大小的基本事实证明性质；）尝试用实数大小
24、的基本事实证明性质；（5 5）辨析不等式的基本性质）辨析不等式的基本性质 （与等式问题比较，考察异同；不同语言表述性质；等等）；（与等式问题比较，考察异同；不同语言表述性质；等等）；（6 6）尝试从基本性质出发，得出一些新的结论）尝试从基本性质出发，得出一些新的结论 （如（如a ab b，c cd d，则，则a ac cb bd d）；）；（7 7）概括思想方法（与实数性质、等式性质的联系性；在数与运算的系统中）概括思想方法（与实数性质、等式性质的联系性；在数与运算的系统中考察关于实数大小的基本定理；等等）考察关于实数大小的基本定理；等等）2023-5-654 过程过程抽象与具体、特殊与一般的
25、关系抽象与具体、特殊与一般的关系抽象是数学的一个公认的、最显著的特点抽象是数学的一个公认的、最显著的特点数学的抽象是从具体中得来的，具体中蕴含了本质数学的抽象是从具体中得来的，具体中蕴含了本质从具体中可以进行多次抽象从具体中可以进行多次抽象可以从不同的角度进行抽象可以从不同的角度进行抽象特殊化能使一般的性质得到最明显的表征特殊化能使一般的性质得到最明显的表征2023-5-655案例：案例：正、余弦定理的推导正、余弦定理的推导三角形有各种几何量，如三边长、三个内角的角度、面积、外经、内径三角形有各种几何量，如三边长、三个内角的角度、面积、外经、内径等。等。“解三角形解三角形”就是给定三角形的若干
26、几何量，求其余几何量。就是给定三角形的若干几何量，求其余几何量。你认为至少给定几个量就可以求出其余量？（从定性到定量）你认为至少给定几个量就可以求出其余量？（从定性到定量）特殊化：解直角三角形（利用勾股定理、两个锐角互余、锐角三角函数特殊化：解直角三角形（利用勾股定理、两个锐角互余、锐角三角函数等）。等）。2023-5-656推广：能否将上述结论推广到一般三角形？推广：能否将上述结论推广到一般三角形？在已有结果的基础上，探索新的证明方法，如：在已有结果的基础上，探索新的证明方法，如：三角形面积与正弦定理三角形面积与正弦定理垂直投影与余弦定理垂直投影与余弦定理用余弦定理推导正弦定理用余弦定理推导
27、正弦定理借助于外接圆证明正弦定理借助于外接圆证明正弦定理2023-5-657案例：案例：等差数列求和公式教学设计等差数列求和公式教学设计高斯如何得到求高斯如何得到求1+2+1001+2+100的简便方法？的简便方法？一个猜测：一个猜测：第一，知道常数数列求和最简单；第一，知道常数数列求和最简单；第二，观察到和式的特点，懂得用第二，观察到和式的特点，懂得用“平均数平均数”思想将不同数求和化归为常数思想将不同数求和化归为常数数列求和。数列求和。上述猜测是从一个具体问题中归纳的，但反映了等差数列求和的最核心思想。上述猜测是从一个具体问题中归纳的，但反映了等差数列求和的最核心思想。2023-5-658
28、问题引导下的教学过程问题引导下的教学过程你知道小高斯是如何求你知道小高斯是如何求1+2+1001+2+100的吗？的吗？这一方法的思想实质是什么（为什么要这一方法的思想实质是什么（为什么要“首尾相加首尾相加”）？）？类似的，你能求类似的，你能求1+2+1+2+n n吗？吗？对于公差为对于公差为d d 的等差数列的等差数列 anan，如何利用，如何利用 上述思想方法求上述思想方法求SnSn=a a1+1+a a2+2+anan？还有其他方法吗？还有其他方法吗？2023-5-659案例：案例：平行线分线段成比例定理的概括平行线分线段成比例定理的概括先行组织者：研究平行线的性质，就是探究在一组直线平
29、行的条件下可以先行组织者：研究平行线的性质，就是探究在一组直线平行的条件下可以得出哪些结论。得出哪些结论。特例特例1 1 一组等距平行线截另一组平行直线，结果如何？一组等距平行线截另一组平行直线，结果如何？特例特例2 2 一组等距平行线截另一组任意直线，结果如何？一组等距平行线截另一组任意直线，结果如何？平行线等分线段定理、三角形和梯形的中位线定理。平行线等分线段定理、三角形和梯形的中位线定理。特例特例3 3 已知距离的不等距平行线截另一组直线，结果如何？已知距离的不等距平行线截另一组直线，结果如何？平行线分线段成比例定理。平行线分线段成比例定理。2023-5-660 直线的参数方程的教学设计
30、直线的参数方程的教学设计教学任务分析教学任务分析 适当选择原点和单位长度，使直线适当选择原点和单位长度，使直线L L成为数轴，则直线成为数轴，则直线L L上任一点就可由上任一点就可由它在数轴上的坐标它在数轴上的坐标t t 惟一确定。因此可以选择坐标惟一确定。因此可以选择坐标t t为直线参数方程中的参数。为直线参数方程中的参数。从而，建立直线的参数方程就转化为建立（一维）坐标从而，建立直线的参数方程就转化为建立（一维）坐标t t与（二维）坐标与（二维）坐标x x，y y之间关系的问题。之间关系的问题。本节课的教学任务是联系数轴、向量等知识，求出直线的参数方程，并本节课的教学任务是联系数轴、向量等
31、知识，求出直线的参数方程，并进行简单应用，让学生体会直线参数方程在解决问题中的作用。进行简单应用，让学生体会直线参数方程在解决问题中的作用。2023-5-661 教学情景设计（问题系列）教学情景设计（问题系列）（1 1）数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？）数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？（2 2）如果把平面直角坐标系中的一条直线作为数轴，那么直线上任意一点就）如果把平面直角坐标系中的一条直线作为数轴，那么直线上任意一点就有两种坐标。怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的联系？有两种坐标。怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的联系？（3
32、3）当点）当点M M 在直线在直线L L上运动时，点上运动时，点M M 满足怎样的几何条件？满足怎样的几何条件？2023-5-662（4 4）如何确定直线的方向向量）如何确定直线的方向向量e e？（5 5）怎样把直线上任意一点的坐标）怎样把直线上任意一点的坐标x x，y y用参数用参数t t和已知条件表示出来？和已知条件表示出来？（6 6）例题：已知直线）例题：已知直线L L与抛物线交于与抛物线交于A A、B B 两点，求线段两点，求线段AB AB 的长和点到的长和点到A A、B B两点的距离之积。两点的距离之积。在学习直线参数方程前你会怎样求解？利用直线参数方程求解有什么好处？在学习直线参数
33、方程前你会怎样求解？利用直线参数方程求解有什么好处？（7 7）反思：与直线的参数方程有联系的知识有哪些？在求直线的参数方程过）反思：与直线的参数方程有联系的知识有哪些？在求直线的参数方程过程中，你认为有哪些重要的思想方法？程中，你认为有哪些重要的思想方法？2023-5-663有效调控原则有效调控原则使用使用“反馈调节反馈调节”机制，有效监控教学机制，有效监控教学目的：将教学活动围绕在学生思维目的：将教学活动围绕在学生思维“最近发展区最近发展区”内。内。需要学生自我监控的参与。需要学生自我监控的参与。反馈要注重差异，调节要采取分化性措施：反馈要注重差异，调节要采取分化性措施：（1 1）给不同的学
34、生提供不同类别的专门帮助；）给不同的学生提供不同类别的专门帮助；（2 2）布置可选择的作业集合，以满足不同学生的不同需求；）布置可选择的作业集合，以满足不同学生的不同需求；（3 3）认真考虑学生的个人爱好，机智地将其纳入课堂教学。）认真考虑学生的个人爱好，机智地将其纳入课堂教学。2023-5-664 课堂教学结构的选择课堂教学结构的选择1.1.课堂教学结构应当与教育对象、教学内容相适应；课堂教学结构应当与教育对象、教学内容相适应；2.2.课堂教学结构应当以学生思维规律为依据；课堂教学结构应当以学生思维规律为依据；3.3.课堂教学结构设计以对知识、学习概念的正确认识为基础。课堂教学结构设计以对知
35、识、学习概念的正确认识为基础。2023-5-665 五环节课堂教学结构五环节课堂教学结构（1 1）创设问题情境，明确学习目标；）创设问题情境，明确学习目标；（2 2）指导学生开展尝试活动；）指导学生开展尝试活动；（3 3）组织变式训练；）组织变式训练；（4 4）认知结构的组织和再组织；）认知结构的组织和再组织；（5 5）根据教学目标，及时反馈调节。）根据教学目标，及时反馈调节。2023-5-6662023-5-667一、代数式1.在具体情境中理解字母表示数的意义案例案例1 1用火柴棒按照下图所示的方式摆图形摆成第1个图形需要6根火柴棒，摆成第2个需要_根火柴棒，摆成第3个需要_根火柴棒。按照这
36、样的方式继续摆下去：（1）摆成第10个图形需要多少根火柴棒？第100个呢？（2）摆成第n个图形需要多少根火柴棒？2023-5-668英国关于儿童数学概念发展水平的研究（CSMS）表明，学生对字母表示数的理解方式可以概括为6个水平：（1）对字母直接赋值。一看到字母，就直接给它赋予一个数值。（2）忽略字母的意义。对题中的字母视而不见，不理睬。或者承认其存在，但对它不赋予任何意义。（3）把字母当作物体。把代数式中的字母看作是具体物体的记号，或直接看作是物体。（4）把字母看作是特定的未知量。这时字母在儿童心中是某个（具体的）未知数的记号，可以直接参与运算。（5）把字母看作是广义的数。这时，在儿童心中，
37、字母是数，而且可以取多个值。（6）把字母看作是变量。这时，儿童把字母看作是可在一定范围内的变数。两组这种数之间有一种系统的关系。2023-5-6692.能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用代数式来表示2023-5-670 3.理解代数式代表的数量关系和变化规律2023-5-671 4.注重代数式求值对解决实际问题和描述变化趋势的作用2023-5-672案例2填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况。1.随着 的值逐渐变大，描述两个代数式值的变化情况。2.估计哪一个代数式的值先达到100.2023-5-673 5.注重代数式运算对解决问题和验证规律的作用，在保证基本运算技能的基础上，
38、淡化繁杂的运算2023-5-674案例案例3 31、你能从下图所示的日历中发现有趣的结论吗？2、观察图中阴影所示方框中的数，方框中对角线上两个数的和有什么关系？对角线中两个数的积呢？3、你发现的规律对于任何一个方框都成立吗？对于任何一个月呢？为什么？2023-5-675事实上，任意一个月中任何如图中所示的方框中的四个数可以表示为：事实上，任意一个月中任何如图中所示的方框中的四个数可以表示为：2023-5-676二、二、方程与不等式方程与不等式1、体会方程（组）是刻画现实世界的一个有效的数学模型案例4 一元一次方程模型1、1990年，美国通过了残疾人法案，其中有一项是关于建筑物前为轮椅设计斜坡的
39、规定，即对每一英寸的高度，至少要有12英寸水平长度的坡来达到，并且最大高度不得超过30英寸。如果某处需要修一个水平长度为180英寸的坡，那么坡的最大高度只能是多少？2023-5-6772、小颖种了一株树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种后每周树苗约长高15厘米，大约几周后树苗长高到1米？3、第五次全国人口普查统计数据表明，截止到2000年11月1日0时，全国每10万人中具有大学文化程度的人数为3611人，比1990年7月1日0时增长了153.94%。1990年6月底每10万人中约有多少人具有大学文化程度？2023-5-6784、某长方形足球场的周长为310米，长和宽之差为25米，这个足球场的长与
40、宽分别是多少米？2023-5-679案例5在一个长为4米、宽为3米的矩形空地上建造一个花坛，要求这个花坛的面积是整块空地面积的一半，请展示你的设计。2023-5-680 xxxx2.经历探索方程（组）解的过程案例6 某工厂制造四条腿的桌子和三条腿的凳子，现有的桌子数和凳子数是100，其中桌子腿和凳子腿共有340条。其中桌子有几张？凳子有几条?如果设桌子的数目为,凳子的数目为,那么可以得到方程组：2023-5-681学生在求解方程组时，可能会想到运用消元的方法，也可能采取猜想和检验的策略，如下表：2023-5-6823根据问题需要选择适当的方法寻求解，并检验解的合理性案例案例7 72023-5-
41、683学生可以利用计算器尝试，以估计方程的解。他们可以利用计算器列出下表，观察h和t的对应关系（下表只是给出一种列法，学生可以通过观察减少尝试的次数）：2023-5-6844体会具体问题中的不等关系，利用不等式解决问题 案例案例8 8 2023-5-685三、函数1.探索现实世界中变化之间的关系案例案例9 9 测量在安静状态下，自己每分钟脉搏跳动的次数。剧烈活动3分钟，活动结束后，再测量自己每分钟的脉搏跳动次数。以后每隔1分钟测量一下，直到第4分钟，并完成下表。2023-5-686根据表中的数据回答下面的问题：1.在上述的变化过程中，哪些量在发生变化？谁依赖谁在变化？2.运动结束后，脉搏变化的
42、总趋势是什么？3.估计运动结束后大约经过多少分钟，脉搏又恢复到正常值。2023-5-687案例10 海水受日月的吸引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。下图是某港口在某季节某天的时间与水深（单位：米）关系图。2023-5-688（1）在上述的变化过程中，哪些量在发生变化？谁是自变量？谁是因变量？（2）大约什么时间港口的水最深？深度约是多少？大约什么时候港口的水最浅？深度约是多少？（3）在什么时间范围内，港口的水深增长？在什么时间范围内，港口的水深减少？（4）描述这个港口从0时到24时水深情况的变化。20
43、23-5-6892.2.对函数概念理解的逐步深入对函数概念理解的逐步深入（1）学习函数概念应逐步递进（2）函数的多种表示方式2023-5-690案例11小明往浴盆里注水，下图表示了盆中水的温度随时间变化的情况：你能粗略地描述浴盆中水温随时间变化的情况吗？2023-5-691（3）函数多种表示之间的联系和转换如对于二次函数，学生不仅要能理解解析式所表示的关系，还要能运用数值列出表格来表示这种关系，如下表。2023-5-6922023-5-6932023-5-694案例案例1212某地投寄外埠信函的收费标准：每封信函不超过20g付邮资0.80元，超过20g而不超过40g付邮资1.60元，依次类推，
44、每封信函超过100g不再按信函方式投寄。请你设计一个投寄以上信函的邮政资费示意牌，明确显示邮政资费标准。2023-5-695 3.3.在具体函数学习中强调函数模型的思想在具体函数学习中强调函数模型的思想案例案例13 二次函数的应用（1）某果园有100棵橙子树，每棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，就会引起橙子的产量每棵平均降低5个。当多种多少橙子树时，橙子的产量会达到最高？（2）当运动中的汽车撞到物体时，汽车的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量。某一类型汽车的撞击影响可以用公式I=2 来
45、表示，其中s是汽车的速（千米分）。当汽车的速度是1千米分、2千米分、4千米分时，撞击影响分别是多少？当汽车的速度扩大2倍时，撞击影响会扩大多少倍？2023-5-6964.4.结合数值、解析式、图像探索具体函数的性质结合数值、解析式、图像探索具体函数的性质案例案例1414张老师班上的同学准备组织一次为希望小学募捐的长跑。同学们设计了三种募捐计划：第一种是每跑1千米要求捐款人捐出100元；第二种是每跑1千米要求捐款人捐出200元；第三种是要求捐款人先捐出50元作为底金，以后每跑1千米再捐出50元。(1)试利用数值、图像、解析式等方法探索何种因素影响了每千米增加的捐款数额。（2）如果一个学生在长跑中
46、跑了8千米，按哪种方案会筹集到最多的钱？（3）募捐计划中的100元、200元、50元分别在图像和解析式中如何体现？2023-5-6975.5.利用函数的观点认识方程和不等式利用函数的观点认识方程和不等式案例案例142023-5-698 五、新课程实施中教师角色的转变数学课程有效实施的关键因素之一是教师数学课程最终是通过教师的教案得到实施的。义务教育阶段以及普通高中阶段的数学课程标准都特别强调：倡导积极主动、勇于探索的学习方式；注重提高学生的数学思维能力；发展数学的应用意识；体现数学的人文价值；注重信息技术与数学课程的整合等。2023-5-699 六、数学课程实施与教学策略初中二年级数学中“立体
47、图形的展开图”内容为例1.教学目标：2.教学重点和难点：教学过程2023-5-6100探索：探索：在各个教学阶段，使学生通过动手实践、自主探索、合作交流以后，充分体验图形的变化过程，加深对立体图形的理解。师：按图11、图12、图13的样子剪下纸片，看谁能最快折叠成多面体，并说明是什么立体图形。2023-5-6101 七、新课程背景下的好数学课1.新课程背景下好数学课应该具有的特征(1)(1)结合学生已有经验或知识，构建现实情境和探究情境，引导学生进行数学活结合学生已有经验或知识，构建现实情境和探究情境，引导学生进行数学活动动(2)(2)注意注意“发现式发现式”的问题探索，促进学生对数学知识的真
48、正理解的问题探索，促进学生对数学知识的真正理解 (3)(3)注重情境问题的设计，培养学生应用数学的意识，提高学生问题解决的能力注重情境问题的设计，培养学生应用数学的意识，提高学生问题解决的能力(4)(4)注重师生之间的平等对话、交流互动注重师生之间的平等对话、交流互动(5)(5)注重教师对注重教师对“好课好课”的反思，并且善于发现进一步完善课堂教学的关键点的反思，并且善于发现进一步完善课堂教学的关键点2023-5-6102新课程背景下好数学课的设计与实践 (1)(1)创设情境创设情境 例例1 1 这是一节关于平面直角坐标系的概念课。在这节课上，教师在导入新知之前设计了如下情境：2023-5-6
49、1032023-5-6104方格中有25个字，若用A4表示“书”1请你破译下列密码：A5B5C4E5D4C3。2请你编制密码：天才来自勤奋。(一一)我当破译小高手游戏：我当破译小高手游戏：(二二)我做影院小向导我做影院小向导 师：“4排3号”和“3排4号”中的4含义有什么不同?应该怎么记?(2，4)表示什么位置?生：“4排3号”中的4，是第几排?“3排4号”中的4是在某排里的第几个座位?师：如果将4排3号”简记为(4，3)，那么“3排4号”应该怎么记?(2，4)表示什么位置?生：“3排4号”应该记做(3，4)；(2，4)表示“2排4座”。2023-5-6105(三三)我爱我的班级我爱我的班级
50、师：你能向大家介绍你的座位在教室中的位置吗?(学生回答不出来)师：看来要规定从哪里开始数。(教师做了规定，然后说)我报座位标号(3，8)，请对应座位上的同学站起来。2023-5-6106例例2 这是一节二次函数性质的应用的数学课，教师在板书课题“二次函数性质的应用”后，创设如下实验情境：(1)实验：学生用课前准备好的长6dm的细铝线围成一个矩形。量一量，矩形的长和宽各是多少?算一算，矩形的面积有多大?比一比，谁围的矩形的面积最大?(2)思考和猜想：围成的矩形的长和宽有什么关系?矩形面积最大时长和宽有什么关系呢?(学生自由发言)2023-5-6107(2)引导学生探索、猜想 例4 这是一节关于二
