1、数形结合及其教学设计SHUXING JIHE JIQI JIAOXU ESHEJI目 录CONTENTS1 引言2 数形结合思想的内涵3 数形结合教学的必要性4数形结合思想的教学原则5数形结合思想方法的教学设计2数形结合思想的内涵 P A R T .0 1引 言数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍使用的方法。载体指人们对数学理论和内容的本质的认识。是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点。数学思想数学思想的具体化形式，数学方法是在数学思想的指导下，为数学思维
2、活动提供具体的实施手段数学方法教育的本质是育人,数学学科以其学时多,学习时间之长久,以及学科的特征,在发展和完善人的教育活动中,在认识世界的态度和方法上,对整体素质的提高起到了积极而重要的作用.数学是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学观点和文化，数学的精神和态度。数学思想方法数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 分类讨论函数与方程数形结合转化与化归常见的数学四大思想2数形结合思想的内涵P A R T .0 2数形结合思想的内涵数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是
3、代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。数形结合思想数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面：1、以形助数2、以数辅形数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质。以形助数例1、方程 的正根的个数为（）。A、3 B、2 C、1 D、0 数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 是借助于数的精确性和规范
4、严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。以数辅形例2、将如图的五个正方形组成的十字形剪拼成一个正方形.2数形结合思想的内涵P A R T .0 3数 形 结 合 教 学的 必 要 性数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 无论对于科学的工作者、技术人员，还是数学教育工作者，最重要的是数学的精神、思想和方法，而数学知识只是第二位的.米山国藏(日本)掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和更利于记忆。布鲁纳(美国)数形结合百般好，隔离分家万事休。华罗庚(中国)数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU
5、 XING JI HE SI XIANG 数学课程标准的总体目标中第一条明确指出：让学生“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。数学课程标准的教学建议中第四条明确指出：数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括，学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 基础知识基本技能双基基础知识基本技能基本思想方法基本活动经验四基数学教学已由双基向四基转化：数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU X
6、ING JI HE SI XIANG 0102数形结合是培养和发展学生的空间观念和数感,进行形象思维与抽象思维的交叉运用,使多种思维互相促进,和 谐发展的主要形式;数形结合教学又有助于培养学生灵活运用知识的能力.利用数形结合进行解题，它不仅将优美的题解过程形象地展现在解题者的面前，而且给解题者带来层次分明的思维训练而回味无穷，使学生产生一种奇异的感觉，消除一部分学生因数学的抽象性而产生的畏惧、厌烦情绪，从而产生对数学的兴趣.2数形结合思想的内涵P A R T .0 4数 形 结 合 思 想的 教 学 原 则数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 1、渗透
7、性原理所谓渗透原理，是指必须在具体数学知识的教学中通过精心设计的学习情境与教学过程，着意引导学生领会蕴涵在其中的数形结合思想方法，使他们在潜移默化中达到理解和掌握。2、反复性原理由于与具体数学知识相比较，数形结合思想方法更为抽象和概括，因此这个认识过程具有长期性和反复性的特征。4、归纳性原理所谓归纳性原理，是指在反复渗透的基础上，要适时对数形结合思想方法进行归纳和总结，使学生明确数形结合思想方法的系统，掌握与有关知识的联系。3、系统性原理对于数形结合思想方法而言，它与所概括的一类数学方法、所串联的具体数学知识也必须形成自身的体系，才能为学生理解和掌握，这就是系统性原理。数形结合及其教学设计双峰
8、“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 在初中数学课程教学中，要了解数形结合思想的特点，树立渗透意识，选准教学时机，遵循教学规律，提高教学能力，这样才能最大限度的担升数学教学质量。2数形结合思想的内涵P A R T .0 5数 形 结 合 思 想 方 法的 教 学 设 计数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 宏观设计宏观设计是指对数形结合思想方法教学整体的考虑，按照孕育、形成与发展的认识规律进行整体设计。01数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 渗透孕育期（七年级上）形成尝试期（七年级下，八年级
9、）应用发展期（九年级）123数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 七年级上册共计五章，有理数代数式一元一次方程图形的认识数据的收集与统计图，每一章里都渗透了数形结合思想，但由于学生刚升人中学,他们对数形结合的认识主要还停留在用线段图解应用题的这种萌芽状态,因此这一时期的要求不能太高,应以这些内容为载体,在教学中提出数与形的问题,使学生感受到“数”与“形”间存在着互相联系、互相转化的辩证关系。1.渗透孕育期（七年级上）数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG -5-4-3-2-1教学活动一：把笔尖放在数轴的原点处，先
10、向正方向移动3个单位长度，再向负方向移动2个单位长度，这时笔尖停在表示“1”的位置上。用数轴和算式可以将以上过程及结果表示。教学活动二：把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向负方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？请用数轴和算式表示以上过程及结果。-5-4-3-2-1 1.渗透孕育期（七年级上）数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 例3：已知a、b、c在数轴上位置如图所示，化简代数式 本题根据图形（数轴）定出a、b、c的正负及它们绝对值的大小从而化去原题中绝对值的符号达到化简的目的。这是“数”与“形”结合解题的效果。1.渗透
11、孕育期（七年级上）数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 由于知识的深化,“数”与“形”之间的因果关系不那么明显.因此学生在解决问题时很难将“数”与“形”有效地结合进行思考.这个阶段的教学可分为两个层次进行：.形成尝试期（七年级下，八年级）形成尝试期理解迁移提炼方法数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 如：勾股定理,代数特征是：一个数的平方等于两个数的平方和.几何特征是：这三个数是某个直角三角形的三边.解决相关问题时可以引导学生与已有的知识经验“直有三角形求线段长度解方程”产生关联，找出解题途径.形成尝试期（七年
12、级下，八年级）作为第二层次的教学,应该引导学生从解决问题的技巧中提炼出蕴含数形结合思想且又易于操作的办法.进而理解数形结合的实质.提炼方法深刻理解数学知识中蕴含的数形结合的思想，找出概念、定理、性质中“数”与“形”的特征.理解迁移数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 例4：已知a1、0b1.形成尝试期（七年级下，八年级）此题充分挖掘了数形结合的巧妙构想，发挥了逻辑思维和形象思维的互助功能，这种数形结合思维的训练可以开阔学生的思路，打破常规的思维定势，培养学生细心观察、大胆猜想，善于横、纵向思考问题的综合解题能力。数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU
13、XING JI HE SI XIANG 这个阶段主要以方程、函数的知识为载体,以解决问题为主要教学方式,突出数形结合思想在解题中的指导作用.指导学生正确、迅速地找出问题中数形转换的等价关系,展现由以形助数和以数辅形的思维过程.应用发展期（九年级）数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG .应用发展期（九年级）例5、直线 与抛物线 相交，两交点的横坐标分别为 x1、x2，直线 与x轴的交点的横坐标为x3 求证：数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG .应用发展期（九年级）例6、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是A
14、D上异于D的点，且NMB=MBC，则tanABM=y yx xE数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG .应用发展期（九年级）在此阶段我们可以进行一些专题教学，通过探究学习和合作学习，帮助学生归纳总结数形结合的思想方法，使学生能综合运用数形结合来提高解决问题的能力。也可以进行适当的扩展。例如教学八年级下册第四章一次函数时，可以扩展的二元一次方程组的解的意义。数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG .应用发展期（九年级）二元一次方程组 的解有三种情况：无解；无数个解；只有一个解。扩展这三种情况可以转化为两条直线a1x
15、+b1y+c1=0、a2x+b2y+c2=0的三种位置关系：平行；重合；相交。方程组的解转化为两条直线的交点。这样有利于学生进一步理解二元一次方程组的解的意义，为以后学习二次函数与一元二次方程的联系打下基础，为学生高中阶段的学习做好准备，提高了学生综合运用数形结合来提高解决问题的能力。数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 微观设计数学思想方法的微观设计是指对一节课、一个概念以及命题、公式、法则、例题、习题等教学过程进行渗透思想方法的具体设计。01数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 微观设计要求通过确立目标、创
16、设情境、尝试活动、认识深化、提炼概括，融知识、方法思想于一体，在知识发生和应用过程中落实数学思想方法的教学。它主要包括目标设计、情境设计、过程设计、范例设计。数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 微课设计案例【课题课题】数轴数轴【知识点来源知识点来源】湘教版七年级数学上册湘教版七年级数学上册P7数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 微课设计案例数轴非常直观地把数与点结合起来，渗透着初步的数形结合的思想。是理解有理数的概念与运算的重要工具，也是利用数形结合思想解题的重要工具之一，数轴的学习还为以后学好不等式的解法
17、、平面直角坐标系等打下良好的基础，起到承上启下的作用，有非常重要的地位。数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 微课设计案例数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 微课设计案例数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 微课设计案例教学目标教学目标让学生从生活实例中归纳概括数学思想，抽象出数轴的定义。让学生从生活实例中归纳概括数学思想，抽象出数轴的定义。掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系。掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系。会正确地画出数轴，会用数轴上
18、的点表示给定的有理数，会根据会正确地画出数轴，会用数轴上的点表示给定的有理数，会根据数轴上的点读出所以表示的有理数。数轴上的点读出所以表示的有理数。感受在特定的条件下数与形是可以相互转化的，体验生活中的数感受在特定的条件下数与形是可以相互转化的，体验生活中的数学。学。1234数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 微课设计案例教学设计教学设计创设问题情创设问题情境，激发学境，激发学生的学习热生的学习热情，发现生情，发现生活中的数学。活中的数学。对对“用点表用点表示数示数”的感的感性认识性认识数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE S
19、I XIANG 微课设计案例教学设计教学设计对对“用点表示数用点表示数”的理性的理性认识认识。让。让学生结合实际，学生结合实际，亲历过程，体验发现的快亲历过程，体验发现的快乐，变被动学习为主动发乐，变被动学习为主动发现。现。数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 微课设计案例教学设计教学设计?-1?-2?0?2?1让学生经历：让学生经历：看生活实例，看生活实例，用数学表示，用数学表示，归纳概括数归纳概括数学思想，抽学思想，抽象成数学定象成数学定义的全过程。义的全过程。数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 数轴是数
20、形转化、结合的重要媒介，东西走向的大街和温度计这些实际情境设计的原型来源于生活，容易被学生体验和接受，让学生从生活实例中归纳概括数学思想，抽象出数轴的定义。学生通过观察、思考和自己动手操作、经历和体验数轴的形成过程，加深对数轴摡念的理解，教学情境的设计和安排体现了从感性认识到理性认识，再到抽象概括的认识规律。本节课在数轴形成过程中，学生就已经初步感知数与直线上点的对应关系，从而可以借助数轴上的点与数的对应关系，加深对有理数及其相关知识的认识和理解。本节课注重从学生的知识经验出发，充分发挥学生的主体作用，让学生主动参与学生，并引导学生感悟知识的生成、提升与变化，培养了学生的探索能力。评述微课设计
21、案例数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 数学中的很多概念、法则、公式、定理都与一定的空间形式密切联系，曲线与方程、区域与不等式、函数与图象、三角函数与单位圆都有内在的联系，而“数形结合”就是根据数量与图形之间的对应关系，把抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维和形象思维相结合，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要的数学思想，是发展形象思维与抽象思维并使之相互转化的有力“杠杆”。教师要认真研究教材，从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，在数学教学中尽量发掘“数”与“形”的本质联系，逐步渗透数形结合思想，使学生能做到“眼”中有形，“心”中有数，让学生养成数形结合的良好习惯，借助数形结合的“慧眼”，探索分析问题和解决问题的方法，提高学生的数学素养，在数学教学中真正实现素质教育。这也是我们所有数学教育工作者都应该追求的目标。结束语数形结合及其教学设计双峰“国培”SHU XING JI HE SI XIANG 总之，数学教学是一种学习、提升、修炼的过程，是一种力图完善、精益求精的过程，它需要每一个教师用心、用情、用力去打造。所谓用心，就是要静下心来并潜心去进行教学；所谓用情，就是要投入自己的真情实感去进行教学；所谓用力，就是要施展自己的能力和实力去进行教学。
