1、精品文档 基本不等式教学设计与反思 “基本不等式”教学设计与教学反思一、教材背景分析1.教材的地位和作用本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学
2、生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体.本节是复习课，不仅应让学生进一步理解概念，还要掌握应用基本不等式求最值，体会基本不等式在实际生活中的指导作用2.学情分析在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识.如何让学生再认识“基本”二字，是本节学习的前提.事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用.因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才
3、能让学生深刻理解它的本质.另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件在解决最值问题中的作用.3、教学重难点：教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度回顾和探索基本不等式的证明过程；用基本不等式解决一些简单的最值问题.教学难点：回顾在几何背景下抽象出基本不等式的过程；基本不等式中等号成立的条件；应用基本不等式解决实际问题.二、教学目标1、利用“赵爽弦图”回顾重要不等式、基本不等式，再利用教材中的“探究”回顾基本不等式的几何意义，通过基本不等式的回顾，进一步让
4、学生体会和感悟形数统一的思想方法；2、通过对教材“探究”再探究，引导学生拓展基本不等式，体会基本不等式的应用；3、通过对教材中例题的变式教学，让学生体会和感悟应用基本不等式求最值应该注意的问题，解决基本不等式在实际中的应用；4、利用电脑屏幕的情景，激发学生学习数学的热情，进一步培养学生的数学应用能力；5、通过学生自主构建知识网络结构图，深化对基本不等式的理解三、教学对策本节作为基本不等式的复习课，一是借助弦图和几何画板演示，让学生回顾基本不等式的概念形成过程，体验基本不等式模型的观察、分析、猜想和概括等系列思维活动过程，复习基本不等式的代数结构特征，体会数学抽象思维的方法；二是通过基本不等式的
5、证明方法的探索和不同角度的欣赏，学生能用文字语言、符号语言和图形语言表述基本不等式的结构特点，归纳得出基本不等式中等号成立的条件及其使用条件，进一步体会数形结合的思想方法；三是要引导学生用基本不等式解决常见的最值和实际问题，进一步体验数学建模的过程；四、教学过程温故知新，回顾基本不等式.情景引入：问题1、请同学们重温“赵爽弦图”，比较正方形ABCD的面积S和里面的四个小三角形面积之和S的大小，看可以得到怎样的不等关系？问题2ab,可以得到什么数学结论？a?b2问题3、那么在使用基本不等式时，对实数a、b有什么要求呢？?a、b的“几何平均数”，a?b而则称为是它们的“算术平均数”2下面请大家打开
6、课本第98页，看探究中的图a?b问题4的几何2解释？思考：它们之间的大小关系是否能够在图中体现出来？问题5、让D点动起来，请大家指出等号成立的条件.链接1生：a,b?R?(以数构形，让学生在实际图形中感受基本不等式的几何解释)探究“探究”，利用基本不等式证明.链接2问题6、过C做CE垂直与OD与E，过O做OF垂直于AB交圆O于F，连接FC,请大家计算DE和FC的长度.2ab刚刚我们计算出的a?ba?b2ab问题7、请大家比较它们的大小关系，用不等号将.2a?ba?b由DE?CD?OF?FC,.?2?ab2问题8、在这个链状不等式中，有三处等号，这三个等号能否同时成立呢？(设计意图：对图形进行进
7、一步分析，引导学生发现调和平均数和平方平均数让学生体会到我们不仅能以数构形，寻找到数量关系的几何解释，更重要的是，对图形的观察分析可以以形识数，发现和完备我们的代数结论)问题9、当然，仅仅通过观察得到图形中的感性认识是不够的，下面让我们一起完成上面这个不等式链的代数证明问题10、首先请一个同学说说你的具体证明要分几个步骤？课本变式，利用均值不等式求最值.将课本打开到第99页的题目做一些修改，大家重新思考对于例2，我们改为：变式1、某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单
8、价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计价最低，并求出最低总造价归纳总结，形成知识网络图.方法提炼，数学思想升华.六、教学反思形数结合是我们认识数学的重要思想.本课的设计思路是：“从赵爽弦图引出基本不等式利用代数知识证明基本不等式从几何和代数两个角度发掘基本不等式的变形形式数学建模，利用基本不等式求最值实际应用，利用基本不等式指导生活实践”从几何图形中提炼和挖掘数学知识，完成从感性认识逐步上升为以抽象概括为主的理性认识，然后指导生活实践.在整个设计过程中，始终体现以学生为中心的教学理念，在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知成功之处：在本节课教学中，一是问题情境的创设与生成始终
9、渗透是一大亮点，让学生始终从数和形两方面加深对不等式的认识；二是源于课本，对教材的加工、改造和策划成功，做到了既贴近学生的最近发展区，又有效地达成了本节课的教学标准.改进之处：由于本节课教学预设特别充分，因此实际生成容受到到学生对象的制约，教学节奏不够理想，过程展开不够充分，课堂结尾显得有些仓促.基本不等式教学设计一、教材分析本节教材的地位与作用数学是研究空间形式和数量关系的科学.与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系.在本章中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，学习一些关于不等式的基本知识，通过不等式丰富的实际背景理解不等式.而通过本节内
10、容基本不等式的学习，学生将了解不等式的证明，解决一些简单的最值问题.同时本节内容还渗透了“数形结合”与“化归”思想，有利于提升学生优良的数学思维品质.教学目标的确定知识与技能从不同角度探索基本不等式，理解基本不等式；会用基本不等式解决简单的最值问题.过程与方法借助“拼图游戏”，通过操作、观察、抽象、概括学会从不同角度探索基本不等式,明确其简单应用；渗透“数形结合”与“化归”思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.情感、态度与价值观通过自主探究活动,获得发现的成就感,激发对数学的积极情感,培养创新意识和严谨的科学精神.1.教学重点从不同角度探索基本不等式，理解基本不等式.2.教学难点会用基
11、本不等式求最大值和最小值.二、教法分析1.采用启发式教学法创设问题情境，激发学生尝试活动.2.多媒体辅助教学，使用多媒体辅助进行直观演示启发学生思考.3.问题引导，探究基本不等式.4.联系实际问题，讲练结合，同时采用变式教学巩固应用，加深理解.三、学法分析在教学中,让学生在问题情境中,经历知识的形成和发展,通过观察、探索、交流、反思参与学习,认识和理解数学知识,学会学习,发展能力.四、教学过程问题情境一问题1：你能用四块相同的三角板拼成一个正方形吗？这个环节，以基本不等式的几何背景入手，让学生四人一个小组，用准备好的四块相同的三角板进行拼图游戏.从而得到赵爽弦图的模型，并适时地介绍我国三国时期
12、伟大的平民数学家及由他创设的弦图.设计意图：以趣引思，激发学生发现新知的欲望，让学生对赵爽及赵爽弦图记忆深刻，并为探究基本不等式作好铺垫.问题2：如果设直角三角形的两条直角边分别为a,，你能用a、b来表示正方形ABCD的面积与四个全等的直角三角形的面积和吗？正方形ABCD的面积与四个全等的直角三角形的面积和之间有怎样的大小关系呢？通过这两个简单的问题，学生很快得到正方形的面积大于四个直角三角形的面积和，但对于等号是否成立还有疑惑，所以再利用多媒体进行动画演示，对为什么当且仅当a=b时取等号给出了直观的解释.从而得到结论a?b?2ab(a,b?R?)设计意图：由学生自己拼成的“弦图”出发，由“形
13、”及“数”，自然生成得到了基本不等式，也体现了数与形的完美结合.问题情境二问题3：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD.则半径OD=_,半弦CD=_.半径与半弦有怎样的大小关系？设计意图：通过几何背景“半弦半径”，探索基本不等式，运用动画演示，对基本不等式给出更直观的几何解释.建构数学问题4：刚才我们通过数学实验及几何图形发现了不等关系a?b?2ab(a,b?R?)，我们能否用代数的方法严格证明呢？学生容易用代数的方法如“作差法”“分析法”“a2?b2?2ab(a,b?R)替代法”来证明这个不等式.从而得到本节课的基本a?b?2ab(
14、a,b?R?)要特别强调a,b?R?.设计意图：学生用代数的方法证明基不等式，引导学生体验数学结论的探究过程，体验了成功的喜悦，同时使学生理解数学是自然的，也是严密的应用数学1的最小值x1变式一：x?0,求x?的最大值x4的最小值变式二：x?2,求x?x?24的最大值变式三：x?2,求x?x?2例?0,求x?例?0,y?0,x?y?3,求xy的最大值例3判断题111(1)x?的最小值是2;(2)x?的最小值是2(x?2);(3)x2?(x?0)的最小值是2xxxx设计意图：通过多个例题及变式,拓展基本不等式应用的灵活性,并着力突出基本不等式使用的前提条件.例4.(1)用篱笆围一个面积为100m
15、2的矩形菜园,问该矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短，最短的篱笆是多少?(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大.最大面积是多少？设计意图：通过本例使学生明确:两个正数积为定值时，和有最小值;两个正数和为定值时，积有最大值，当然前提是等号必须能够取到.并抽象出数学模型:x?0,y?0(1)xy?P(定值),则当x?y时,x?y的最小值是2P;S2(2)x?y?S(定值),则当x?y时,xy4巩固练习?0b?0.求?的最小值;ba12.0?x?,求sinx?最小值sinx变式:0?x?23.求半径为R(常数)的圆的内接矩形面积的最大值?设计意图：
16、练习1,2及变式是对基本不等式的简单应用：两个正数，当积为定值时，和有最小值，前提等号必须取到.变式强调应用基本不等式时一定要验证等号是否取到.,练习3体现两个正数，当和为定值时，积有最大值的应用.设计这三个练习及变式是在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生进一步加深对基本不等式的理解，深刻体会应用基本不等式求最值时的条件和方法，培养学生的发散和创新思维.充分认识基本不等式的使用价值.归纳总结、作业布置学生总结：1你有哪些收获？2.应用基本不等式要注意哪些问题？设计意图：通过两个问题引导学生总结归纳本节课的知识点及应用基本不等式时要注意的一些问题,强化对基本不等式的理解与认识.基本不等式
17、教学设计一、教材分析1、本节教材的地位和作用“基本不等式”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用求最值又是高考的热点同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质、教学目标知识目标:探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决最值问题能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神、教学重点、难点根据课程标准制
18、定如下的教学重点、难点重点:应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值二、教法说明本节课借助几何画板，使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景，激发学生开始尝试活动运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的乐趣.课堂上主要采取对比分析；让学生边议、边评；组织学生学、思、练通过师生和谐对话,使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使认知效益最大让学生爱学、乐学、会学、学会三、学法指导为更好的贯彻课改精神,合理的对学生进行素质教育,在教学中,始终以学生主体，教师为主导.因此我在教学中让学生从不同角度去
19、观察、分析,指导学生解决问题，感受知识的形成过程,培养学生数形结合的意识和能力，让学生学会学习四、教学设计运用2002年国际数学家大会会标引入运用分析法证明基本不等式不等式的几何解释基本不等式的应用1、运用2002年国际数学家大会会标引入如图，这是在北京召开的第届国际数学家大会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情客正方形ABCD中,AEBE,BFCF,CGDG,DHAH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=，RtABE,RtBCF,RtCDG,RtADH是全等三角形，它们的面积之和是S=从图形中易得，ss,即a2?b2?2ab问题1：它
20、们有相等的情况吗？何时相等？问题2：当a,b为任意实数时，上式还成立吗？一般地，对于任意实数a、b，我们有a2?b2?2ab当且仅当a=b时，等号成立问题3：你能给出它的证明吗？设计意图运用2002年国际数学家大会会标引入，能让学生进一步体会中国数学的历史悠久，感受数学与生活的联系运用此图标能较容易的观察出面积之间的关系，引入基本不等式很直观三个思考题为学生创造情景，逐层深入，强化理解2、运用分析法证明基本不等式如果a0,b0,用a+b2?(a0,b0)也可写成问题4：你能用不等式的性质直接推导吗？a+b?要证a+b?只要证2?0要证,只要证2?0要证,只要证显然,是成立的.当且仅当a=b时,
21、不等式中的等号成立.设计意图证明过程课本上是以填空形式出现的，学生能够独立完成，这也能进一步培养学生的自学能力，符合课改精神；证明过程印证了不等式的正确性，并能加深学生对基本不等式的理解；此种证明方法是“分析法”，在选修教材的推理与证明一章中会重点讲解，此处有必要让学生初步了解3、不等式的几何解释如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，径为过半问题：你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?设计意图几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面只有做到了直观上的理解，才是真正的理解4、基本不等式的应用例证明a+1?0)x+1?2(x0)x设计意图这道例题很
22、简单,多数学生都会仿照课本上的分析思路重新证明,能够练习“分析法”证明不等式的过程；学生能够加深对基本不等式的理解,a和b不仅仅是一个字母,而是一个符号,它们可以是a、b,也可以是x、y,也可以是一个多项式；此例不是课本例题,比课本例题简单,这样，循序渐进,有利于学生理解不等式的内涵例2：把36写成两个正数的积，当两个正数取什么值时，它们的和最小？把18写成两个正数的和，当两个正数取什么值时，它们的积最大？设计意图此题目利用基本不等式求最值，包含正用，逆用，体现了基本不等式的应用价值；强调利用不等式求最值的关键点：“正”“定”“等”；有利于培养学生团结合作的精神ba练习：若a,b同号，则?2abP113练习设计意图巩固基本不等式，让学生熟悉公式，并学会应用小结：设计意图有利于发挥学生的主观能动性，突出学生的主体地位作业：必做题：P113A组3、4若x0,求x+的最大值选做题：1x设计意图2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作 独家原创 12 / 12
