1、 指数函数及其性质教学设计与反思 伊通一中 闫君人教版必修一基本初等函数指数函数和对数函数这一章在数学必修1中占着举足轻重的位置，指数和对数是进行科学计算不可缺少的重要工具，而指数函数和对数函数在社会科学和自然科学中有着很重要的应用，它与现实生活联系非常密切。 “指数函数及其性质”是人教版高中数学必修一第二章基本初等函数的内容，本节内容的教学共分三个课时完成，第一课时为指数函数的概念，图像及性质；第二课时为用指数函数解决数学问题与简单的实际问题；第三课时为指数函数的综合运用。“指数函数及其性质”第一课时是在学习指数概念的基础上学习指数函数的概念和性质，通过学习指数函数的定义，图像及性质，可以进
2、一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学习对数函数作好准备。本节课的内容是高中数学必修一第三章第三节“指数函数”的第一课时指数函数的定义，图像及性质。新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。我将以此为基础从下面这几个方面加以说明。一、教材的地位和作用本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一
3、步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。此外，指数函数的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。二、教学目标知识目标：掌握指数函数的概念；掌握指数函数的图象和性质和简单应用；使学生获得研究函数的规律和方法。能力目标：培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等思维能力；体会数形结合思想、分类讨论思想，增强学生识图用图的能力；情感目标：让学生自主探究，体验从特殊一般特殊的认知过程，了解指数函数的实际背景；
4、通过学生亲手实践，互动交流，激发学生的学习兴趣，努力培养学生的创新意识，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力。三、教学重难点教学重点：进一步研究指数函数的图象和性质。指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此它对知识起到了承上启下的作用。教学难点：弄清楚底数a对函数图像的影响。对于底数a1 和1a0时函数图像的不同特征，学生不容易归纳认识清楚。 突破难点的关键：通过学生间的讨论、交流及多媒体的动态演示等手段，使学生对所学知识，由具体
5、到抽象，从感性认识上升到理性认识，由此来突破难点。因此，在教学过程中我选择让学生自己去感受指数函数的生成过程以及从这两个特殊的指数函数入手，先描点画图，作为这一堂课的突破口。四、学情分析及教学内容分析1、学生知识储备通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习，学生对函数和图象的关系已经构建了一定的认知结构，主要体现在三个方面：知识方面：对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等最简单的函数概念和性质已有了初步认识，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。技能方面：学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握，能够为研究指数函数的性质做好准备。素
6、质方面：由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步了解了数形结合的思想。2、学生的困难本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，但学生在探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，所以学生学习起来有一定难度。五、教法分析本节课我采用引导发现式的教学方法。通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受。六、教学过程分析根据新课标的理念，我把整个的教学过程分为六个阶段，即：1.情景设置，形成概念 2.发现问题，深化概念 3.深入探究图像，加深理解性质 4.强化训练，落实掌握5.小结归纳 6.布置作业（一）
7、情景设置，形成概念学情分析：1、学生初中就接触过一次函数、二次函数，在第二章再次学习一次函数、二次函数时，学生有一定的知识储备，但对于指数函数而言，学生是完全陌生的函数，无已有经验的参考，在接受上学生有困难。2、课本给出了两个引例以及在本章章前语也给了一个例子，分别是细胞分裂、放射性物质省留量及“指数爆炸”，这三个例子比较好但离学生的认知仍存在一定距离，于是我在引课这里翻查了一些参考资料，发现这样一个例子，折纸问题，这个引例对学生而言便于动手操作与观察贴近学生的生活实际。1、引例1：折纸问题：让学生动手折纸观察：对折的次数与所得的层数之间的关系，得出结论=2对折的次数与折后面积之间的关系（记折
8、前纸张面积为1），得出结论=（1/2）引例2：庄子。天下篇中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。请写出取x次后，木棰的剩留量与y与x的函数关系式。设计意图：（1）让学生在问题的情景中发现问题，遇到挑战，激发斗志，又引导学生在简单的具体问题中抽象出共性，体验从简单到复杂，从特殊到一般的认知规律。从而引入两种常见的指数函数a10a0且a1）的函数称为指数函数，定义域为R。提出问题:为什么要限制a0且a1？这一点让学生分析，互相补充。分a0，且a=0，0a1，a=1，a1五部分讨论。（二）发现问题、深化概念问题1：判断下列函数是否为指数函数。1）=-3 2）=31/x 3) =31+x 4) =
9、(-3)x 5) =3-x=(1/3) x 设计意图：1、通过这些函数的判断，进一步深化学生对指数函数概念的理解，指数函数的概念与一次、二次函数的概念一样都是形式定义，也就是说必须在形式上一模一样方行，即在指数函数的表达式中=ax（a0且a1）。1）ax的前面系数为1， 2）自变量x在指数位置， 3）a0且a12、问题1中（4）=(-3)x的判定，引出问题1：即指数函数的概念中为什么要规定a0且a11）a0时，ax=0；x0时无意义。3）a=1时，ax= 1x=1是常量，没有研究的必要。设计意图：通过问题1对a的范围的具体分析，有利于学生对指数函数一般形式的掌握，同时也为后面研究函数的图像和性
10、质埋下伏笔。落实掌握：1）若函数=(a x -3a+3) a x是指数函数，求a值。2）指数函数f(x)= a x（a0且a1）的图像经过点（3，9），求f(x)、f(0)、f(1)的值。待定系数法求指数函数解析式（只需一个方程）。（三）深入研究图像，加深理解性质指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数，所以在这部分的安排上，我更注意学生思维习惯的养成，即应从哪些方面，哪些角度去探索一个具体函数，我在这部分设置了两个环节。第一环节：分三步（1）让学生作图 （2）观察图像，发现指数函数的性质 （3）归纳整理学生课前准备：利用描点法作函数y=2x，y=3x，以及y=(1/
11、2）x、y=(1/3)x的图像。设计意图：（1）观察总结a1,0a0时,y1；当x0时,0y0时, 0y1；当x18、=ax（a0且a1）在第一象限图像“底大图高”（直线x=1辅助）难点突破：通过数形结合，利用几个底数特殊的指数函数的图像将本节课难点突破。为帮助学生记忆，教师用一句精彩的口诀结束性质的探究： 左右无限上冲天，永与横轴不沾边。 大1增，小1减，图像恒过（0，1）点。（四）强化训练落实掌握例1：学习了指数函数的概念，探究出它的性质以后，再回应本节课开头的问题，解决引例问题。例2：比较下列各题中两值的大小（1） （4/3）-0.23 与（4/3）-0.25； （2） （0.8）2.5
12、与（0.8）3 。方法指导：同底指数不同，构造指数函数，利用函数单调性（3） 与；（4） 与方法指导：不同底但可化同底，也化归为第一类型利用单调性解决。（5）(3/4)2/3与(5/6)2/3；（6）（-2.1）3/7与（-2.2）3/7方法指导：底不同但指数相同，结合函数图像进行比较，利用底大圈高。（6）“-”是学生的易错易混点。（7）（0.3）-3与(2.3)2/3；（8）1.70.3与0.93.1。方法指导：底不同，指数也不同，可采用估算（与常见数值比较如（8）中间量如（7）（10/3）3（10/3）2/3或（2.3）3(2.3)2/3。（五）归纳总结，拓展深化请学生从知识和方法上谈谈对
13、这一节课的认识与收获。1、知识上：学习了指数函数的定义、图像和性质以及应用。关键要抓住底数a1 和1a0时函数图像的不同特征和性质是学好本节的关键。2、方法上：经历从特殊一般特殊的认知过程，从观察中获得知识，同时了解指数函数的实际背景和和研究函数的基本方法；体会分类讨论思想、数形结合思想。（六）布置作业，延伸课堂 我在本堂课的成功之处：在整个的教学过程中，始终体现以学生为本的教育理念；始终围绕着本堂课的教学目标；始终围绕着本堂课的重难点；在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，强调学生的品德、思维和心理等方面的发展。重视讨论、交流和合作，重视探究问题的习惯的培养和养成。同时，
14、考虑不同学生的个性差异和发展层次，使不同的学生都有发展，体现因材施教的原则。在教学的过程中，考虑到学生的实际，有意地设计了一些铺垫和引导，既巩固旧有知识，又为新知识提供了附着点，充分体现学生的主体地位。具体做法如下：一、在学校案导式教学的大环境下，让学生提前在前一个晚上根据学校统一编写的学案，围绕课本进行课前预习，完成学案课前预习部分，让学生对本节内容的知识点有一个初步的认识和了解。二、在创设问题情境时，除了采用书上的碳14的衰变的例子，还引用了生活实际中的细胞分裂问题。这种做法充实了实例，让学生体会到数学来源于生活实际。根据前面学过的分数指数幂的运算，学生预习时很容易得到两个具体函数，并让学
15、生观察这两个函数的特点，加深对定义的感性认识，为顺利引出指数函数定义作铺垫。实践证明效果很好。三、引出指数函数概念后，设置思考题，这是本节的一个难点，为突破难点，提示学生预习时进行小组讨论，课堂展示大胆质疑，深刻认识到底数a的取值范围，若底数为负数，幂出现无意义情况很多不便研究；若底数为1，则无论指数取何值,它总是1, 没有对它研究的必要。为了避免上述各种情况的发生，所以对底数有了规定。认识清楚底数a的特殊规定，指数函数解析式的特点。才能深刻理解指数函数的定义域是R；并为学习对数函数，认识指数与对数函数关系打基础。这样做学生真正理解了指数函数的概念。四、在指数函数图象和性质之前，学案中设置了一
16、个表格，让学生画出问题情境中的两个函数图象，由特殊到一般有利于学生认识指数函数图象，这样也做到了前后呼应。预习时提示学生，我们学习了函数的那些性质，指数函数有这些性质吗？五、运用指数函数性质比较两个数的大小问题，我在点拨时强调此类问题的三个步骤:1、构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性；2、自变量的大小比较；3、函数值的大小比较。五、画图验证，结合几何画板演示和学生自主去探究画图，充分发挥了学生的动手能力，体现数形结合的思维方式如，第（3）题：1.7 0.3 , 0.9 3.1 本小题是前两小题的升华，是函数值具体分布情况的应用。底数不同，指数也不同的两个幂怎样比较大小？怎样构造指数函数
17、？构造几个？引出中间变量1。数形结合在同一坐标系内画出与的图像，并标出点（0.3, 1.7 0.3 ）, (3.2, 0.9 3.1) 。既可以引导学生找到中间变量1，也可以验证答案。 我在本堂课的不足之处：1对学生的原有的认知水平掌握不足，因为是早上第一节课，对学生的预习情况了解不够深度，所以没有在课堂上学生掌握的最佳时机充分调动学生的积极性，课堂气氛不是很活跃。2因为本校学生的数学素养比较薄弱，本人在讲解新课的时候自己讲得偏多，学生的主体作用体现得不够。3指数函数概念部分的教学时间稍多，后面教学过程函数单调性的应用教学时（比较大小）稍显仓促，学生自主探究的时间不够，因此违背了教学设计的初衷
18、。4.如何将多媒体教学与传统教学方式进行整合从而使课堂教学效果更优化，这将是以后重点研究的课题。就本节课而言，无论板书还是投影，均有些匆忙。而且在作图教学时应该更大激发学生的热情，给他们更多的自主权。在今后的教学中，要在学生合作等方面加强指导，注意平时的培养与提高。5. 课堂教学中，对学生回答的问题，我总是想方设法使之不出一点差错，即使是一些容易产生典型错误的稍难问题。而且发现学生没有按着自己预想的方向回答时，有点沉不住气。不过我稍稍平静后能及时调整过来，再想办法使学生能够理解。在今后教学同一内容时中，会通过一两个典型的例题，让学生暴露错解，师生共同分析出错误的原因，学生就能从反面吸取经验教训，迅速从错误中走出来，从而增强辨别错误的能力，同时也提高了分析问题和解决问题的能力。6. 由于本人的一些疏忽，在课件演示底数的变化对图像的影响时，事先没有设置好导致无法显示底数大于10的函数图像，以后在课件上一定要多加检查。 反思整个教学过程,我认为还有很多地方值得去深思和改进，当然课后我通过对学生作业的批改，获得更全面的对学生知识掌握的评价和课堂效果的反思，并在后续的时间里对本堂课进行了“再教设计”，以达到预期的教学效果，实现学生的目标掌握和能力发展。
