1、高二数学 椭圆 双曲线练习题一、 选择题： 1、双曲线x2ay21的焦点坐标是（ ） A(, 0) , (, 0) B(, 0), (, 0) C（, 0）,（, 0） D(, 0), (, 0)2、设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为,则该双曲线的离心率为（ ）A5 B/2 C D5/43椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则=（ ）A/2 B C4 了 D7/24过椭圆左焦点且倾斜角为60的直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率等于 （ ） 5已知椭圆和双曲线1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）Ax By Cx Dy6设F1和F2为双曲线y
2、21的两个焦点，点P在双曲线上，且满足F1PF290，则F1PF2的面积是（ ） A1 B C2 D7已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1PF2，e1和e2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（ ）ABC D8已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ） Am2B1m2 Cm1或1m2Dm1或1m0,mb0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D锐角或钝角三角形10椭圆上有n个不同的点: P1, P2, , Pn, 椭圆的右焦点为F. 数列|PnF|是公差大于的等差数
3、列, 则n的最大值是（ ）A198 B199 C200 D201二、 填空题： 11对于曲线C=1，给出下面四个命题：由线C不可能表示椭圆；当1k4时，曲线C表示椭圆；若曲线C表示双曲线，则k1或k4;若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1k 其中所有正确命题的序号为_ _12设圆过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心距离_13双曲线1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1PF2，则点P到x轴的距离_14若A（1，1），又F1是5x29y2=45椭圆的左焦点，点P是椭圆的动点，则|PA|P F1|的最小值_15、已知B(-5，0)，C(5，0)是ABC的两
4、个顶点，且sinB-sinC=sinA,则顶点A的轨迹方程是三、 解答题：16、设椭圆方程为=1，求点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.图 17、已知F1、F2为双曲线（a0，b0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且PF1F230求双曲线的渐近线方程18、已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求 的取值范围；19、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为。 (1
5、) 求双曲线C的方程；(2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。20、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是（1）求双曲线的方程；（2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.21、设F1、F2分别为椭圆C： =1（ab0）的左、右两个焦点.（1）若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存
6、在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明参考答案:1、双曲线x2ay21的焦点坐标是（ C ） A(, 0) , (, 0) B(, 0), (, 0) C（, 0）,（, 0） D(, 0), (, 0)2、设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为,则该双曲线的离心率e（ B ）A5 B/2 C D5/43椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则=（ D ）A/2 B C4 D7/24过椭圆左焦点且倾斜角为60的直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率等于 （D ） 5已知椭圆和双曲
7、线1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ D ）Ax By Cx Dy解：由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，椭圆焦点（，0），双曲线焦点（，0），3m25n2=2m2+3n2m2=8n2又双曲线渐近线为y=x代入m2=8n2，|m|=2|n|，得y=x6设F1和F2为双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上，且满足F1PF290，则F1PF2的面积是（A ）A1B C2D解：由双曲线方程知|F1F2|2，且双曲线是对称图形，假设P（x，），由已知F1PF2 P，有，即， 7已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1PF2，e1和e2分别是椭圆
8、和双曲线的离心率，则有（ D ）ABCD8已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ D ）Am2B1m2 Cm1或1m2Dm1或1m0,mb0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是（ B ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D锐角或钝角三角形10椭圆上有n个不同的点: P1, P2, , Pn, 椭圆的右焦点为F. 数列|PnF|是公差大于的等差数列, 则n的最大值是（ C ）A198 B199 C200 D201二、填空题：11对于曲线C=1，给出下面四个命题：由线C不可能表示椭圆；当1k4时，曲线C表示椭圆；若曲线C表示双曲线，则k1或k4;若曲线C表
9、示焦点在x轴上的椭圆，则1k 其中所有正确命题的序号为_ _； 12设圆过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_16/3；解：如图815所示，设圆心P（x0，y0），则|x0|4，代入1，得y02，|OP| 13双曲线1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1PF2，则点P到x轴的距离为 16/5；解：设|PF1|m，|PF2|n（mn），a3、b4、c5，mn m2n24c2，m2n2（mn）2m2n2（m2n22mn）2mn4253664，mn32.又利用等面积法可得：2cymn，y16/514若A点坐标为（1，1），F1是5x29y2=45
10、椭圆的左焦点，点P是椭圆的动点，则|PA|P F1|的最小值是_ _；15、已知B(-5，0)，C(5，0)是ABC的两个顶点，且sinB-sinC=sinA,则顶点A的轨迹方程是三、解答题：16、设椭圆方程为=1，求点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.图解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立并消元得：（4+k2）x2+2kx3=0， x1+x2=y1+y2=，由 得：（x，y）=（x1+x2，y1+y2），即：消去k得：4x2+y2y=0当斜率
11、不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程所以动点P的轨迹方程为：4x2+y2y= 0 17、已知F1、F2为双曲线（a0，b0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且PF1F230求双曲线的渐近线方程解：（1）设F2（c，0）（c0），P（c，y0），则=1解得y0= |PF2|=，在直角三角形PF2F1中，PF1F2=30解法一：|F1F2|=|PF2|，即2c=，将c2=a2+b2代入，解得b2=2a2 解法二：|PF1|=2|PF2|，由双曲线定义可知|PF1|PF2|=2a，得|PF2|=2a. |PF2|=，2a=，即b2=2a2， 故所求双曲线的渐近线方程为y=x18
12、、已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求 的取值范围；解：（1），是共线向量，b=c,故（2）设当且仅当时，cos=0，19、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(1) 求双曲线C的方程；(2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。解：（）设双曲线方程为 由已知得故双曲线C的方程为（）将 由直线l与双曲线交于不同的两点得即 设，则而于是 由、得 故k的取值范围为20、已知双曲线的离心率，过的
13、直线到原点的距离是（1）求双曲线的方程；（2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.解：（1）原点到直线AB：的距离 故所求双曲线方程为 （2）把中消去y，整理得 . 设的中点是，则故所求k=.21、设F1、F2分别为椭圆C： =1（ab0）的左、右两个焦点.（1）若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程； （3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那
14、么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.又点A（1，）在椭圆上，因此=1得b2=3，于是c2=1.所以椭圆C的方程为=1，焦点F1（1，0），F2（1，0）（2）设椭圆C上的动点为K（x1，y1），线段F1K的中点Q（x，y）满足： ， 即x1=2x+1，y1=2y.因此=1.即为所求的轨迹方程.（3）类似的性质为：若M、N是双曲线：=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值. 设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（m，n），其中=1.又设点P的坐标为（x，y），由，得kPMkPN=，将m2b2代入得kPMkPN=.
