1、高三文科数学 第 1 页 共 4 页 唐山市 20192020 学年度高三年级第二次模拟考试 文科数学 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写 在答题卡上，写在本试卷上无效。 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax| x1 x10，B2，1，0，1，2，则 AB A2，2
2、B2，1，2 C1，0，1 D1，0 2已知复数 z1ai 3i 为纯虚数(其中 i 为虚数单位)，则实数 a A3 B3 C 1 3 D 1 3 3冰雹猜想（也叫 3X1 猜想） ：任意给出一个正整数 X，如果 X 是奇数，下一步变成 3X1；如果 X 是偶数，下一步变成X 2，依次进行计算，无论 X 是一个怎样的数字， 最终都会回到数字 1若给出的数字是 X6，当第一次回到数字 1 时，经过的计算次 数为 A6 B7 C8 D9 4已知 x，y 满足约束条件 xy20， x2y10， xy20， 则 zxy 的最大值为 A2 B0 C2 D4 高三文科数学 第 2 页 共 4 页 5已知
3、sin( 2) 1 3，则 cos2 A 7 9 B 8 9 C 7 9 D 8 9 6现有甲、乙、丙、丁 4 名大学生，若将 4 人随机分配到两个单位去实习，要求每个单 位两人，则甲、乙恰好被分到同一单位的概率为 A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为 A2 2 B3 C 10 D2 3 8函数 f(x)ex|x|3的零点个数是 A1 B2 C3 D4 9已知 F1，F2为双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0，b0)的左，右焦点，P 为双曲线 C 的渐 近线上一点，若F1PF2为等腰直角三角形，则双曲线 C 渐近线的方程
4、为 Ayx By2x Cy 1 2x Dy 2x 10已知 f(x)为 f(x)的导函数，且满足 xf(x)f(x)，则 A2f(2)f(1) B2f(1)f(2) C2f(2)f(1) Df(2)2f(1) 11已知 f(x)cos 2xsinx，有以下三个命题： 为 f(x)的一个周期；f(x)为奇函数；f(x)的图象关于直线 x 2对称； 则正确命题的个数是 A0 B1 C2 D3 12已知向量 a，b 满足| |a| |1，(ab)(3ab)，则 a 与 b 的夹角的最大值为 A30 B60 C120 D150 正视图 侧视图 俯视图 1 1 1 2 2 高三文科数学 第 3 页 共
5、4 页 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若 Sn为等差数列an的前 n 项和，a13，S525，则 a5_ 14已知 F( 2，0)是椭圆 E：x 2 a2 y2 b21（ab0）的右焦点，且 E 过点( 2，1)，则椭圆 E 的标准方程为_ 15 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边为 a， b， c， 若 acosCc 3asinCb， 则 A_ 16在三棱锥 P-ABC 中，BAC90 ，PAPBPCBC2 2，则三棱锥 P-ABC 外接 球的表面积为_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考 题，每个试
6、题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （12 分） 已知等比数列an的各项均为正，且 a1a212，a4a272. （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnlog3an，cn 1 bnbn1，求数列cn的前 n 项和 Tn 18 （12 分） 成年人收缩压的正常范围是(90，140)(单位：mmHg)，未在此范围的献血志愿者不 适合献血某血站对志愿者的收缩压进行统计，随机抽取男志愿者 100 名、女志愿者 100 名，根据统计数据分别得到如下直方图： （1）根据直方图计算这 200 名志愿者中不适合献血的总人数； （2）估计男志愿者
7、收缩压的中位数； （3）估计女志愿者收缩压的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) 高三文科数学 第 4 页 共 4 页 19 （12 分） 如图， 在梯形 ABCD 中， ABAD， ADBC， AD2AB2BC2， AE平面 ABCD， CF平面 ABCD （1）求证：CDEF； （2）AE2，CF3，求点 F 到平面 CDE 的距离 20 （12 分） 已知函数 f(x)axlnx，g(x)x2b，若曲线 yf(x)与 yg(x)相交于 P(1，0)，且在 点 P 处有相同的切线 （1）求 a，b 的值； （2）比较 f(x)与 g(x)的大小关系 21 （12 分） 已知 F
8、 为抛物线 C： y22px(p0)的焦点， 过 F 的直线 l 与抛物线 C 交于点 A， B 当 l 的倾斜角为 45 时，| |AB| |4 （1）求抛物线 C 的方程； （2）M(m，0)，当 l 绕点 F 旋转时，抛物线 C 上总存在点 N，使得四边形 AMBN 为平行四边形（点 M，N 在直线 l 的两侧） （）求 m 的值； （）记AMBN 的面积为 S，求 S 的最小值 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题记分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：(x1)2y21，直线
9、l：yx以坐标原点 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 与直线 l 的极坐标方程； （2）已知 P 为曲线 C 上一点，PHl 于 H，求 SPOH的最大值 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知 xR，y0，xy2xy （1）若 x0，求证：xy1； （2）若 x0，求| |x| | 2y | |x| |的最小值 A D C E B F 唐山市 20192020 学年度高三年级第二次模拟考试 文科数学参考答案 一选择题： DACBA CBCBD BA 二填空题： 137； 14 x2 4 y2 21； 152 3 ； 1632 3 三解答题： 17解：
10、（1）设数列an的公比为 q 依题意有， a1a1q12， a1q3a1q72， 3 分 两式相比，整理得 q(q1)6，解得 q3 或 q2 5 分 因为an的各项均为正，所以 q3，a13， 所以 an3n 6 分 （2）bnlog3anlog33nn， cn 1 bnbn1 1 n(n1) 1 n 1 n1， 8 分 所以 Tn1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 1 1 n1 n n1 12 分 18解： （1）由(m0.0100.01520.0200.030)101 得 m0.005， 故这些男志愿者中有 5 人不适合献血； 由(0.0050.0102n0.0200.035)
11、101 得 n0.015， 故这些女志愿者中有 15 人不适合献血 综上所述，这些志愿者中共有 20 人不适合献血 4 分 （2）设男志愿者收缩压的中位数为 x（mmHg） ，则 110x120 由 0.015100.02010(x110)0.0300.5 得 x115， 因此，可以估计男志愿者收缩压的中位数为 115（mmHg） 8 分 （3）950.051050.101150.151250.351350.201450.15125， 因此，可以估计女志愿者收缩压的平均值为 125（mmHg） 12 分 19解： （1）因为 CF平面 ABCD，CD平面 ABCD，所以 CFCD 1 分 因为
12、 AD2，ABBC1， 所以 ACCD 2，AC2CD2AD2，则有 ACCD， 3 分 因为 AE平面 ABCD，CF平面 ABCD， 所以 AECF，则有 A，C，F，E 四点共面 4 分 又 ACCFC，所以 CD平面 ACFE， 因为 EF平面 ACFE，所以 CDEF 5 分 （2）由（1）可知，AC平面 CDF，所以点 A 到平面 CDF 的距离为 AC 2 在CDF 中，CF3，CD 2 ，SCDF3 2 2 ， 在CDE 中，CD 2 ，CE 6，SCDE 3， 8 分 设点 F 到平面 CDE 的距离为 d， 由（1）可知，AECF，CF平面 CDF，AE平面 CDF， 所以
13、 AE平面 CDF，所以 VE-CDFVA-CDF 9 分 由 VF-CDEVE-CDFVA-CDF得，1 3SCDEd 1 3SCDFAC， 10 分 所以 d 3， 即点 F 到平面 CDE 的距离为 3. 12 分 20解： （1）由 g(1)0 得 b1 1 分 f(x)a(lnx1)，g(x)2x 依题意可得 f(1)g(1)2， 所以 a2，b1 4 分 （2）f(x)g(x)2xlnxx21x(2lnxx 1 x)，x0 6 分 令 h(x)2lnxx 1 x，则 h(x) 2 x1 1 x2( 1 x1) 20， 所以 h(x)在(0，)上单调递减，又 h(1)0， 因此 0x
14、1 时，h(x)h(1)0； x1 时，h(x)h(1)0； x1 时，h(x)h(1)0 11 分 故 0x1 时，f(x)g(x)； x1 时，f(x)g(x)；x1 时，f(x)g(x) 12 分 21解： （1）依题意，F( p 2，0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当 l 的倾斜角为 45 时，l：yx p 2， 与 y22px 联立得，x23pxp 2 4 0，所以 x1x23p 2 分 从而| |AB| |x1x2p4p4，解得 p1， 所以，抛物线 C 的方程为 y22x 4 分 （2） （）设 l：xty 1 2，与 y 22x 联立得 y22ty10， 所以
15、y1y22t，x1x2t(y1y2)12t21 6 分 设点 N(x0，y0)，由题意可得，x1x2x0m；y1y2y0， 所以 x02t21m；y02t， 又 N 在抛物线 C 上，所以(2t)22(2t21m)， 解得 m1 8 分 （）由（）得，y1y22t，y1y21， S2SAMB| |MF| | |y1y2| | 1 2 (y1y2)24y1y2 1t2， 所以 t0 时，S 取得最小值为 1 12 分 22解： （1）由 xcos，ysin，2x2y2得 曲线 C：22cos0，即 2cos； 直线 l：3 4 （R R） 4 分 （2）依题意，设 P(，)， 2 2，则| |O
16、P| |2cos， 5 分 所以| |OH| | |OP| | |cos( 4)| |2cos | |cos( 4)| |， | |PH| | |OP| | |sin( 4)| |2cos | |sin( 4)| |， 7 分 因此 SPOH 1 2 | |OH| | |PH| | 2cos 2 | |cos( 4) sin( 4)| | cos 2| |cos2sin2| | | |cos 2(2cos21)| | |2(cos 2 1 4) 2 1 8| 9 分 所以当 cos 21,即 0 时，SPOH取得最大值 1 10 分 23解： （1）因为 x0，y0，所以 xy2 xy， 由 xy2xy 得 2xy2 xy， 故 xy1，xy1，当且仅当 xy 时，等号成立 4 分 （2）由 xy2xy 得 1 x 1 y2 5 分 | |x| | 2y | |x| | 1 2( 1 x 1 y)| |x| | 2y | |x| | | |x| | 2x | |x| | 2y 2y | |x| | | |x| | 2x 2 3 2 9 分 当且仅当| |x| | 2y 2y | |x| |，且 x0 时，两个等号同时成立， 即当且仅当 x 1 2且 y 1 4，| |x| | 2y | |x| |的最小值是 3 2 10 分
