1、等腰三角形常用辅助线 专题练习（含答案）1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上， AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。 证明：作AFBC，垂足为F， 则AFDE。 AB=AC，AD=AE又AFBC ，AFDE， BF=CF，DF=EF （等腰三角形底边上的高与 底边上的中线互相重合）。 BD=CE.2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F， D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD， 连接 DE，试判断直线AF与DE的位置关系，并说 明理由解：AFDE理由： 延长ED交BC于G， AB=AC，AE=AD B=C，E=ADE B+E=C+ADE ADE=C
2、DG B+E=C+CDG B+E=DGC，C+CDG=BGE， BGE+CGD=180 BGE=CGD=90 EGBC AFBC AFDE解法2：过A点作ABC底边上的高，再用BAC=D+AED=2ADE, 即CAG=AED,证明AGDE 利用AFBC证明AFDE3.如图，ABC中，BA=BC,点D是AB延长线上一点， DFAC交BC于E,求证：DBE是等腰三角形。证明：在ABC中， BA=BC， A=C， DFAC， C+FEC=90， A+D=90， FEC=D FEC=BED， BED=D， BD=BE， 即DBE是等腰三角形4. 如图，ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,D
3、E 的延长线与BC相交于F。求证：DFBC.证明：AB=AC， B=C， 又AD=AE， D=AED，B+D=C+AED， B+D=C+CEF，EFC=BFE=180 1/2 = 90， DFBC;若把“AD =AE”与结论“DFBC”互换，结论也成立。若把条件“AB=AC”与结论“DFBC”互换，结论依然成立。5. 如图，AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, A 求证：CM=MD.证明： 连接AC,ADAB=AE,B=E,BC=ED ABCAED(SAS)AC=ADAMCD AMC=AMD=90 AM=AM (公共边) RTACMRTADM (HL)CM=DM6.如图，已知AD是AB
4、C的中线，BE交AC于F, 且AE=EF,求证：BF=AC证明：过B点做AC的平行线,交AD的延长线于G点 AD为中线，BD=CD BG平行于AC， FGB=CAF， DBG=ACD 在AFE和GFB中,FGB=CAF，GFB=AFE AFEGFB FGB=FAEAE=EF,FAE=AFEBFG=G GFB为等腰三角形，且BF=BG 在ADC和GBD中 DBG=ACD，BD=CD， BDG=CDA ADCGBD BG=ACBF=AC7.已知：如图，ABC(ABAC)中，D、E在BC上， 且DE=EC,过D点作DFBA,交AE于点F,DF=AC, 求证：AE平分BAC证明：延长AE，过D作DMA
5、C交AE延长线于M M=1,C=2 在DEM与CEA中 M=1,C=2, DE=CE DEMCEA DM=CA 又DF=CA,DM=DF,M=3 ABFD,3=4,4=1 AE平分BAC8. 已知：如图，ABC中，AB=AC,在AB上取一点D,在 延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。求 证：BD=CE证明：过D作DFAC交BC于F， DFAC（已知）， DFC=FCE，DFB=ACB（平行线的性质） AB=AC（已知）， B=ACB（等边对等角）， B=DFB（等量代换）， BD=DF（等角对等边）， BD=CE（已知）， DF=CE（等量代换）， DFC=FCE， DGF
6、=CGE（已证），DFGECG（AAS），DG=GE（对应边相等）9. 已知：如图，在ABC中，AB=AC=CE,B是AD上一点， BECB 交CD于E,ACDC, 求证：BE=1/2BC证明：过点A作AFBC交BC于点FABC是等腰三角形，AB=AC，ABF=ACF（1） AF是BC上的垂直平分线，AFBC，BF=CF=BC/2（2） BEBC，BE/AF DBE=BAF（3） CBE=90 DBE+ABF=90=ACF+ECB（4） 由（1）和（4）知道：DBE=ECB（5） 由（3）和（5）知道：BAF=ECB 又AB=CE，BFA=EBC=90 RTBFARTEBC（角角边） BF=E
7、B（6） 由（2）和（6）知道：BE=BC/210.如图，AD为ABC的角平分线，M为BC的中点，MEDA交 BA延长线于E, 求证：BE=CF=1/2(AB+AC)证明： （1）延长EM，使EM=MG，连接CG点M是BC的中点 ,BM=CM BME=CMG BMECMG（SAS)BE=CG,E=GAD平分BAC ,BAD=CAD MEDA,BAD=E，CAD=AFE E=AFE， AE=AF AFE=CFG ， G=CFG CF=CG ， BE=CG， BE=CF(2)BE=AB+AE，2BE=2AB+2AECF=BE，AC=CF+AF，AE=AF2BE=2CF=AB+(AB+AE)+AE
8、=AB+BE+AE=AB+(CF+AE) AC=AF+CF 2BE=AB+AC BE=CF=1/2(AB+AC)11.如图，已知ABC中，ADBC,ABC=2C. 试说明AB+BD=CD的理由。 证明： 在DC上截取DE=BD，连接AE ADBC,ADB=ADE=90 AD=AD RTADBRTADE（SAS) AB=AE ，ABC=AEBAEB=C+EAC ABC=2C（已知） EAC=CAE=CE ，AB=CE CD=CE+DE ，AB+BD=CD12.已知：如图，AD是ABC的角平分线，且AC=AB+BD. 求证：B=2C. 证明：在AC上作AEAB，连结DE AC=AB+BDAE+CE
9、 ,BDCE AD是角平分线 ,BADEAD 又AB=AE，AD=AD ABDEAD BAED，BDDECEEDC=C，AED2C即:B2C13.如图所示，已知在ABC中AD是A的平分线，且B=2C. 求证：AC=AB+BD.证明：延长AB到E，使AC=AE，连接DEAD是BAC的角平分线 BAD=DAC（角平分线的定义） 公共边AD=AD AC=AE BAD=DAC ACDAED (SAS) ACB=DEA（全等三角形形的对角相等） BDE+DEB=CBA CBA=2ACB ACB=DEA BDE=DEA BD=BE（等角对等边） AB+BE=AE,AC=AE,BD=BEAB+BD=AC14
10、.如图，点E是等边ABC内一点，且EA=EB, ABC外一点D满 足BD=AC,且BE平分BDE。 求BDE的度数 解：连接CE， AC=BC，AE=BE，CE为公共边， BCEACE， BCE=ACE=30 又BD=AC=BC，DBE=CBE，BE为公共边， BDEBCE， BDE=BCE=3015.如图，已知在ABC中，AB=BC=CA,E是AD上一点，并且 EB=BD=DE. 求证：BD+DC=AD. A提示：证明ABEBCD即可 E B C16.已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M,AT平分 BAC交CM于D,交BC于T,过D作DEAB交BC于E， 求证：CT=BE证明1： 作
11、DFBC交AB于F,则:AFD=B=ACD, AT为BAC的角平分线,AD为公共边 AFDACD,AF=AC 连接TF AF=AC, AT为BAC的角平分线,AT为公共边 ACTAFT, TFAF,TFCM DFCTBE,TFCD,DEBF 四边形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形 CT=DF=BE证明2： 作TFAB于F,则: CDT=ADM=90-DAM=90-DAC=CTD CDT =CTD , CT=CD AT为BAC的角平分线，TFAB，ACTC CT=TF=CD DEBF,TFCD, DEC=B, DCE=FTB 又TF=CD CDETFB, CE=BT CE-TE=BT-TE,CT=BE
