1、立体几何练习题1.设、为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若，则；若m，n，m，n，则；若，l，则l；若=l，=m，=n，l，则mn其中真命题的个数是( )A1B2C3D42.正方体ABCDA1B1C1D1中，BD1与平面ABCD所成角的余弦值为（）A B CD3.三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=2且AA1平面ABC，ABC是边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）A8BCD84.三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O，空间一点P到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP长为（）A5B2C3D55.如图，四棱锥SABCD的底面
2、为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）AACSB BAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角6.如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD，PD=AD=1，设点CG到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有（）A 1d1d2B d1d21C d11d2D d2d11EFAGab7.在锐角的二面角，若与所成角为，则二面角为_.8.给出下列四个命题：(1)若平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则；(2)两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线；(3)两条异面直线中的一条平行
3、于平面，则另一条必定不平行于平面；(4)为异面直线，则过且与平行的平面有且仅有一个其中正确命题的序号是_9.已知正方体 中，点E是棱 的中点，则直线AE与平而 所成角的正弦值是_.10.已知直三棱柱中，为的中点，则与平面的距离为_ 11.边长分别为、的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则的取值范围是 12.已知矩形的长，宽，将其沿对角线折起，得到四面体，如图所示， 给出下列结论：四面体体积的最大值为；四面体外接球的表面积恒为定值；若分别为棱的中点，则恒有且； 当二面角为直二面角时，直线所成角的余弦值为；当二面角的大小为时，棱
4、的长为其中正确的结论有 (请写出所有正确结论的序号)13.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=BB1，直线B1C与平面ABC成30角（I）求证：平面B1AC平面ABB1A1；（II）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值14.如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA=AB=6，BC=8，DF=5（1）若PBBC，证明平面BDE平面ABC（2）求直线BD与平面ABC所成角的正切值15.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点（1）求证：直线BD1平面PAC；（2）求证：平面PAC平面
5、BDD1B1；（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小16.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上（1）求证：AC平面PDB（2）当PD=AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小17.在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC=45，AD=AC=1，O为AC中点，PO平面ABCD，PO=2，M为PD中点（）求证：PB平面ACM；（）求证：AD平面PAC；（）求二面角MACD的正切值18.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE（1）证明：BD平面PAC；（2）若PA=1，
6、AD=2，求二面角BPCA的正切值19.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，AA1=AC=CB=2，D是AB的中点（1）求证：BC1平面A1CD；（2）求证：A1CAB1；（3）若点E在线段BB1上，且二面角ECDB的正切值是，求此时三棱锥CA1DE的体积20.如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点（1）求证：ACSD；（2）若SD平面PAC，求二面角PACD的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由试卷答案1.B：解：若，则与可能平行也可能相交，故错误；由
7、于m，n不一定相交，故不一定成立，故错误；由面面平行的性质定理，易得正确；由线面平行的性质定理，我们易得正确；故选B2.D考点：棱柱的结构特征 专题：空间角分析：找出BD1与平面ABCD所成的角，计算余弦值解答：解：连接BD，；DD1平面ABCD，BD是BD1在平面ABCD的射影，DBD1是BD1与平面ABCD所成的角；设AB=1，则BD=，BD1=，cosDBD1=；故选：D点评：本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础题3.C考点：球的体积和表面积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积解答：解
8、：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，因为ABC是边长为的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为：1；因为AA1=2且AA1平面ABC，所以外接球的半径为：r=所以外接球的体积为：V=r3=（）3=故选：C点评：本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题4.D考点：平面与平面垂直的性质 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，OP为长方体的对角线，求出OP即可解答：构造棱长分别为a，b，c的长方体，P
9、到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，则a2+b2+c2=32+42+52=50因为OP为长方体的对角线所以OP=5故选：D点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查计算能力，是基础题5.D考点：直线与平面垂直的性质 专题：综合题；探究型分析：根据SD底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证ACSB，根据线面平行的判定定理易证AB平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出ASO是SA与平面SBD所成的角，CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果解答：解：SD底面ABCD，底面ABCD为正方形，
10、连接BD，则BDAC，根据三垂线定理，可得ACSB，故A正确；ABCD，AB平面SCD，CD平面SCD，AB平面SCD，故B正确；SD底面ABCD，ASO是SA与平面SBD所成的角，DSO是SC与平面SBD所成的，而SAOCSO，ASO=CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；ABCD，AB与SC所成的角是SCD，DC与SA所成的角是SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D点评：此题是个中档题考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强6.D考点：点、线、面间的距离计算专题：综合题；空间位置关系与
11、距离；空间角分析：过C做平面PAB的垂线，垂足为E，连接BE，则三角形CEB为直角三角形，根据斜边大于直角边，再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角，能够推导出d2d11解答：解：过C做平面PAB的垂线，垂足为E，连接BE，则三角形CEB为直角三角形，其中CEB=90，根据斜边大于直角边，得CECB，即d21同理，d11再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知，前者大于后者，所以d2d1所以d2d11故选D点评：本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用7.8.(2)(4) 9.10.111. 12.13.考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
12、专题：证明题分析：（I）欲证平面B1AC平面ABB1A1，关键是寻找线面垂直，而AC平面ABB1A1，又AC平面B1AC，满足面面垂直的判定定理；（II）过A1做A1MB1A1，垂足为M，连接CM，A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，然后在三角形A1CM中求出此角的正弦值即可解答：解：（I）证明：由直三棱柱性质，B1B平面ABC，B1BAC，又BAAC，B1BBA=B，AC平面ABB1A1，又AC平面B1AC，平面B1AC平面ABB1A1（II）解：过A1做A1MB1A1，垂足为M，连接CM，平面B1AC平面ABB1A，且平面B1AC平面ABB1A1=B1A，A1M平面B1ACA1CM
13、为直线A1C与平面B1AC所成的角，直线B1C与平面ABC成30角，B1CB=30设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=，直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力14.考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）由已知得DEAC，DE2+EF2=DF2，从而DE平面ABC，由此能证明平面BDE平面ABC（2）由DE平面ABC，得DBE是直线BD与平面ABC所成的角，由此能求出直线BD与平面ABC所成角的正切值解答：（1）证明：在三棱锥P
14、ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点PAAC，PA=AB=6，BC=8，DF=5，DEAC，DE=3，EF=4，DF=5，DE2+EF2=DF2，DEEF，又EFAC=F，DE平面ABC，又DE平面BDE，平面BDE平面ABC（2）DE平面ABC，PA平面ABC，PAAB，PBBC，ABBC，AC=10，由DE平面ABC，得DBE是直线BD与平面ABC所成的角，tanDBE=直线BD与平面ABC所成角的正切值为点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养15.考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的
15、判定；直线与平面所成的角 专题：证明题分析：（1）设AC和BD交于点O，由三角形的中位线的性质可得POBD1，从而证明直线BD1平面PAC（2）证明ACBD，DD1AC，可证AC面BDD1B1，进而证得平面PAC平面BDD1B1 （3）CP在平面BDD1B1内的射影为OP，故CPO是CP与平面BDD1B1所成的角，在RtCPO中，利用边角关系求得CPO的大小解答：（1）证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD1，BD的中点，故POBD1，PO平面PAC，BD1平面PAC，所以，直线BD1平面PAC（2）长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC
16、BD，又DD1面ABCD，则DD1ACBD平面BDD1B1，D1D平面BDD1B1，BDD1D=D，AC面BDD1B1AC平面PAC，平面PAC平面BDD1B1 （3）由（2）已证：AC面BDD1B1，CP在平面BDD1B1内的射影为OP，CPO是CP与平面BDD1B1所成的角依题意得，在RtCPO中，CPO=30CP与平面BDD1B1所成的角为30点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所成的角是解题的难点，属于中档题16.考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（1）根据题意证明ACBD，P
17、DAC，可得AC平面PDB；（2）设ACBD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知AEO为AE与平面PDB所的角，在RtAOE中求出此角即可解答：（1）证明：四边形ABCD是正方形，ACBD，PD底面ABCD，PDAC，又BDPD=DAC平面PDB，（3分）（2）设ACBD=O，连接OE，由（1）知AC平面PDB于O，AEO为AE与平面PDB所的角，（5分）又O，E分别为DB、PB的中点，OEPD，OE=PD，在RtAOE中，OE=PD=AB=AO，AEO=45，（7分）即AE与平面PDB所成的角的大小为45（8分）点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想
18、象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题17.考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题：计算题分析：（）连接OM，BD，由M，O分别为PD和AC中点，知OMPB，由此能够证明PB平面ACM（）由PO平面ABCD，知POAD，由ADC=45，AD=AC=1，知ACAD，由此能够证明AD平面PAC（）取DO中点N，连接MN，由MNPO，知MN平面ABCD过点N作NEAC于E，由E为AO中点，连接ME，由三垂线定理知MEN即为所求，由此能求出二面角MACD的正切值解答：（）证明：连接OM，BD，M，O分别为PD和AC中点，OMPB，OM平面ACM，PBA
19、CM平面，PB平面ACM（4分）（）证明：由已知得PO平面ABCDPOAD，ADC=45，AD=AC=1，ACAD，ACPO=O，AC，PO平面PAC，AD平面PAC.（8分）（）解：取DO中点N，连接MN，则MNPO，MN平面ABCD过点N作NEAC于E，则E为AO中点，连接ME，由三垂线定理可知MEN即为二面角MACD的平面角，MN=1，NE=tanMEN=2.（13分）点评：本题考查直线与平面平行、直线现平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意三垂直线定理的合理运用18.考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角；
20、立体几何分析：（1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PABD与PCBD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；（2）由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出BEO为二面角BPCA的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值解答：（1）PA平面ABCDPABDPC平面BDEPCBD，又PAPC=PBD平面PAC（2）设AC与BD交点为O，连OEPC平面BDEPC平面BOEPCBEBEO为二面角BPCA的平面角BD平面PACBDAC四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3OC=在PACOEC中，又BDOE，二面角BPCA的平面角
21、的正切值为3点评：本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握19.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（1）连接AC1交A1C于点F，由三角形中位线定理得BC1DF，由此能证明BC1平面A1CD（2）利用线面垂直的判定定理证明A1C平面AB1C1，即可证明A1CAB1；（3）证明BDE为二面角ECDB的平面角，点E为BB1的中点，确定DEA1D，再求三棱锥CA1DE的体积解答：（1）证明
22、：连结AC1，交A1C于点F，则F为AC1中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1DF，因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD（3分）（2）证明：直三棱柱ABCA1B1C1中，因为AA1=AC，所以AC1A1C（4分）因为CACB，B1C1BC，所以B1C1平面ACC1A1，所以B1C1A1C（6分）因为B1C1AC1=C1，所以A1C平面AB1C1所以A1CAB1（8分）（3）在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1CD，因为AC=CB，D为AB的中点，所以CDAB，CD平面ABB1A1所以CDDE，CDDB，所以BDE为二面角ECDB的平面角在RtDEB中，由AA1
23、=AC=CB=2，CACB，所以，所以，得BE=1所以点E为BB1的中点（11分）又因为，A1E=3，故，故有DEA1D所以（14分）点评：本题主要考查直线与平面平行、垂直等位置关系，考查线面平行、二面角的概念、求法、三棱锥CA1DE的体积等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题20.考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题 专题：计算题；证明题；压轴题分析：（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO平面ABCD以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系Oxyz，设底面边长为a，求出高SO，从而得到点S与点C和D的坐标，求出向量与
24、，计算它们的数量积，从而证明出OCSD，则ACSD；（2）根据题意先求出平面PAC的一个法向量和平面DAC的一个法向量，设所求二面角为，则，从而求出二面角的大小；（3）在棱SC上存在一点E使BE平面PAC，根据（）知是平面PAC的一个法向量，设，求出，根据可求出t的值，从而即当SE：EC=2：1时，而BE不在平面PAC内，故BE平面PAC解答：证明：（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO平面ABCD以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系Oxyz如图设底面边长为a，则高于是，故OCSD从而ACSD（2）由题设知，平面PAC的一个法向量，平面DAC的一个法向量设所求二面角为，则，所求二面角的大小为30（3）在棱SC上存在一点E使BE平面PAC由（）知是平面PAC的一个法向量，且设，则而即当SE：EC=2：1时，而BE不在平面PAC内，故BE平面PAC点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定和二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强
