1、一选择题（共10小题）1在ABC中，sinA=sinB是ABC为等腰三角形的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2在ABC中，a=x，b=2，B=45，若这样的ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A（2，+） B（0，2） C（2，2） D（，2）3在锐角ABC中，若C=2B，则的范围（）A BC（0，2） D4在ABC中，下列等式恒成立的是（）AcsinA=asinB BbcosA=acosB CasinA=bsinB DasinB=bsinA5已知在ABC中，若cosA+bcosB=ccosC，则这个三角形一定是（）A锐角三角形或钝角三角形 B以a或b
2、为斜边的直角三角形C以c为斜边的直角三角形 D等边三角形6在ABC中，若cosAsinB+cos（B+C）sinC=0，则ABC的形状是（）A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形7在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，则B为（）A B C D8在ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状是（）A等边三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形9ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，b=1，则角B等于（）A B C D或10在ABC中，a=x，b=2，B=45，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）Ax2 Bx2 C D
3、二填空题（共1小题）11（文）在ABC中，A=60，b=1，ABC的面积为，则的值为 三解答题（共7小题）12在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，c=，cos2Acos2B=sinAcosAsinBcosB（1）求角C的大小；（2）求ABC的面积的最大值13在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知bccosA=3，ABC的面积为2（）求cosA的值；（）若a=2，求b+c的值14在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且=（1）求角B的大小；（2）ABC的外接圆半径是，求三角形周长的范围15在ABC中，（2ac）cosB=bcosC（1）求角B的大小
4、；（2）求2cos2A+cos（AC）的取值范围16已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边长，且（2cb）cosA=acosB（1）求角A的大小；（2）若a=2，求ABC面积S的最大值17ABC的三内角A，B，C 所对边长分别为a，b，c，a2b2=bc，AD为角A的平分线，且ACD与ABD面积之比为1：2（1）求角A的大小；（2）若 AD=，求ABC的面积18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a+c）cosB+bcosC=0（1）求角B的大小（2）若b=，a+c=4，求ABC的面积（3）求y=sin2A+sin2C的取值范围必修五 22222练习题参考答案与试
5、题解析一选择题（共10小题）1在ABC中，sinA=sinB是ABC为等腰三角形的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】先根据sinA=sinB时，则有A=B，推断出三角形一定为等腰三角形，进而可知sinA=sinB是ABC为等腰三角形的充分条件；同时ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，则sinA和sinB不一定相等，故可推断出sinA=sinB是ABC为等腰三角形的不必要条件【解答】解：当sinA=sinB时，则有A=B，则ABC为等腰三角形，故sinA=sinB是ABC为等腰三角形的充分条件，反之，当ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，若是A=C6
6、0时，则sinAsinB，故sinA=sinB是ABC为等腰三角形的不必要条件故选A【点评】本题主要考查了必要条件，充分条件，与充要条件的判断解题的时候注意条件的先后顺序2在ABC中，a=x，b=2，B=45，若这样的ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A（2，+）B（0，2）C（2，2）D（，2）【分析】先利用正弦定理表示出x，进而根据B=45可知A+C的值，进而可推断出若有两解，则A有两个值，先看A45时推断出A的补角大于135，与三角形内角和矛盾，进而可知A的范围，同时若A为直角，也符合，进而根据A的范围确定sinA的范围，进而利用x的表达式，求得x的范围，【解答】解：由正弦定理可知，
7、求得x=2sinAA+C=18045=135有两解，即A有两个值这两个值互补若A45则由正弦定理得A只有一解，舍去45A135又若A=90，这样补角也是90度，一解，A不为90所以sinA1x=2sinA2x2故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的运用，解三角形问题考查了学生推理能力和分类讨论的思想的运用3在锐角ABC中，若C=2B，则的范围（）ABC（0，2）D【分析】由正弦定理得，再根据ABC是锐角三角形，求出B，cosB的取值范围即可【解答】解：由正弦定理得，ABC是锐角三角形，三个内角均为锐角，即有 ，0CB=3B解得，又余弦函数在此范围内是减函数故cosB故选A【点评】本题考查了二倍
8、角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质易错点是B角的范围确定不准确4在ABC中，下列等式恒成立的是（）AcsinA=asinBBbcosA=acosBCasinA=bsinBDasinB=bsinA【分析】直接利用正弦定理判断选项即可【解答】解：由正弦定理可知：csinA=asinB，即sinCsinA=sinBsinB，不恒成立bcosA=acosB，即sinBcosA=sinAcosB，不恒成立asinA=bsinB，即sinAsinA=sinBsinB，不恒成立asinB=bsinA，即sinAsinB=sinBsinA，恒成立故选：D【点评】本题考查正弦定理的应用，基本知识的考查5已知
9、在ABC中，若cosA+bcosB=ccosC，则这个三角形一定是（）A锐角三角形或钝角三角形B以a或b为斜边的直角三角形C以c为斜边的直角三角形D等边三角形【分析】利用正弦定理，和差化积公式 可得cos（AB）=cosC，A=B+C，或B=A+C，再由三角形内角和公式可得A=，或B=，即可得答案【解答】解：在ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，则：sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，sin2A+sin2B=sin2C，2sin（A+B）cos（AB）=2sinCcosC，cos（AB）=cosC，AB=C，或BA=C，即：A=B+C，或B=A+C再根据 A+B+
10、C=，可得：A=，或 B=，故ABC的形状是直角三角形故选：B【点评】本题考查正弦定理，和差化积公式，三角形内角和公式，得到cos（AB）=cosC 是解题的关键，属于基本知识的考查6在ABC中，若cosAsinB+cos（B+C）sinC=0，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【分析】根据三角函数的诱导公式进行化简即可【解答】解：cosAsinB+cos（B+C）sinC=0，cosAsinBcosAsinC=0，即cosA（sinBsinC）=0，则cosA=0或sinBsinC=0，即A=或B=C，则ABC的形状等腰或直角三角形，故选：D【点评
11、】本题考查三角形的形状判断，解题的关键是正确三角函数的诱导公式进行化简，属于基础题7在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，则B为（）ABCD【分析】通过正弦定理及=求出tanB的值，进而求出B的值【解答】解：由正弦定理得：，而=，两式相乘得tanB=，由于0B，从而B=故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理的应用属基础题8在ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状是（）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形【分析】通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状【解答】解：因为sinA=2sinBcos
12、c，所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosCsinCcosB=0，即sin（BC）=0，因为A，B，C是三角形内角，所以B=C所以三角形是等腰三角形故选：C【点评】本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形形状的判断，考查计算能力9ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，b=1，则角B等于（）ABCD或【分析】由正弦定理可得，可得，结合ba可得，从而可求B【解答】解：由正弦定理可得，=ba故选B【点评】本题主要考查例正弦定理在解三角形中的应用，注意不要漏掉了大边对大角的考虑，不然会错写完B=10在ABC中，a=x，b=2，B=45，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）
13、Ax2Bx2CD【分析】利用正弦定理和b和sinB求得a和sinA的关系，利用B求得A+C；要使三角形两个这两个值互补先看若A45，则和A互补的角大于135进而推断出A+B180与三角形内角和矛盾；进而可推断出45A135若A=90，这样补角也是90，一解不符合题意进而可推断出sinA的范围，利用sinA和a的关系求得a的范围【解答】解：=2a=2sinAA+C=18045=135A有两个值，则这两个值互补若A45，则C90，这样A+B180，不成立45A135又若A=90，这样补角也是90，一解所以sinA1a=2sinA所以2a2故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用考查了学生分析问题
14、和解决问题的能力二填空题（共1小题）11（文）在ABC中，A=60，b=1，ABC的面积为，则的值为2【分析】先利用面积公式，求出边a=2，再利用正弦定理求解比值【解答】解：由题意，c=2a2=b2+c22bccosA=3a=故答案为2【点评】本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解三解答题（共7小题）12在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，c=，cos2Acos2B=sinAcosAsinBcosB（1）求角C的大小；（2）求ABC的面积的最大值【分析】（1）利用二倍角公式、两角和差的正弦公式化简已知的式子，再由内角
15、的范围求出角C；（2）由余弦定理和条件列出方程化简，利用基本不等式求出ab的范围，代入三角形的面积公式可求出ABC面积的最大值【解答】解：（1）cos2Acos2B=sinAcosAsinBcosB，=，则cos2Acos2B=（sin2Asin2B），即sin2Bcos2B=sin2Acos2A，sin（）=sin（）ab，且A、B（0，），AB，则，解得A+B=，C=AB=； （2）由（1）知，C=，且c=，由余弦定理得，c2=a2+b22abcosC，则3=a2+b2ab，即a2+b2=ab+32ab，解得ab3，ABC的面积S=ab，故ABC的面积的最大值是【点评】本题考查了余弦定理，
16、二倍角公式、两角和差的正弦公式，以及三角形的面积公式，基本不等式求最值问题，注意三角形内角的范围，属于中档题13在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知bccosA=3，ABC的面积为2（）求cosA的值；（）若a=2，求b+c的值【分析】（I）利用三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式即可得出（II）利用余弦定理及其（I）的结论即可得出【解答】解：（）ABC的面积为2，=2，bcsinA=4bccosA=3，3sinA=4cosA，又sin2A+cos2A=1，联立，解得cos2A=cosA0，A为锐角，从而cosA=（）由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA，a=2
17、，由（1）知cosA=，=20，又由（）得bc=5，（b+c）22bc=20（b+c）2=36b+c0，b+c=6【点评】本题考查了三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且=（1）求角B的大小；（2）ABC的外接圆半径是，求三角形周长的范围【分析】（1）已知等式右边利用正弦定理化简，整理后求出cosB的值，即可确定出B的度数；（2）利用正弦定理化简a+b+c，将B度数及表示出的C代入，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出周长的范围【解答】解：（1）
18、已知等式利用正弦定理化简得：=，整理得：sinBcosC=2sinAcosBsinCcosB，即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，sinA0，cosB=，则B=；（2）ABC外接圆半径R=，由正弦定理得：a+b+c=2RsinA+2RsinB+2RsinC=sinA+sinB+sinC=+sinA+sin（A）=+sin（A+），A+，sin（A+）1，则三角形周长范围为（，【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键15在ABC中，（2ac）cosB=bcosC（1）求角B的大
19、小；（2）求2cos2A+cos（AC）的取值范围【分析】（1）利用正弦定理与两角和的正弦即可由（2ac）cosB=bcosC求得cosB=，从而可求ABC中角B的大小；（2）利用二倍角的余弦与三角函数中的恒等变换可将2cos2A+cos（AC）转化为1+sin（2A+），再由0A与正弦函数的单调性即可求2cos2A+cos（AC）的取值范围【解答】解：（1）在ABC中，（2ac）cosB=bcosC，由正弦定理=得：（2sinAsinC）cosB=sinBcosC，整理得：2sinAcosB=sin（B+C）=sin（A）=sinA，sinA0，cosB=，B（0，），B=；（2）B=，故A
20、+C=，C=A，2cos2A+cos（AC）=1+cos2A+cos（2A）=1+cos2Acos2A+sin2A=1+cos2A+sin2A=1+sin（2A+），0A，2A+，1sin（2A+）1，01+sin（2A+）2即2cos2A+cos（AC）的取值范围是（0，2【点评】本题考查正弦定理的应用，突出考查二倍角的余弦与三角函数中的恒等变换，求得2cos2A+cos（AC）=1+sin（2A+）是关键，也是难点，考查转化与运算能力，属于难题16已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边长，且（2cb）cosA=acosB（1）求角A的大小；（2）若a=2，求ABC面积S的最大值
21、【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数（2）利用正弦定理，结合辅助角公式，表示出面积，即可求ABC面积S的最大值【解答】解：（1）利用正弦定理可得（2sinCsinB）cosA=sinAcosB，则2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，所以，故（5分）（2）由得，所以=，ABC面积S的最大值为12分【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键17ABC的三内角A，B，C 所对边长分别为a，b，c，a2b2=bc，
22、AD为角A的平分线，且ACD与ABD面积之比为1：2（1）求角A的大小；（2）若 AD=，求ABC的面积【分析】（1）由a2b2=bc得，由正弦及余弦定理化简整理可得A=2B，由AD为角A的平分线，且SACD：SABD=1：2，解得，由正弦定理可得cosB，即可求得B，A的值（2）由已知可求BD，CD，AC，根据三角形面积公式即可得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）由a2b2=bc得，由正弦及余弦定理得：，（2分）可得：2sinAcosB=sinB+sin（A+B），整理得sin（AB）=sinB，即A=2B，（4分）因为AD为角A的平分线，且SACD：SABD=1：2，所以，所以，（6
23、分）即（8分）（2）所以，（10分） （12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于基本知识的考查18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a+c）cosB+bcosC=0（1）求角B的大小（2）若b=，a+c=4，求ABC的面积（3）求y=sin2A+sin2C的取值范围【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式，即可求角B的大小（2）利用余弦定理求出ac的值，即可求ABC的面积（3）利用倍角公式，结合三角函数的图象和性质即可得到结论【解答】解：（1）（2a+c）c
24、osB+bcosC=0，（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=02sinAcosB+sin（B+C）=0，即2sinAcosB+sinA=0，cosB=，即B=（2）若b=，a+c=4，则b2=a2+c22accosB=（a+c）22ac2accosB，即13=162ac+ac，则ac=3，a+c=4，a=1c=3或a=3，c=1，则ABC的面积S=（3）B=，A+C=，即C=A，0A，则y=sin2A+sin2C=1cos2A+cos（2A）=1cos2A+sin2A=1sin（2A+），0A，2A+，则0sin2A+1，则1sin（2A+）1，即y=sin2A+sin2C的取值范围是y1【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，涉及的公式较多20 / 20
