1、利用均值不等式求最值的方法一均值不等式1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）(3)若，则 (当且仅当时取“=”）3.若，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）3.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）4.若，则（当且仅当时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围
2、、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用一、配凑1. 凑系数例1. 当时，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当且仅当，即x2时取等号。所以当x2时，的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。2. 凑项例2. 已知，求函数的最大值。解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。当且仅当，即时等号成立。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3. 分离例3. 求的值域。解
3、析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当，即时（当且仅当x1时取“”号）。当，即时（当且仅当x3时取“”号）。的值域为。评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换例4. 已知，求的最小值。解法1：不妨将乘以1，而1用a2b代换。当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。解法2：将分子中的1用代换。评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。三、换元例5. 求函数的最大值。解析：变量代换，令，则当t0时，y0当时，当且仅当，即时取等号。故。评注：本题通过换元法使问
4、题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。四、取平方例6. 求函数的最大值。解析：注意到的和为定值。又，所以当且仅当，即时取等号。故。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。练一练1. 若，求的最大值。2. 求函数的最小值。3. 求函数的最小值。4. 已知，且，求的最小值。参考答案：1. 2. 5 3. 8 4. 新课标人教A版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式）典题精讲例1（1）已知0x
5、，求函数y=x(1-3x)的最大值;（2）求函数y=x+的值域.思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x0，因而不能直接使用基本不等式，需分x0与x0讨论.（1）解法一：0x,1-3x0.y=x(1-3x)= 3x(1-3x)2=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等号成立.x=时，函数取得最大值.解法二：0x,-x0.y=x(1-3x)=3x(-x)32=，当且仅当x=-x,即x=时，等号成立.x=时，函数取得最大值.（2）解：当x0时，由基本不等式，得y=x+2=2，当且仅当x=1时，等号成立.当x0时，y=x+=-(-
6、x)+.-x0,(-x)+2,当且仅当-x=,即x=-1时，等号成立.y=x+-2.综上,可知函数y=x+的值域为(-,-22,+).绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x-1时，求f(x)=x+的最小值.思路分析：x-1x+10,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.解：x-1,x+10.f(x)=x+=x+1+-12-1=1.当且仅当x+1=,即x=0时,取得等号.f(x)min=1.变式训练2求函数y=的最小值.思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的
7、方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.解：令t=x2+1，则t1且x2=t-1.y=.t1,t+2=2,当且仅当t=,即t=1时，等号成立.当x=0时，函数取得最小值3.例2已知x0,y0，且+=1，求x+y的最小值.思路分析：要求x+y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用“1的代换”,+=1,x+y=(x+y)(+)=10+.x0,y0,2=6.当且仅当，即y=3x时，取等号.又+=1,x=4,y=12.当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法二：由+=1，得x=.
8、x0,y0,y9.x+y=+y=y+=y+1=(y-9)+10.y9,y-90.2=6.当且仅当y-9=，即y=12时，取得等号，此时x=4.当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法三：由+=1，得y+9x=xy,(x-1)(y-9)=9.x+y=10+(x-1)+(y-9)10+2=16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又+=1,x=4,y=12.当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注
9、意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：+2,即1,6.x+y226=12.x+y的最小值是12.产生不同结果的原因是不等式等号成立的条件是=，不等式等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1，x+y的最小值为18，求a,b的值.思路分析：本题属于“1”的代换问题.解：x+y=(x+y)()=a+b=10+.x,y0,a,b0，x+y10+2=18，即=4.又a+b=10，或例3求f(x)=3+lgx+的最小值（0x1）.思
10、路分析：0x1,lgx0,0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.解：0x1,lgx0,0.-0.(-lgx)+(-)2=4.lgx+-4.f(x)=3+lgx+3-4=-1.当且仅当lgx=,即x=时取得等号.则有f(x)=3+lgx+ (0x1)的最小值为-1.黑色陷阱：本题容易忽略0x1这一个条件.变式训练1已知x，求函数y=4x-2+的最大值.思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x，则4x-50.解：x,4x-50.y=4x-5+3=-(5-4x)+3-2+3=-2+3=1.当且仅当5-4x=,即x=1时等号成立.所以当x=1时
11、，函数的最大值是1.变式训练2当x时，求函数y=x+的最大值.思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=（2x-3）+=-（）+,再求最值.解：y=（2x-3）+=-（）+，当x时，3-2x0，=4，当且仅当，即x=-时取等号.于是y-4+=，故函数有最大值.例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图3-4-1（1）现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少
12、时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？思路分析：设每间虎笼长为x m，宽为y m，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y的最小值.解：（1）设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S，则S=xy.方法一：由于2x+3y2=2,218,得xy，即S.当且仅当2x=3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大.方法二:由2x+3y=18，得x=9-y.x0,0y6.S=xy=(9-y)y= (6-y)y.0y6,6-y0.S2=.当且仅当6-y=y
13、,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m时，可使面积最大.(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.方法一:2x+3y2=2=24,l=4x+6y=2(2x+3y)48,当且仅当2x=3y时,等号成立.由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小.方法二:由xy=24，得x=.l=4x+6y=+6y=6(+y)62=48,当且仅当=y，即y=4时，等号成立，此时x=6.故每间虎笼长6 m,宽4 m时，可使钢筋总长最小.绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：（1）x,y都是正数；（2）积xy（或x+y）为定
14、值；（3）x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.图3-4-2思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.解：设污水处理池的长为x米,则宽为米(0x16,016),12.5x16.于是总造
15、价Q(x)=400(2x+2)+2482+80200.=800(x+)+16 0008002+16 000=44 800,当且仅当x= (x0),即x=18时等号成立,而1812.5,16,Q(x)44 800.下面研究Q(x)在12.5,16上的单调性.对任意12.5x1x216,则x2-x10,x1x2162324.Q(x2)-Q(x1)=800(x2-x1)+324()=8000,Q(x2)Q(x1).Q(x)在12.5,16上是减函数.Q(x)Q(16)=45 000.答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元.问题探究 问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第n层楼时,环境不满意程度为.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度.导思：本问题实际是求n为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可.探究：设此人应选第n层楼,此时的不满意程度为y.由题意知y=n+.n+2,当且仅当n=,即n=时取等号.但考虑到nN*,n21.414=2.8283,即此人应选3楼,不满意度最低.12P
