1、函 数 解 析 式 的 七 种 求 法一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。例1 设是一次函数，且，求解：设，则， 二、配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域 例2 已知 ，求 的解析式解：， ， 三、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式用来处理不知道所求函数的类型，且函数的
2、变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。例3 已知，求解：令，则， ， ， 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法例4已知：函数的图象关于点对称，求的解析式解：设为上任一点，且为关于点的对称点 则 ，解得： ，点在上 ， 把代入得：整理得， 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式例5 设求解 显然将换成，得： 解 联立的方程组，得：例6 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式解 ，又 ，用替换得：，
3、即 ，解 联立的方程组，得， 小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式 例7 已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求解对于任意实数x、y，等式恒成立，不妨令，则有再令 得函数解析式为：例5：已知求。解析：令则 令 则小结：所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什
4、么特殊值，根据题目特征而定。通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式例8 设是定义在上的函数，满足，对任意的N 都有，求 解 ，不妨令，得：，又 令式中的x1，2，n1得：将上述各式相加得：， ， 三、练习（一）换元法1已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式. 2若,求.（二）配变量法3已知, 求的解析式. 4若,求.（三）待定系数法5设是一元二次函数, ,且,求与.6设二次函数满足,且图象在y轴上截距为1,在x轴
5、上截得的线段长为,求的表达式.（四）解方程组法 7设函数是定义(,0)(0,+ )在上的函数,且满足关系式,求的解析式.8（1）若,求. （2）若f(x)+f(1-x)=1+x,求f(x).（五）特殊值代入法9若,且，求值.10已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求（六）利用给定的特性求解析式.11设是偶函数,当x0时, ,求当x0时，的表达式.12对xR, 满足,且当x1,0时, 求当x9,10时的表达式.例6、已知函数对于一切实数都有成立，且。(1)求的值；(2)求的解析式。练 习求函数的解析式例1已知f (x)= ，求f ()的解析式 （ 代入法 / 拼凑法 ）变式1已知f (x)= ， 求f ()的解析式 变式2已知f (x+1)，求f (x)的解析式 例2若f f (x)4x3，求一次函数f (x)的解析式 （ 待定系数法 ）变式1已知f (x)是二次函数，且，求f (x)例3已知f (x)2 f (x)x ，求函数f (x)的解析式 （ 消去法/ 方程组法 ）变式1已知2 f (x) f (x)x1 ，求函数f (x)的解析式变式2已知2 f (x)f 3x ，求函数f (x)的解析式例4设对任意数x，y均有，求f（x）的解析式 （ 赋值法 / 特殊值法）变式1已知对一切x，yR，都成立，且f（0）=1， 求f（x）的解析式
