1、 11的整除性练习题 一、填空题 1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_. 2. 在“2579这个数的内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_. 3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_. 4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_. 5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_. 6. 所有能被3整除的两位数的和是_. 7. 已知一个五位数691能被55整除,所有符合题意的五位数是_. 8. 如果六位数1992能被105整除,那么它的最后两位数是_. 9.228是99的倍数,这个数除以99所得的商是_. 10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行
2、,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_号. 二、解答题 11. 173是个四位数字.数学老师说：“我在这个中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 12在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？ 13在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把
3、两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？ 14试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13. 答 案 1. 已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之. 设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上,3771?9=419. 2. 1 这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是
4、5+7=12,因而,奇数位上数字和2+9应等于12,内应填12-2-9=1. 3. 90 要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990. 4. 9960 解法一: 能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除9990,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960. 解法二: 或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960. 5. 367 先求出1100这100个数的和,再求1
5、00以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和. - =?2?100-?2?33 =5050-1683 =3367 6. 1665 能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下: 12,15,18,21,?，96，99 这一列数共30个数，其和为 12+15+18+?+96+99 =?30?2 =1665 7.910或4691五位数A691B能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除.所以B=0或5.当B=0时,A6910能被11整除,所以-=A+2能被11整除,因此A=9；当B=5时,同样可求出A=4.所以,所求的五位数是96
6、910或46915. 8. 0 因为105=3?5?7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7整除。 根据能被5整除的数的特征，可知这个六位数的个位数只能是0或5两种，再根据能被3整除的数的特征，可知这个六位数有如下七个可能： 199200，199230，199260，199290，199215，199245，199275. 最后用7去试除知,199290能被7整除. 所以,199290能被105整除,它的最后两位数是90. 注此题也可以这样思考:先把后面两个方框中填上0后的199200除以105,根据余数的大小来决定最后两个方框内应填什么. 199200?105=1897?15
7、105-15=90 如果199200再加上90，199290便可被105整除，故最后两位数是90. 9. 316 因为99=9?11,所以4228既是9的倍数,又是11的倍数.根据是9的倍数的特点,这个数各位上数字的和是9的倍数.4228这个六位数中已知的四个数的和是4+2+2+8=16,因此空格中两个数字的和是2或11.我们把右起第一、 三、五位看做奇位，那么奇位上已知两个数字的和是2+2=4，而偶位上已知两个数字的和是4+8=12，再根据是11的倍数的特点，奇位上数字的和与偶位上数的和之差是0或11的倍数，所以填入空格的两个数应该相差3或相差8.从以上分析可知填入的两个数字的和不可能是2,
8、应该是11.显然它们的差不可能是8,应该是3,符合这两个条件的数字只有7和4.填入空格时要注意7填在偶位上,4填在奇位上,即原六位数是 又427284?99=4316，所以所得的商是4316. 10. 1331 第一次报数后留下的同学最初编号都是11倍数; 第二次报数后留下的同学最初编号都是121 的倍数; 第三次报数后留下的同学最初编号都是1331的倍数. 所以最后留下的只有一位同学,他的最初编号是1331. 11. 能被9整除的四位数的各位数字之和能被9整除， 1+7+3+=11+ 内只能填7. 能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得的差能被11整除. -=3+
9、 能被11整除, 内只能填8. 能被6整除的自然数是偶数,并且数字和能被3整除, 而1+7+3+=11+, 内只能填4. 所以,所填三个数字之和是7+8+4=19. 12. 设补上的三个数字组成三位数abc,由这个七位数能被2,5整除,说明c=0; 由这个七位数能被3整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被11整除，从而a+b能被3整除; 由这个七位数又能被11整除，可知-=a-b-1能被11整除; 由所组成的七位数应该最小,因而取a+b=3,a-b=1,从而a=2,b=1. 所以这个最小七位数是1992210. 注小朋友通常的解法是:根据这个七位数分别能被2,3,5,11整除的
10、条件,这个七位数 必定是2,3,5,11的公倍数,而2,3,5,11的最小公倍数是2?3?5?11=330. 这样,1992000?330=6036?120，因此符合题意的七位数应是倍的数,即 1992000+=1992210. 13. 不可能.由于瓦夏原有100张票,最后还有100张票,所以他作了多少次“两换三”,那么也就作了多少次“三换两”,因此他一共出手了2k+3k=5k张票,而1991不是5的倍数. 14. 显然,这样的自然数不可能为两位数,因为如果是两位数的话,则必然具有形式xx,但x?x?2x为偶数,与它的各位数字之和等于13矛盾.现设求之数为三位数xyz.于是由题意x?y?z?1
11、3,且由被11整除的判别法则知x?y?z是11的倍数.又由于所求之数为最小,故有x?y?z=11.两式相减得y?1.于是x?z?12,由于z?9,从而x?3.当x?3时,z?9. 所以,所求的最小自然数是319. 公务员考试技巧练习：数学运算之特殊值以及数字特性法 数学运算部分，历来都被考生看做是浪费时间的题型，而公务员考试的最大特点就是时间紧，任务重，考生往往在规定的时间内做不完题目。很多考生在考场上埋头苦算了一番之后仍无头绪，奈何时间不等人，只好匆匆作罢。公务员考试网专家认为，数学运算的题目虽然变化万千，但是并非无规律可循，这就需要考生在平时备考的时候掌握各种题型的特点，尤其是对题目中关键
12、字的把握，举一反三。下面公务员考试网特发布一篇数学运算练习技巧，供考生参考。本技巧公务员考试备考教材配套教材第一章技巧二。 这一技巧主要是利用数字的一些特殊性以及找到众多数字中的特殊值将题目化繁为简。通常运用这个方法解题，可以做到对数学运算类题目的秒杀。有时候也可以用这个方法排除掉一个或两个答案，降低试题的难度。 一、整除性 整除：能被2整除的必须是偶数；能被3整除的必须各个位上数字的和能被3整除；能被5整除的数字末位是0或者5。这些都是在小学就学习过的，在公务员考试中，仅仅掌握这些是远远不够的，下面着重介绍几个常用的整除方法。 能被2、4、8、5、25、12整除的数的数字特性 能被2整除的数
13、，末位数字能被2整除； 能被4整除的数，末两位数字能被4整除； 能被8整除的数，末三位数字能被8整除。 能被3、整除的数的数字特性 能被3整除的数，各位数字和能被3整除。 能被整除的数的数字特性 能被整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。 能被整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被整除。 能被11 整除的数的数字特性 能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。 能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。 能被1整除的数的数字特性 能被1整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被1整除。 二、奇偶性 奇数奇数=偶数；偶数偶数=偶数；偶数奇数=
14、奇数；奇数偶数=奇数。 任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。 任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。 三、倍数关系 如果ab=mn，则a是m的倍数；b是n的倍数。 如果x y，则x是m的倍数；y是n的倍数。 如果ab=mn，则ab应该是mn的倍数。 四、质合性 200以内质数表 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 101、103、107、109、113、127、131、137、139、149 151、157、163、16
15、7、173、179、181、191、193、197、199 既是偶数又是质数的是2。 公务员考试网列举了一些可以采用特殊值以及数字特性法解答的真题，并对其做出了详细解析。 1、两个派出所某月内共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件，问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件？ A.4 B.60 C.7D.96 数字特性 由于本题涉及到17%这个数字，我们应抓住这个数值的特性来做突破口。 A 由于甲派出所受理的案件中有17%为刑事案件，而17为质数，则甲派出所受理的案件只能是100的倍数，故甲=100，则乙=160-100=60，故
16、乙受理的非刑事案件为60=48。 由于甲的案件总数为100，则乙受理的非刑案件必然小于60. 2、2010年某种货物的进口价格是15元公斤，2011年该货物的进口量增加了一半，进口金额增加了20。问2011年该货物的进口价格是多少元公斤? A. 10 B. 1C. 1 D.4 经济利润问题 由于本题相对比例数据偏多，我们可以采取设特殊值的办法解决。 B 假设2010年进口量为10公斤，则2010年进口金额是150元；又“2011年该货物的进口量增加了一半”，则2011年进口量为15公斤，进口金额是150180元，因此2011年进口价格是1801512元/公斤，故正确答案为B。 3、甲、乙、丙三
17、个工程队的效率比为654，现将A、B两项工作量相同的工程交给这三个工程队，甲队负责A工程，乙队负责B工程，丙队参与A工程若干天后转而参与B工程。两项工程同时开工，耗时16天同时结束。问丙队在A工程中参与施工多少天？ ABCD9 工程问题 A 本题采用特殊值法。题干中给出甲乙丙三个工程队的效率比为654，由于总工作量未知，为方便解题，可大胆假设三个工程队的工作效率分别为6、5、4，然后再列出等式。 根据题意，假设甲、乙、丙三个工程队每天的工作量分别为6、5、4，丙队在A工程中参与施工x天，在B工程中参与天，则有616+4x=516+4，解得x=6。 根据题意，假设A、B两项工程的工作量为6、5、
18、4的最小公倍数120，丙队在A工程中参与施工x天，则有616+4x=120，解得x=6。 由于甲队的工作效率高于乙队，故丙队在A工程参与的时间小于162=8天，排除C、D项；由于甲乙丙共同参与A、B工程，故其工作量之比为6:5:4，且甲队的工 65 作量占A、B工程的15，乙队为15，由于A、B工程的工作量相同，故丙队在A、B工程中15?2?615?2?5 1515的参与时间之比为:=3:5，则丙队在A工程中参与的时间必能被 3整除，分析选项，显然只有A项符合。 在解答工程问题时，特殊值法是最常用的方法，为方便计算，我们通常可以假设总工程量为“1”，也可根据具体情况进行假设，如本题，可假设总工
19、程量为6、5、4的最小公倍数120，从而便于计算。 数的整除专题训练 例题精讲 1、判断47382能否被3或9整除？ 2、判断42559，7295871能否被11整除？ 3、32335能否被7整除？ 专题特训 1、把516至少连续写几次，所组成的数能被9整除？ 2、四位数36AB能同时被2、3、4、5、9整除，则A= B=？ 3、173是一个四位数，在这个中先后填入3个数，所得到的3个四位数依次能被9、6整除，先后填入的3个数分别是几？ 、11 4、九位数87654321能被21整除，中应填几？ 5、 用17七个数字组成不重复数字且能被11整除的七位数，最大的七位数与最小七位的数差是 6、一个五位数a236b能被63整除，这个五位数是多少？ 7、如果六位数1992口口能被105整除，那么它的最后两位数是多少? 8、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数可能是多少？ 9、 一个六位数2356是88的倍数,这个数除以88所得的商可能是多少？ 10、4228是99的倍数,这个数除以99所得的商是多少？
