1、铁面将军：根的判别式【知识要点】1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的情况：(1)当0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当=0时，方程有两个相等的实数根；(3)当0时，方程无实数根.2.根据根的情况，也可以逆推出的情况，这方面的知识主要用来求取值范围等问题.【经典例题】【例1】已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，当m为何非负整数时：(1)方程只有一个实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不等的实数根.【例2】 已知关于x的方程x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足2a-b=0.(1)求a、b的值；(2)已知k为
2、一实数，求证：关于x的方程(-a+b)x2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根.【例3】关于x的方程kx2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.【例4】 已知：a、b、c是ABC的三边，若方程有两个等根，试判断ABC的形状.【例5】已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求m、n的值. 【方法总结】1.求判别式时，应该先
3、将方程化为一般形式.2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为“方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.【经典练习】一、解答题1.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ( ) A.m1 B. m1且m0 C.m1 D. m1且m02.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k的取值范围是 ( ) A.k1 B.k1 C.k13.如果方程组 只有一个实数解，那么m的值为 ( ) A. -3/8 B.3/8 C. -1 D.-3/44.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是 ( ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根
4、 D.没有实数根5.下列一元二次方程中，有实数根的是( ) A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=06.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是 ( ) A.当k=1/2时，方程两根互为相反数 B.当k=0时，方程的根是x=-1 C.当k=1时，方程两根互为倒数 D.当k1/4时，方程有实数根7已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值等于（ ）. AB. C. 或D. 8或-88若方程有两个不相等的实数根，则实数P的取值范围是（ ）. AB. C. D. 9要使关于的方程有实数根，则应满足的条件是（ ）.AB. C.
5、D. 二、填空题1关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则k= .2关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，m= 3一元二次方程，当m= 时，方程有两个相等的实根；当m 时，方程有两个不相等的实根；当m = 时，方程有一个根为04如果关于x的方程有两个实数根，则k得取值范围是 三、解答题1当a是什么实数时，关于x的一元二次方程。（1）有两个相等的实数根？（2）有两个不相等的实数根？（3）没有实数根？2已知关于x的方程和，它们都有实数根，试求实数k的取值范围3已知关于x的方程根的判别式之值为0，1为方程的根，求m、n的值。4
6、已知，如图12-3-1，AD为ABC（ABAC）的角平分线，AD的垂直平分线和BC的延长线交于点E，设CE=a，DE=b，BE=c。求证：关于x的二次方程有两个相等的实根。AFECDB5 当a、b为何值时，方程有实数根。6已知关于x的二次方程与，求证：当时，这两个方程中至少有一个方程有实根。作业一、选择题1.方程x2-3x+1=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D.只有一个实数根2已知方程，上述方程中，有两个相等实数根的方程个数是（ ） A 1B. 2C. 3D. 43已知a、b、c是ABC的三边长，方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实根B. 有两个相等的实根C. 无实根D. 根据ABC的形状确定二、填空题1已知方程，当m 时，方程有两个不相等的实数根，当m 时，方程有两个相等的实根；当m 时，方程无实根。2当m 时，方程有两个不相等的实数根。3当m 时，方程有两个相等的实数根。4若关于x的方程有两个相等的实数根，则ab= 。三、解答题1、证明：对于正数a、b、c，如果方程没有实数根，那么，以a、b、c为边长的线段能够组成一个三角形。2、已知a、b是整数，有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数根，没有实数根，试求a、b之值。
