1、2.2.2 2.2.2 圆周角圆周角第第2 2课时课时 圆周角（圆周角（2 2）湘教版 九年级下册圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半圆周角定理：圆周角定理：OBAC在同圆在同圆(或等圆或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相；中，同弧或等弧所对的圆周角相；相等的圆周角所对的弧也相等相等的圆周角所对的弧也相等.圆周角定理的推论圆周角定理的推论1：ADCOEB1.如图如图(1)，BC是是 O的直径，的直径，A是是 O上任一点，上任一点，你能确定你能确定BAC、BEC、BFC的度数吗的度数吗?BCOA图图(1)2.如图如图(2)，圆周角，圆周角BAC
2、=90，那么它所对的弦，那么它所对的弦BC是直径吗？为什么？是直径吗？为什么？OBCA图图(2)由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论?FE探究探究用于判断某条弦是用于判断某条弦是否是直径否是直径用于构造直角用于构造直角圆周角定理的圆周角定理的推论推论2：半圆（或直径）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。OBCA圆周角定理的圆周角定理的推论推论：推论推论1 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等相等；相等的圆周角所对的弧也相等.推论推论2 半圆（或直径）所对
3、的圆周角是直角；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径.结论结论1.1.如图，以如图，以OO的半径的半径OAOA为直径作为直径作OO1 1,O,O的弦的弦AD AD 交交OO1 1于于C,C,则则(1)OC(1)OC与与ADAD的位置关系是的位置关系是_;(2)OC(2)OC与与BDBD的位置关系是的位置关系是 ;(3)(3)若若OC=2cm,OC=2cm,则则BD=BD=cmcm。OCOC垂直平分垂直平分ADAD平平 行行4C CD DO O1 1A AB BO O 随堂练习随堂练习2.如图如图 AB是是 O的直径的直径,C,D是圆上的两点是圆上的
4、两点,若若ABD=40,则则BCD=.ABOCD4050举举例例例例1 如图如图,BC是是 O的直径，的直径，A ABC=600,点点D在在 O上，上，求求A ADB的度数的度数.OACBD D600解：解：BC为为 O的直径，的直径，BAC=900又又ABC=600C=300ADB=C=300又又AB=AB，ODABC例例2 如图如图,AB是是 O的直径，的直径，BD是弦是弦,延长延长BD到到C,使使AC=AB,BD与与CD的大小有什么关系的大小有什么关系?为什么为什么?解：解：BD=CD，理由如下：，理由如下：连接连接AD，AB是是 O的直径，的直径，ADB=900即即 ADBC又又 AC
5、=ABBD=CD注意：注意：已知直径，连接圆上任一点，可得直角已知直径，连接圆上任一点，可得直角.1.1.如图如图,ABCABC的顶点均在的顶点均在OO上上,AB=4,C=30,AB=4,C=30,求求OO的直径的直径.ACBE解：连接解：连接AO并延长交并延长交 点点E，连接连接BE.AE 的是直径的是直径ABE又又C30E30 AB=4,AE=8拓拓展展O P D B O A C2.如图，如图，AB是是 O的直径的直径AB=10cm,弦弦AC=6cm,ACB的的 平分线交平分线交 O于点于点D.求求 BC,AD,BD 的长的长.106观察观察 如图如图2-24，A,B,C,D是是 O上的四
6、点，顺次连接上的四点，顺次连接A,B,C,D四点，四点，得到四边形得到四边形ABCD，我们把四边形，我们把四边形ABCD称为称为圆内接四边形圆内接四边形，这，这个圆叫作这个四边形的个圆叫作这个四边形的外接圆外接圆.动脑筋动脑筋 在图在图2-24的四边形的四边形ABCD中，两组对角中，两组对角A与与C,C与与D有什么关系？有什么关系？连接连接OB,OD.图图2-24A A所对的弧为所对的弧为BCDBCD，C C所对的弧为所对的弧为BAD,BAD,又又BCDBCD与与BADBAD所对的圆心角之和是周角所对的圆心角之和是周角.360210CA由四边形内角和定理可知：由四边形内角和定理可知：.1800
7、ADCABC由此得到以下结论：由此得到以下结论：圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补证明猜想：证明猜想：如果延长如果延长BC到到E，那么，那么A与与DCE 会有怎样的关系呢？会有怎样的关系呢？DCEBCD 180又又 A BCD 180ADCE.我们把我们把A叫做叫做DCE的内对角。的内对角。因为因为A是与是与DCE相邻相邻的内角的内角DCB的对角的对角.C COOD DB BA AE证明猜想：证明猜想：由此得到以下结论：由此得到以下结论：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角四边形四边形ABCD内接于内接于 OA+C=180，B+ADC=18
8、0 B=CDE DABCEO 圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角内对角结论结论 圆内接四边形定理：圆内接四边形定理：几何语言表达几何语言表达：举举例例例例3 如图如图2-26，四边形，四边形ABCD为为 O的内接四边形，已知的内接四边形，已知BOD=100BOD=1000 0,求求B BAD与与B BCD的度数的度数.1001000 0解解:圆心角圆心角BODBOD与圆周角与圆周角BADBAD所对的弧为所对的弧为BDBD，BOD=100BOD=1000 0.50100212100BODBAD四边形四边形ABCD为为 O的内
9、接四边形，的内接四边形，.1800BCDBAD.13018000BADBCD证明：连结证明：连结ABABECABEC是是OO1 1的内接四边形，的内接四边形，1FADFBADFB是是OO2 2的内接四边形，的内接四边形，E1180EF180CEDF12OOFABECD1例例2 如图如图 O1与与 O2都经过都经过A、B两点两点,经过点经过点A的直线的直线CD与与 O1 交于点交于点C,与与 O2 交于点交于点D.经过点经过点B的直线的直线EF与与 O1 交于点交于点E,与与 O2 交于点交于点F.求证：求证：CEDF两圆相交，先要连接两个交点，得到一条公共弦两圆相交，先要连接两个交点，得到一条
10、公共弦.变式练习变式练习：如图，如图，O1和和 O2都经过都经过A、B两点，过两点，过A点的直线点的直线CD与与 O1交于点交于点C，与，与 O2交于点交于点D，过，过B点的直线点的直线EF与与 O1交于点交于点E，与，与 O2交交于点于点F。猜想：猜想：CEDF,CEDF,仍然成立吗？仍然成立吗？EDCFABO1O21.如图，四边形如图，四边形ABCD为为 O的内接四边形，已知的内接四边形，已知BOD=100，则则BAD=_,BCD=_.501302.如图，四边形如图，四边形ABCD内接于内接于 O，DCE=75，则，则BOD=_.150ABCDOEABCDO 随堂练习随堂练习3.1.圆内接
11、四边形的定义：圆内接四边形的定义：外角等于它的内对角对角互补3.解题时应注意两点：（1）注意观察图形，分清四边形的_和它的_的位置，不要受背景的干扰。（2）证题时，常需添辅助线-两圆的_，构造_。2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的性质：所有顶点都在圆上的四边形。所有顶点都在圆上的四边形。外角外角内对角内对角公共弦公共弦圆内接四边形圆内接四边形小结与复习小结与复习练习练习1.如图，在如图，在 O中，中，AB是直径，是直径，C，D是圆上两点，且是圆上两点，且AC=AD.求证：求证：BC=BD.CADBO2.怎样运用三角板画出如图所示的圆形表面上的直径，并标出圆心，怎样运用三角板画出如图所示的圆
12、形表面上的直径，并标出圆心，试说明画法的理由试说明画法的理由.O OC CD DB BA A3.3.已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCDABCD是圆的内接四边形并且是圆的内接四边形并且ABCDABCD是平行四边形。是平行四边形。求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是矩形。是矩形。4.4.如图如图,AB,AB、CDCD是是O O的两条直径。的两条直径。(1)(1)顺次连结点顺次连结点A A、C C、B B、D D，所得的四边形是什么特殊四边形？为什么？，所得的四边形是什么特殊四边形？为什么？(2)(2)若直径为若直径为10cm10cm，AOD=120AOD=1200 0，求四边形，求四边形ACBDACBD的周长和面积。的周长和面积。(3)(3)四边形四边形ACBDACBD有可能为正方形吗？有可能为正方形吗？若有可能若有可能,当当ABAB、CDCD有何位置关系时有何位置关系时，四边形，四边形ACBDACBD为正方形？为什么？为正方形？为什么？
