1、设设 V 是数域是数域 P 上上 n 维线性空间，维线性空间，1,2,n 是是 V 的一组基，这一节我们来建立线性变换与矩的一组基，这一节我们来建立线性变换与矩阵的关系阵的关系.首先来讨论线性变换、基与基的像之间首先来讨论线性变换、基与基的像之间的关系的关系.空间空间 V 中任一向量中任一向量 可以被基可以被基 1,2,n 线线性表出，即有性表出，即有 =x1 1+x2 2+xn n (1)=x1 1+x2 2+xn n (1)其中系数是唯一确定的，它们就是其中系数是唯一确定的，它们就是 在这组基下的在这组基下的坐标坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在由于线性变换保持线性关系不变，因而在
2、 的像的像 A 与基的像与基的像 A 1,A 2,A n 之间也必之间也必然然有相同的关系：有相同的关系：A =A(x1 1+x2 2+xn n )=x1 A(1)+x2 A(2)+xn A(n)(2)上式表明，如果我们知道了基上式表明，如果我们知道了基 1,2,n 的像，的像，那么线性空间中任意一个向量那么线性空间中任意一个向量 的像也就知道了，的像也就知道了，或者说或者说 结论结论 1 的意义就是，一个线性变换完全被它在的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定一组基上的作用所决定.下面我们进一步指出，基下面我们进一步指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是说向量的像却完全可
3、以是任意的，也就是说综合以上两点，得综合以上两点，得 有了以上的讨论，我们就可以来建立线性变换有了以上的讨论，我们就可以来建立线性变换与矩阵的联系与矩阵的联系.,22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaaaaaaaAAA.212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA 设设 1,2,m 是是 n(n m)维线性空维线性空间间 V 的子空间的子空间 W 的一组基，把它扩充为的一组基，把它扩充为 V 的一组的一组基基 1,2,n.指定线性变换指定线性变换 A 如下：如下：A i =i，当，当 i=1,2,m,A i =0，当，当 i=m+1,n.如此确定的线性变
4、换如此确定的线性变换 A 称为对子空间称为对子空间 W 的一个的一个.不难证明投影不难证明投影 A 在基在基 1,2,n 下的矩下的矩阵是阵是00111m 行行m 列列这样，在取定一组基之后，我们就建立了由数这样，在取定一组基之后，我们就建立了由数域域 P 上的上的 n 维线性空间维线性空间 V 的线性变换到数域的线性变换到数域 P 上上的的 n n 矩阵的一个映射矩阵的一个映射.前面的前面的说明这说明这个映射是单射，个映射是单射，说明这个映射是满射说明这个映射是满射.换换句话说，我们在这二者之间建立了一个双射句话说，我们在这二者之间建立了一个双射.这个这个对应的重要性表现在它保持运算，即有对
5、应的重要性表现在它保持运算，即有 设设 A，B 是两个线性变换，它们在是两个线性变换，它们在基基 1,2,n 下的矩阵分别是下的矩阵分别是 A，B，即，即A(1,2,n)=(1,2,n)A，B(1,2,n)=(1,2,n)B.由由(A +B)(1,2,n)=A(1,2,n)+B(1,2,n)=(1,2,n)A+(1,2,n)B=(1,2,n)(A+B).可知，在可知，在 1,2,n 基下，线性变换基下，线性变换 A +B 的的矩阵是矩阵是A+B.相仿地，相仿地，(A B)(1,2,n)=A(B(1,2,n)=(A(1,2,n)B)=(A(1,2,n)B=(1,2,n)AB.因此，在因此，在 1
6、,2,n 基下，线性变换基下，线性变换 A B 的矩的矩是是 AB.因为因为(k 1,k 2,k n)=(1,2,n)kE.所以数乘变换所以数乘变换 K 在任何一组基下都对应于数量矩在任何一组基下都对应于数量矩阵阵kE.由此可知，数量乘积由此可知，数量乘积 kA 对应于矩阵的对应于矩阵的数数量乘积量乘积 kA.单位变换单位变换 E 对应于单位矩阵，因之等式对应于单位矩阵，因之等式A B=BA=E 与等式与等式AB=BA=E相对应，从而可逆线性变换与可逆矩阵对应，而且相对应，从而可逆线性变换与可逆矩阵对应，而且逆变换与逆矩阵相应逆变换与逆矩阵相应.定理定理 2 说明数域说明数域 P 上上 n 维
7、线性空间维线性空间 V 的全部的全部线性变换组成的集合线性变换组成的集合 L(V)对于线性变换的加法与对于线性变换的加法与数量乘法构成数量乘法构成 P 上一个线性空间，与数域上一个线性空间，与数域 P 上上 n级方阵构成的线性空间级方阵构成的线性空间 P n n 同构同构.利用线性变换的矩阵可以直接计算一个向量的利用线性变换的矩阵可以直接计算一个向量的像像.nnxxxAyyy2121由假设由假设.),(2121nnxxx于是于是nnxxx2121),(AAAAnnxxx2121),(AAAA.),(2121nnxxxA另一方面，由假设另一方面，由假设.),(2121nnyyyA由于由于 1,2
8、,n 线性无关，所以线性无关，所以.2121nnxxxAyyy线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起一般来说，随着基的改变，同一个线性变换就一般来说，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，我为了利用矩阵来研究线性变换，我们有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改们有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的变而改变的.的，的，已知已知(A 1,A 2,A n)=(1,2,n)A，(A 1,A 2,A n)=(1,2,n)B，(1,2,n)=(1,2,n)X.于是于是(A 1,A 2,A n)=A(
9、1,2,n)=A(1,2,n)X =A(1,2,n)X=(A 1,A 2,A n)X=(1,2,n)AX=(1,2,n)X-1AX.=(1,2,n)X-1AX.由此即得由此即得B=X-1AX.定理定理 4 告诉我们，同一个线性变换告诉我们，同一个线性变换 A 在不在不同同基下的矩阵之间的关系基下的矩阵之间的关系.这个基本关系在以后的讨这个基本关系在以后的讨论中是重要的论中是重要的.现在，我们对于矩阵引进相应的定现在，我们对于矩阵引进相应的定义义.相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：面三个性质：这是因为这是因为 A=E-1AE.如果如果 A
10、 B，那么有，那么有 X 使使 B=X-1AX.令令 Y=X-1 就有就有 A=XBX-1=Y-1BY，所以，所以 B A.已知有已知有 X，Y 使使 B=X-1AX，C=Y-1BY.令令Z=XY，就有，就有 C=Y-1X-1AXY=Z-1AZ，因此因此 A C.矩阵的相似对于运算有下面的性质矩阵的相似对于运算有下面的性质.=有了矩阵相似的概念之后，有了矩阵相似的概念之后，可以补充可以补充成：成：设设 V 是数域是数域 P 上一个二维线性空间，线上一个二维线性空间，线性变换性变换 A 在基在基 1=(1,0),2=(0,1)下的矩阵是下的矩阵是.3432A 求线性变换求线性变换 A 在基在基 1,2 下的矩阵下的矩阵 B,其中其中 1=1-2,2=3 1+4 2 ;求求 An(n 为正整数为正整数).由已知条件由已知条件,3432),(),(2121A及及,4131),(),(212141313432413111AXXB41313432113471.6001 由由 B=X-1AX，得，得所以所以An=A A A=(XBX-1)(XBX-1)(XBX-1)n 个个n 个个=X B n X-11413160014131nA=XBX-1.64)1(364)1(463)1(363)1(47111nnnnnnnn 1134600)1(413171nn
