1、1132 多边形的内角和 法国的建筑事务所atelierd创造了这个“abeilles bee pavilion蜜蜂馆情景引入情景引入思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？问题1 三角形内角和是多少度？三角形内角和 是180都是360问题3 猜测任意四边形的内角和是多少度？多边形的内角和一猜测：四边形ABCD的内角和是360问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？猜测与证明猜测与证明方法1：如图，连接AC,所以四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD内角和为1802=360ABCDE方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE，所
2、以该四边形被分成三个三角形，所以四边形ABCD的内角和为1803-AEBAEDCED=1803-180=360ABCD方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE,BE,CE,DE，把四边形分成四个三角形：ABE,ADE,CDE,CBE所以四边形ABCD内角和为：1804-AEBAEDCEDCEB=1804-360=360ABCDEDCABABCDP方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形所以四边形ABCD内角和为180 3 180=360这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解结论：
3、四边形的内角和为360DDCDBDAACDEBABCDEF问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗 内角和为180 3=540 内角和为180 4=720n 边形六边形五边形四边形三角形多边形内角和分割出三角形的个数从多边形的一顶点引出的对角线条数图形边数0n-3 1231234 n-2 n-2 1801180=1802180=360 3180=5404180=720由特殊到一般 分割多边形三角形分割点与多边形的位置关系顶点边上内部外部转化思想总结归纳总结归纳多边形的内角和公式多边形的内角和公式nn 3边形内角和等于边形内角和等于n-2180 例1：如果一个四边
4、形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由解：如图，四边形ABCD中，A C=180ABCD=42 180=360，因为 BD=360AC=360 180=180所以 ABCD如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补典例精析典例精析多边形的外角和二如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？EBCD123 45A互补5180=900EBCD123 45A五边形外角和=360=5=5个平角个平角五边形内角和五边形内角和=5=5180180 52 180结
5、论：五边形的外角和等于360问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？一般地，在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和n边形外角和边形外角和n边形的外角和等于边形的外角和等于360n2 180=360=n个平角个平角-n边形内角和边形内角和=n180 AnA2A3A4123 4nA1思考：n边形的外角和又是多少呢？与边数无关问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？每个内角的度数是每个外角的度数是(2)180,nn 360.n当堂练习当堂练习1判断1当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加 2八角形的外角和与四边形
6、的外角和大 2一个正多边形的内角和为720，那么这个正多边形的 每一个内角等于_1203如下图，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是_米150例5 一个多边形的每个内角与外角的比都 是7:2，求这个多边形的边数解法一：设这个多边形的内角为7,外角为2,根据题意得 72=180，解得=20即每个内角是140，每个外角是40 360 40=9答：这个多边形是九边形还有其他解法吗？解法二：设这个多边形的边数为n,根据题意得解得n=9答：这个多边形是九边形18027,3602n课堂小结课堂小结多边形的内角和
7、内角和计算 公 式n-2 180 n 3的整数 外角和多边形的外角和等于360特别注意：与边数无关正多边形内角=，外角=(2)180nn 360n4一个多边形的内角和不可能是 A1800 B540 C720 D810 D6 一个多边形的内角和为1800，截去一个角后，求得到的多边形的内角和解：180018010，原多边形边数为10212一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，新多边形的边数可能是11，12，13，新多边形的内角和可能是1620，1800，1980【变式题】如图，在四边形ABCD中，A与C互补，BE平分ABC，DF平分ADC，假设BEDF，求证：DCF为直角
8、三角形证明：在四边形ABCD中，A与C互补，ABCADC=180，BE平分ABC，DF平分ADC，CDFEBF=90，BEDF，EBF=CFD，CDFCFD=90，故DCF为直角三角形运用了整体思想例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？解：设这个多边形边数为n，那么 n-2180=360720，解得n=8，这个多边形的每个内角都相等，8-2180=1080，它每一个内角的度数为10808=135典例精析典例精析【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60，求这个多边形的每个内角的度数及边数解：设该正多边形的内角是，外角是y，那么得到一个方程组 解得而任何多边形的外角和是360，那么该正多边形的边数为360120=3，故这个多边形的每个内角的度数是60，边数是三条60,180,yxxy60,120.xy解：EABABCCDE=540，C=100，D=75，E=135，EABABC=540-C-D-E=230AP平分EAB,PAB EAB，同理可得ABP ABC，PPABPBA=180，P=180-PAB-PBA=180 EABABC=180 230=6512121212
