1、四点共圆专题讲义例1如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点求证：E、F、G、H四点共圆例2（1）如图，在ABC中，BD、CE是AC、AB上的高，A=60求证：ED=（2）已知：点O是ABC的外心，BE，CD是高求证：AODE例3如图，在ABC中，ADBC，DEAB，DFAC求证：B、E、F、C四点共圆总结：四点共圆的方法：OA=OB=OCADC=ABC=90ACD=ABD=90B+D=180或A+BCD=180或A=DCEA=D或B=C1_2_ 3_4_例4求证：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积，即图中ABCD+BCAD=ACBD练习1在中，M是AC的中点，P是线段BM上的动
2、点，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出的范围练习2在ABC中，A=30，AB=2，将ABC绕点B顺时针旋转（090），得到DBE，其中点A的对应点是点D，点C的对应点是点E，AC、DE相交于点F，连接BF.（1）如图1，若=6
3、0，线段BA绕点B旋转得到线段BD.请补全DBE，并直接写出AFB的度数；（2）如图2，若=90，求AFB的度数和BF的长；（3）如图3，若旋转（090），请直接写出AFB的度数及BF的长（用含 的代数式表示）.图3图1图2练习3已知，点P是MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使APB+MON=180（1）利用图1，求证：PA=PB；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当SPOB=3SPCB时，求PB与PC的比值；（3）若MON=60，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且PBD=ABO，请借助图3补全图形，并求OP长练习4已
4、知，在ABC中，AB=AC过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN，连接CN（1）当BAC=MBN=90时，如图a，当=45时，ANC的度数为_ ；如图b，当45时，中的结论是否发生变化？说明理由；（2）如图c，当BAC=MBN90时，请直接写出ANC与BAC之间的数量关系，不必证明练习5已知：Rt和RtABC重合，=ACB=90，=BAC=30，现将Rt绕点B按逆时针方向旋转角（6090），设旋转过程中射线和线段相交于点D,连接BD（1）当=60时，过点C，如
5、图1所示，判断BD和之间的位置关系，不必证明；（2）当=90时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；（3）如图3，对旋转角（6090），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由图1 图2 图3练习6在等边ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中CD交直线AP于点E设PAB，ACE，AEC(1) 依题意补全图1； (2) 若15，直接写出和的度数；(3) 如图2，若60120，判断，的数量关系并加以证明；请写出求大小的思路（可以不写出计算结果）图2图1练习7阅读下面材料：小红遇到这样一个问题
6、，如图1：在ABC中，ADBC，BD=4，DC=6，且BAC=45，求线段AD的长小红是这样想的：作ABC的外接圆O，如图2：利用同弧所对圆周角和圆心角的关系，可以知道BOC=90，然后过O点作OEBC于E，作OFAD于F，在RtBOC中可以求出O半径及OE，在RtAOF中可以求出AF，最后利用AD=AF+DF得以解决此题请你回答图2中线段AD的长 .参考小红思考问题的方法，解决下列问题：如图3：在ABC中，ADBC，BD=4，DC=6,且BAC=30，则线段AD的长 .练习8已知：A、B、C三点不在同一直线上(1)若点A、B、C均在半径为R的O上，（i）如图，当A=45，R=1时，求BOC的
7、度数和BC的长；（ii）如图，当A为锐角时，求证：sinA=；(2)若定长线段BC的两个端点分别在MAN的两边AM、AN(B、C均与A不重合)滑动，如图，当MAN=60，BC=2时，分别作BPAM，CPAN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由练习9在四边形ABCD中，ABDC，ABCD，K，M分别在AD，BC上，DAM=CBK求证：DMA=CKB分析：连KM，由DAM=CBK，得到A，B，M，K四点共圆，则DAB=CMK，AKB=AMB，而DAB+ADC=180，得到CMK+KDC=180，因此C，D，K，M四点共圆，所以CMD=DKC，即可得到DMA=CKB解答：解：连KM，DAM=CBK，A，B，M，K四点共圆，DAB=CMK，AKB=AMB，又ABDC，DAB+ADC=180，CMK+KDC=180C，D，K，M四点共圆，CMD=DKC，180-DKC-AKB=180-CMD-AMB，DMA=CKB
