1、单位圆内的三角函数线应用讲练(教师版)山西忻州五寨一中 摄爱忠一、求有关三角函数的定义域例1. 求下列函数的定义域： （1）； （2）.【分析】：首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件利用三角函数线画出角满足条件的终边范围.解：（1）如右图所示： ，.（2）如右图，即.【点评】：三角函数线的主要作用是解三角不等式，比较三角函数值的大小等.二、解三角不等式例2. 已知，求的取值范围. 【分析】：我们可以在单位圆内作出正弦线和余弦线绝对值相等的角，再找出符合条件的的取值范围.解：如右图所示：由，即角正弦线的绝对值和角的余弦线的绝对值相等，则角的终边落在上，满足的角的终边落在阴影部分，. 【点评】
2、：本题主要考查根据正弦线和余弦线作出角的范围，再写出满足条件的角的集合.三、比较三角函数值的大小例3. 比较下列各组数的大小： （1）和； （2）和； 【分析】：我们可以考虑利用三角函数线，根据正弦线，余弦线，正切线来比较它们的大小. 解：（1）如右图所示，在单位圆内作出和的余弦线 和， , . (2)如右下图所示， , ,. 【点评】：本题主要考查利用正弦线，余弦线，正切线来比较三角函数值的大小.四、证明三角不等式例4.利用单位圆内的三角函数线证明： 【分析】：找出角的正余弦线，数形结合易证. 证明：当角的终边在坐标轴上时，正弦线（余弦线）变成一个点， 而余弦线（正弦线）的长等于. .当角的
3、终边落在一个象限内时，如右图所示，利用三角形两边之和大于第三边有：,综上可知有：.五、三角函数线基础练习一 1.设，的正弦线和余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么的值为（ ）. ; ; ; 或 【答案】: B.2.若，且，利用单位圆内的三角函数线得到的取值范围是（ ）.; ; ; 【答案】:D.如右图所示.3.若，则下列不等式中成立的是（ ）. 【答案】C.如图所示： ,而 , ，故选C.4.利用三角函数线，写出满足下列条件的角的集合： （1）； （2）； （3）； （4）【答案】：如下图1.2.3.4所示：（1）； （2）；（3） （4）.六、三角函数线基础练习二1.已知，在单位圆内角
4、的正弦线、余弦线、正切线分别是则它们的大小关系是（ ） ； ；.【答案】B；如上图， 即.2.若是三角形的内角，且，则这个三角形是（ ）. .等边三角形 .直角三角形 .锐角三角形 .钝角三角形【答案】D；当时，由单位圆内的三角函数线知，而， 必为钝角，故选D.3.已知，则（ ）. 【答案】D；，在单位圆内作出的三角函数线如右上图可知，故选D.4.已知，那么下列命题成立的是（ ）.若、是第一象限角，则；.若、是第二象限角，则；.若、是第三象限角，则；.若、是第四象限角，则.【答案】D；如下左图，、的终边分别为,，此时，故错；如上右图，分别为角、的终边，,即，故错.如下右图所示，角、的终边分别为
5、， ,即，,即，故错，选.5.若，且，则的取值范围是（ ）.【答案】. 如右图，显然符合条件的角的终边落在阴影部分内，故一部分为 ，另一部分为； 故.6.若，则的取值范围是（ ）.【答案】：；如右图，可知角的终边落在阴影部分内，其最小的正弦值 为，最大的正弦值小于，故；7.已知点在第一象限内，且，则角的取值范围是（ ）.【答案】：；点在第一象限内，即，如右图所示，.【点评】要准确应用单位圆内的三角函数线求解简单的三角不等式须熟记以下几种情形：8.利用单位圆内的三角函数线写出满足，且的角的集合是（ ）. 【答案】：； 如右图，作出符合条件的正弦线， 故.9.利用三角函数线解下列不等式（组）（1） （2）【答案】：解：（1）要使，即， 如图，作出正切线知：， 不等式的解集为（2）不等式组即为 作出符合条件的角所在的区域如右图所示： 易得，不等式组的解集是：.
