1、2.1.22.1.2求曲线的方程求曲线的方程问题问题引航引航1.什么是坐标法？解析几何研究的问题主要有哪些？什么是坐标法？解析几何研究的问题主要有哪些？2.求曲线方程的一般步骤是什么？求曲线方程的常求曲线方程的一般步骤是什么？求曲线方程的常用方法有哪些？用方法有哪些？1.1.坐标法和解析几何研究的主要问题坐标法和解析几何研究的主要问题(1)(1)坐标法坐标法:借助于借助于_，通过研究方程的性质间接地来研，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法究曲线性质的方法.(2)(2)解析几何研究的主要问题解析几何研究的主要问题:曲线研究方程曲线研究方程:根据已知条件，求出根据已知条件，求出_._.方
2、程研究曲线方程研究曲线:通过曲线的方程，研究通过曲线的方程，研究_._.坐标系坐标系表示曲线的方程表示曲线的方程曲线的性质曲线的性质2.2.求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤(1)(1)建立适当的坐标系，用有序实数对建立适当的坐标系，用有序实数对_表示曲线上任意表示曲线上任意一点一点M M的坐标的坐标.(2)(2)写出适合条件写出适合条件p p的点的点M M的集合的集合P P=_.=_.(3)(3)用坐标表示条件用坐标表示条件p p(M M)，列出方程，列出方程_._.(4)(4)化方程化方程f f(x x，y y)=0)=0为最简形式为最简形式.(5)(5)说明以化简后的方程的解为坐标
3、的点都在说明以化简后的方程的解为坐标的点都在_._.(x x，y y)M M|p p(M M)f f(x x，y y)=0)=0曲线上曲线上1.1.判一判判一判(正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得到的曲线方程也不一样所得到的曲线方程也不一样.(.()(2)(2)化简方程化简方程“|x x|=|=|y y|”|”为为“y y=x x”是恒等变形是恒等变形.(.()(3)(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验.(
4、.()提示提示:(1)(1)正确正确.对于曲线上同一点，由于坐标系不同，该点的对于曲线上同一点，由于坐标系不同，该点的坐标就不一样，因此方程也不一样坐标就不一样，因此方程也不一样.(2)(2)错误错误.|.|x x|=|=|y y|化简的形式为化简的形式为y y=x x.(3)(3)错误错误.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，但是在一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，但是在求解、化简过程中极易产生增解或漏解，检验这一步骤是应该求解、化简过程中极易产生增解或漏解，检验这一步骤是应该有的，故此说法不正确有的，故此说法不正确.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.2.做一做做一
5、做(请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上)(1)(1)在平面直角坐标系内，到原点距离为在平面直角坐标系内，到原点距离为2 2的点的点M M的轨迹方程的轨迹方程是是.(2)(2)直角坐标平面直角坐标平面xOyxOy中，若定点中，若定点A A(1(1，2)2)与动点与动点P P(x x，y y)满足满足=4=4，则点，则点P P的轨迹方程是的轨迹方程是.(3)(3)已知点已知点O O(0(0，0)0)，A A(1(1，-2)-2)，动点，动点P P满足满足|PAPA|=3|=3|POPO|，则点，则点P P的轨迹方程是的轨迹方程是.OP OA 【解析解析】(1)(1)设设M M(x x
6、，y y)，由，由|MOMO|=2|=2，得，得=2=2，所以，所以x x2 2+y y2 2=4.=4.答案答案:x x2 2+y y2 2=4=4(2)(2)由由 =4=4知，知，x x+2+2y y=4=4x x+2+2y y-4=0-4=0，所以所以P P点的轨迹方程是点的轨迹方程是x x+2+2y y-4=0.-4=0.答案答案:x x+2+2y y-4=0-4=022xyOP OA (3)(3)设设P P(x x，y y)，则，则|PAPA|=3|=3|POPO|可化为可化为化简得化简得:8:8x x2 2+2+2x x+8+8y y2 2-4-4y y-5=0.-5=0.答案答案
7、:8 8x x2 2+2+2x x+8+8y y2 2-4-4y y-5=0-5=02222x1y23 xy，【要点探究要点探究】知识点知识点 坐标法与曲线方程的求解坐标法与曲线方程的求解1.1.平面直角坐标系的选取方法平面直角坐标系的选取方法(1)(1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系.(2)(2)若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在的直线为线为x x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系.(3)(3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系若已知
8、两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系.(4)(4)若已知一定点和一定直线，常以点到直线的垂线段的中点为原点，若已知一定点和一定直线，常以点到直线的垂线段的中点为原点，以点到直线的垂线的反向延长线为以点到直线的垂线的反向延长线为x x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系.2.2.求曲线方程时应注意的四个问题求曲线方程时应注意的四个问题(1)(1)在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，首先选取适当的坐在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，首先选取适当的坐标系，通常选取特殊位置为原点，相互垂直的直线为坐标轴标系，通常选取特殊位置为原点，相互垂直的直线为坐标轴.(2)(2)第二步要仔细分析曲
9、线的特征，注意揭示其隐含的条件，抓住第二步要仔细分析曲线的特征，注意揭示其隐含的条件，抓住与曲线上任意一点与曲线上任意一点M M有关的等量关系，列出等式，此步骤有时也可有关的等量关系，列出等式，此步骤有时也可以省略，而直接将几何条件用动点的坐标表示以省略，而直接将几何条件用动点的坐标表示.(3)(3)在第三步化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量在第三步化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免避免“失解失解”或或“增解增解”.(4)(4)第四步的说明可以省略不写，若有特殊情况，可以适当说明，第四步的说明可以省略不写，若有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲
10、线上，可以通过限定方如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中程中x x(或或y y)的取值予以剔除的取值予以剔除.3.3.对求曲线方程的三点说明对求曲线方程的三点说明(1)(1)求曲线方程时，坐标系建立的不同，同一曲线方程也不相同求曲线方程时，坐标系建立的不同，同一曲线方程也不相同.(2)(2)一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x x，y y)，而不设成其他字母而不设成其他字母.(3)(3)求轨迹方程与求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，求轨迹方程与求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程
11、后还要指出方程的曲线是什么图形而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形.【知识拓展知识拓展】轨迹方程与轨迹的辨析轨迹方程与轨迹的辨析【微思考微思考】(1)(1)曲线曲线(或轨迹或轨迹)是轴对称图形或中心对称图形，如何选取坐标系？是轴对称图形或中心对称图形，如何选取坐标系？提示提示:若曲线若曲线(或轨迹或轨迹)为轴对称图形，通常以对称轴为坐标轴为轴对称图形，通常以对称轴为坐标轴(x x轴轴或或y y轴轴)；若曲线；若曲线(或轨迹或轨迹)是中心对称图形，通常以对称中心为原点是中心对称图形，通常以对称中心为原点.(2)(2)求解曲线方程时一定要按各步骤操作吗？求解曲线方程时一定要按各步骤操作
12、吗？提示提示:不一定，若有坐标系，第一步可省略，第二步虽重要，但只不一定，若有坐标系，第一步可省略，第二步虽重要，但只要能把条件转化为方程即可，故也可省略要能把条件转化为方程即可，故也可省略.若化简前后方程的解集若化简前后方程的解集相同，步骤相同，步骤(5)(5)也可省略，如有特殊情况可以适当说明也可省略，如有特殊情况可以适当说明.(3)(3)求得曲线方程后，如何避免出现求得曲线方程后，如何避免出现“增解增解”或或“漏解漏解”？提示提示:可根据曲线与方程的定义从曲线的方程与方程的曲线两个方可根据曲线与方程的定义从曲线的方程与方程的曲线两个方面进行检验面进行检验.【即时练即时练】在在RtRtAB
13、CABC中，中，|ABAB|=2|=2a a(a a0)0)，求直角顶点，求直角顶点C C的轨迹方程的轨迹方程.【解析解析】如图，以如图，以ABAB所在直线为所在直线为x x轴，以线段轴，以线段ABAB的垂直平分线为的垂直平分线为y y轴建立直角坐标系，则轴建立直角坐标系，则A A(-(-a a，0)0)，B B(a a，0).0).设设C C(x x，y y)是平面内的任意一点，连接是平面内的任意一点，连接COCO，则由，则由直角三角形的性质知直角三角形的性质知:|:|OCOC|=|=|ABAB|=|=2 2a a=a a.因而点因而点C C的轨迹是以坐标原点为圆心，以的轨迹是以坐标原点为圆
14、心，以a a为半径的圆为半径的圆(除去与除去与x x轴的交点轴的交点)，其轨迹方程为，其轨迹方程为x x2 2+y y2 2=a a2 2(x xa a).).1212【题型示范题型示范】类型一类型一 直接法求曲线的方程直接法求曲线的方程【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014南昌高二检测南昌高二检测)已知两点已知两点M M(-2(-2，0)0)，N N(2(2，0)0)，点，点P P满足满足 =0=0，则点，则点P P的轨迹方程为的轨迹方程为.(2)(2)一个动点到直线一个动点到直线x x=8=8的距离是它到点的距离是它到点A A(2(2，0)0)的距离的的距离的2 2倍，倍，求动
15、点的轨迹方程求动点的轨迹方程.PM PN 【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)条件条件 =0=0如何转化？如何转化？2.2.题题(2)(2)中条件可用式子如何表示？中条件可用式子如何表示？【探究提示探究提示】1.1.写出向量的坐标和向量的坐标，转化写出向量的坐标和向量的坐标，转化为向量的坐标运算为向量的坐标运算.2.2.设动点设动点P P到直线到直线x x=8=8的距离为的距离为d d，则条件的几何表示为，则条件的几何表示为:d d=2|=2|PAPA|.|.PM PN PMPN【自主解答自主解答】(1)(1)设设P P的坐标为的坐标为P P(x x，y y)，由，由=(-2-=(-2
16、-x x，-y y)(2-(2-x x，-y y)=)=x x2 2-4+-4+y y2 2=0=0，得得x x2 2+y y2 2=4=4，所以点，所以点P P的轨迹方程为的轨迹方程为x x2 2+y y2 2=4.=4.答案答案:x x2 2+y y2 2=4=4PM PN (2)(2)设动点设动点P P坐标为坐标为(x x，y y)，则动点，则动点P P到直线到直线x x=8=8的距离的距离d d=|=|x x-8|-8|，到点到点A A的距离的距离|PAPA|=|=由已知由已知d d=2|=2|PAPA|得得:|x x-8|=2-8|=2 化简得化简得:3 3x x2 2+4+4y y
17、2 2=48.=48.故动点的轨迹方程为故动点的轨迹方程为3 3x x2 2+4+4y y2 2=48.=48.22x2y，22x2y，【方法技巧方法技巧】直接法求动点轨迹的关键及方法直接法求动点轨迹的关键及方法(1)(1)关键关键:建立恰当的平面直角坐标系；建立恰当的平面直角坐标系；找出所求动点满足的几何条件找出所求动点满足的几何条件.(2)(2)方法方法:求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤解时可简化为三大步骤:建系、设点；根据动点满足的几何条建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明件列方程
18、；对所求的方程化简、说明.【变式训练变式训练】(2014(2014宝鸡高二检测宝鸡高二检测)如图，圆如图，圆O O1 1和圆和圆O O2 2的半径的半径都等于都等于1 1，O O1 1O O2 2=4=4，过动点，过动点P P分别作圆分别作圆O O1 1，圆，圆O O2 2的切线的切线PMPM，PNPN(M M，N N分分别为切点别为切点)，使得，使得PMPM=PNPN，建立平面直角坐标系，并求动点，建立平面直角坐标系，并求动点P P的的轨迹方程轨迹方程.2【解析解析】以以O O1 1O O2 2的中点的中点O O为坐标原点，为坐标原点，O O1 1O O2 2所在直线为所在直线为x x轴，建
19、轴，建立直角坐标系如图所示，则立直角坐标系如图所示，则O O1 1(-2(-2，0)0)，O O2 2(2(2，0).0).由已知由已知PMPM=PNPN，得，得PMPM2 2=2=2PNPN2 2，因为圆的半径为因为圆的半径为1 1，所以，所以POPO1 12 2-1=2(-1=2(POPO2 22 2-1)-1)，设设P P(x x，y y)，则，则(x x+2)+2)2 2+y y2 2-1=2(-1=2(x x-2)-2)2 2+y y2 2-1-1，即即(x x-6)-6)2 2+y y2 2=33.=33.故所求动点故所求动点P P的轨迹方程为的轨迹方程为(x x-6)-6)2 2
20、+y y2 2=33.=33.2【补偿训练补偿训练】已知点已知点M M到到x x轴的距离等于到轴的距离等于到y y轴的距离的轴的距离的2 2倍，求倍，求点点M M的轨迹方程的轨迹方程.【解析解析】设动点设动点M M的坐标为的坐标为(x x，y y)，则点，则点M M到到x x轴、轴、y y轴的距离分轴的距离分别为别为|y y|，|x x|.|.由题意知由题意知|y y|=2|=2|x x|，整理得，整理得y y=2 2x x.所以点所以点M M的轨迹方程为的轨迹方程为y y=2 2x x.类型二类型二 代入法求曲线的方程代入法求曲线的方程【典例典例2 2】(1)(2014(1)(2014吉林高
21、二检测吉林高二检测)已知动点已知动点P P在曲线在曲线2 2x x2 2-y y=0=0上移动，上移动，则点则点A A(0(0，-1)-1)与点与点P P连线中点连线中点M M的轨迹方程是的轨迹方程是()A A.y y=2=2x x2 2B B.y y=8=8x x2 2C C.2.2y y=8=8x x2 2-1-1D D.2.2y y=8=8x x2 2+1+1(2)(2)设定点设定点M M(-3(-3，4)4)，动点，动点N N在圆在圆x x2 2+y y2 2=4=4上运动，以上运动，以OMOM，ONON为两为两边作平行四边形边作平行四边形MONPMONP，求点，求点P P的轨迹方程的
22、轨迹方程.【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)若已知若已知P P1 1(x x1 1，y y1 1)，P P2 2(x x2 2，y y2 2)，则线段，则线段P P1 1P P2 2中点中点P P的坐标是什么？的坐标是什么？2.2.题题(2)(2)哪些点的坐标已知，哪些点满足已知曲线的方程，借哪些点的坐标已知，哪些点满足已知曲线的方程，借助什么方法可用这些点表示点助什么方法可用这些点表示点P P的坐标？的坐标？【探究提示探究提示】1.1.据中点坐标公式知中点据中点坐标公式知中点P P的坐标为的坐标为2.2.从题目的已知条件可知，点从题目的已知条件可知，点M M与点与点O O的坐标已知
23、，点的坐标已知，点N N满足已知满足已知曲线的方程，可借助中点坐标公式，曲线的方程，可借助中点坐标公式，OPOP的中点坐标与的中点坐标与MNMN的中点的中点坐标相同表示出点坐标相同表示出点P P的坐标的坐标.1212xxyy().22，【自主解答自主解答】(1)(1)选选C C.设设M M点坐标为点坐标为(x x，y y)，点，点P P坐标为坐标为(x x0 0，y y0 0)，则则2 2x x0 02 2-y y0 0=0.=0.因为因为M M为为APAP的中点，所以得的中点，所以得解得解得 代入代入式得式得2(22(2x x)2 2-(2-(2y y+1)=0+1)=0，即，即2 2y y
24、=8=8x x2 2-1.-1.00 xx2y1y2，00 x2xy2y1，(2)(2)如图所示，设如图所示，设P P(x x，y y)，N N(x x0 0，y y0 0)，则线段则线段OPOP的中点坐标为的中点坐标为 线段线段MNMN的中点坐标为的中点坐标为 因为平行四边形的对角线互相平分，所以因为平行四边形的对角线互相平分，所以 从而从而 由由N N(x x+3+3，y y-4)-4)在圆上，得在圆上，得(x x+3)+3)2 2+(+(y y-4)-4)2 2=4.=4.因此所求因此所求P P点的轨迹方程为点的轨迹方程为(x x+3)+3)2 2+(+(y y-4)-4)2 2=4=4
25、，但应除去两点，但应除去两点:和和 x y()2 2，00 x3 y4().22，00 x3y4xy2222，00 xx3yy4.，9 12()55，21 28().55，【延伸探究延伸探究】若把题若把题(2)(2)中中MNMN的中点记为的中点记为Q Q，试求点，试求点Q Q的轨迹方程的轨迹方程.【解题指南解题指南】采用代入法求解采用代入法求解.【解析解析】设设Q Q(x x，y y)，N N(x x0 0，y y0 0)，所以所以 则则由由N N在圆在圆x x2 2+y y2 2=4=4上运动，上运动，所以所以(2(2x x+3)+3)2 2+(2+(2y y-4)-4)2 2=4.=4.故
26、点故点Q Q的轨迹方程为的轨迹方程为 +(+(y y-2)-2)2 2=1.=1.00 x3x2y4y.2，00 x2x3y2y4.，23(x)2【方法技巧方法技巧】1.1.代入法求轨迹方程的适用条件代入法求轨迹方程的适用条件已知一个点在已知曲线上运动，并带动另一个点已知一个点在已知曲线上运动，并带动另一个点M M运动，在求运动，在求动点动点M M的轨迹方程时，往往用代入法的轨迹方程时，往往用代入法.2.2.代入法求曲线方程的四个步骤代入法求曲线方程的四个步骤【变式训练变式训练】动点动点M M在曲线在曲线x x2 2+y y2 2=1=1上移动，上移动，M M和定点和定点B B(3(3，0)0
27、)连线的中点为连线的中点为P P，求，求P P点的轨迹方程点的轨迹方程.【解析解析】设设P P(x x，y y)，M M(x x0 0，y y0 0)，因为因为P P为为MBMB的中点，所以的中点，所以 即即又因为又因为M M在曲线在曲线x x2 2+y y2 2=1=1上，所以上，所以(2(2x x-3)-3)2 2+4+4y y2 2=1.=1.所以所以P P点的轨迹方程为点的轨迹方程为(2(2x x-3)-3)2 2+4+4y y2 2=1.=1.00 x3x2yy2，00 x2x3y2y，【补偿训练补偿训练】已知直线已知直线l l:2:2x x+4+4y y+3=0+3=0，P P为为
28、l l上的动点，上的动点，O O为坐标为坐标原点，点原点，点Q Q分线段分线段OPOP为为1212两部分，则两部分，则Q Q点的轨迹方程是点的轨迹方程是()A A.2.2x x+4+4y y+1=0+1=0B B.2.2x x+4+4y y+3=0+3=0C C.2.2x x+4+4y y+2=0+2=0D D.x x+2+2y y+1=0+1=0【解析解析】选选A A.设设Q Q点的坐标为点的坐标为(x x，y y)，P P点坐标为点坐标为(x x，y y)，又又Q Q分分OPOP所成的比为所成的比为 ，即，即=所以所以(x x，y y)=()=(x x-x x，y y-y y)，所以所以
29、得得又又P P(x x，y y)在在2 2x x+4+4y y+3=0+3=0上，上，所以所以2 2(3(3x x)+4)+4(3(3y y)+3=0)+3=0，即即2 2x x+4+4y y+1=0.+1=0.故点故点Q Q的轨迹方程是的轨迹方程是2 2x x+4+4y y+1=0.+1=0.121OQQP.2 121x(xx)21y(yy)2，x3xy3y.，【易错误区易错误区】求动点轨迹方程时对动点满足的条件考虑求动点轨迹方程时对动点满足的条件考虑不全致误不全致误【典例典例】已知已知ABCABC中，中，A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为a a，b b，c c，且，且a a
30、，c c，b b成等差数列，成等差数列，a a c c b b，|ABAB|=2|=2，则顶点，则顶点C C的轨迹方的轨迹方程为程为.【解析解析】以直线以直线ABAB为为x x轴，线段轴，线段ABAB的中点为原点，建立直角的中点为原点，建立直角坐标系，如图，则坐标系，如图，则A A(-1(-1，0)0)，B B(1(1，0)0)，设设C C(x x，y y)，因为因为a a，c c，b b成等差数列，成等差数列，所以所以a a+b b=2=2c c，即，即|ACAC|+|+|BCBC|=2|=2|ABAB|，故故 =4=4，化简整理得化简整理得:3:3x x2 2+4+4y y2 2=12.=
31、12.由于由于a ab b，即，即2222x1yx1y2222x1yx1y解不等式得解不等式得x x00，又又C C不能在不能在x x轴上轴上，所以所以x x-2-2，所以所以3 3x x2 2+4+4y y2 2=12(=12(x x00且且x x-2)-2)是所求的轨迹方程是所求的轨迹方程.答案答案:3 3x x2 2+4+4y y2 2=12(=12(x x0b对点对点C的坐标的坐标x的限制而的限制而致误致误3x2+4y2=12(x0)在处遗漏点在处遗漏点C不能在不能在x轴上而致错轴上而致错【防范措施防范措施】重视题目中的隐含条件重视题目中的隐含条件求轨迹方程时虽能写出方程，但易产生增点
32、或丢点现象，求轨迹方程时虽能写出方程，但易产生增点或丢点现象，进而求错进而求错.所以在求动点的轨迹时，一定要注意题目中的限制所以在求动点的轨迹时，一定要注意题目中的限制条件，特别是隐含条件条件，特别是隐含条件.如本例易忽略隐含条件如本例易忽略隐含条件C C不在不在x x轴上而轴上而致错致错.另外三角形的三个顶点不共线；直线斜率不存在的情况；另外三角形的三个顶点不共线；直线斜率不存在的情况；点到坐标轴的距离为点到坐标轴的距离为|y y|或或|x x|也是解题时容易忽视的地方也是解题时容易忽视的地方.【类题试解类题试解】若若ABCABC的边的边ABAB是定长是定长2 2a a，边，边BCBC的中线
33、为定长的中线为定长m m，则顶点则顶点C C的轨迹方程为的轨迹方程为.【解析解析】取取ABAB的中点为原点，直线的中点为原点，直线ABAB为为x x轴，建立直角坐标系，轴，建立直角坐标系，则则A A(-(-a a，0)0)，B B(a a，0)0)，设，设C C(x x，y y)，则边，则边BCBC的中点的中点D D ，由由|ADAD|=|=m m得得 =m m2 2.化简得化简得(x x+3+3a a)2 2+y y2 2=4=4m m2 2.又由点又由点C C在直线在直线ABAB上时不能组成三角形，上时不能组成三角形，故故y y00，因此顶点，因此顶点C C的轨迹方程是的轨迹方程是(x x+3+3a a)2 2+y y2 2=4=4m m2 2(y y0).0).答案答案:(x x+3+3a a)2 2+y y2 2=4=4m m2 2(y y0)(0)(答案不惟一答案不惟一)xa y()22，22xay(a)()22
