1、16.2一元二次方程的解法一元二次方程的解法 第一课时：开平方法、配方法第一课时：开平方法、配方法问题问题1:什么叫做平方根？什么叫做平方根？如果如果 ，那么，那么x叫做叫做a的平方根的平方根.)0(2aax问题问题2:什么叫做开平方运算？什么叫做开平方运算？求一个数平方根的运算叫做开平方运算求一个数平方根的运算叫做开平方运算.问题问题3:根据平方根的意义你能解方程根据平方根的意义你能解方程 吗？吗？252x像这种用直接开平方求一元二次方程解的方法像这种用直接开平方求一元二次方程解的方法叫做叫做开平方法开平方法.能利用直接开平方法解的一元二次方程应能利用直接开平方法解的一元二次方程应满足的形式
2、为满足的形式为_)0(2ppx如：解方程：如：解方程：一元二次方程如果有解，则解的个数一定为一元二次方程如果有解，则解的个数一定为_ 2个个016)1(2x03)2(2x方程方程 解为解为方程方程 无解无解02x021 xx32x思考：对照上面解方程的过程，你认为应思考：对照上面解方程的过程，你认为应怎样解方程怎样解方程5)12(2x如：解方程：如：解方程：用直接开平方法还可以解形如用直接开平方法还可以解形如_方程方程06)1(2)1(2x0)213)(2(2x)0()(2ppnmx从从 实质上实质上pnmxpnmx变形2)(两个一元一次方程一元二次方程转化由以上解方程的经验你能解方程由以上解
3、方程的经验你能解方程 吗？吗？2962 xx(1)3222270(2)3(1)240(3)10251xxxx0148)4(2 yy练一练练一练配方法配方法通过对方程的变形，向形如通过对方程的变形，向形如 的方程转化，我们把这种组成完全平方式的方程转化，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方，用配方求方程的解的变形过程叫做配方，用配方求方程的解得方法称为配方法得方法称为配方法.2()(0)xnm m配方法的步骤：配方法的步骤：1、看方程的二次项系数是否为、看方程的二次项系数是否为1；2、移项：、移项：将常数项移到方程的另一边；将常数项移到方程的另一边；3、配方：、配方：方程两边都加上一次项系
4、数一半的平方；方程两边都加上一次项系数一半的平方；4、左边写成完全平方的形式；、左边写成完全平方的形式；5、开平方：、开平方：将方程化为一元一次方程；（降次）将方程化为一元一次方程；（降次）6、解一元一次方程、解一元一次方程.配成完全平方的形式来解方程的方法叫做配方法配成完全平方的形式来解方程的方法叫做配方法.例题解析例题解析例例1 1 用配方法解方程用配方法解方程23290.xx解：解：方程两边同时除以方程两边同时除以3 3，得，得 配方，得配方，得 开平方，得开平方，得 所以，方程的解为所以，方程的解为2230.3xx222211()3().333xx2128().39x127.33x 1
5、212127,7.3333xx 试一试试一试解下列方程解下列方程：（）；（）；（）；（）xx.yx.222211620 810314404 94解解：（）因因为为 是是的的平平方方根根，所所以以xxx.2116164（）由由得得：因因为为 是是的的平平方方根根，所所以以x.x.x.x.2220 8100 810 810 9（）由由得得：因因为为 是是的的平平方方根根，所所以以yyyy.223144014414412（）由由得得：因因为为 是是 的的平平方方根根，所所以以xxxx.22494494923222)2()21)(2(010)1221xxx（）（练习：考考你的能力：用配方法解方程考考你
6、的能力：用配方法解方程小结小结1 1什么是开平方法？什么是开平方法？凡是形如凡是形如 的方程都可以的方程都可以用开平方的方法求出它的解，这种解法称用开平方的方法求出它的解，这种解法称为开平方法为开平方法.2(0)xm m小结小结2 2把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法方法叫做配方法.注意注意:配方时，配方时，等式两边同时加上的是一次项等式两边同时加上的是一次项系数系数的平方的平方.什么是配方法？什么是配方法？第二课时：公式法第二课时：公式法用配方法解一般形
7、式的一元二次方程用配方法解一般形式的一元二次方程20axbxc 把方程两边都除以把方程两边都除以 20bcxxaa 解解:a移项，得移项，得2bcxxaa 配方，得配方，得22222bbcbxxaaaa 即即222424bbacxaa 用配方法解一般形式的一元二次方程用配方法解一般形式的一元二次方程20axbxcabac224040 当当时时22424bbacxaa 242bbacxa 2422bbacxaa 即即一元二次方程的一元二次方程的求根公式求根公式特别提醒特别提醒20axbx c bbacxa242 一元二次方程一元二次方程的求根公式的求根公式(a0)当当 时，方程时，方程的实根可写
8、为的实根可写为用求根公式解一元二次方程的方法用求根公式解一元二次方程的方法叫做叫做公式法公式法.bac240例题解析例题解析例例2 2 利用求根公式解方程利用求根公式解方程22830.xx解：由于解：由于a=2，b=-8，c=3，所以，所以代入公式，得代入公式，得所以，方程的根是所以，方程的根是224(8)4 2 3400.bac 24(8)40410.2222bbacxa 12410410,.22xx用公式法解一元二次方程的一般步骤：用公式法解一元二次方程的一般步骤：242bbacxa 3、代入求根公式、代入求根公式:2、求出、求出 的值，的值，24bac 1、把方程化成一般形式，并写出、把
9、方程化成一般形式，并写出 的值的值.a b、c c4、写出方程的解：、写出方程的解：12xx、特别注意特别注意:当当 时无解时无解240bac例题解析例题解析例例3 3 用公式法用公式法解方程：解方程：27180 xx解：解：即即：1292xx 1718abc 22474 118121bac （）（）0方程有两个不等的实数根方程有两个不等的实数根242bbacxa 211712121)7(注意注意应当注意，如果求出的一元二次方程的两应当注意，如果求出的一元二次方程的两个实数根相等，我们就说，这个一元二次个实数根相等，我们就说，这个一元二次方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根.一般地，式
10、子一般地，式子 叫做方程叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示它根的判别式，通常用希腊字母表示它.acb4220axbxcacb4220axbxc 242bbacxa 一元二次方程的一元二次方程的求根公式求根公式(a0)当当0时，方程时，方程的实根可写为的实根可写为当当=0时，方程时，方程20axbxc(a0).bxxa 122当当0时，方程时，方程没有实数根没有实数根.20axbxc(a0)例题解析例题解析例例4 4 判断下列判断下列方程是否有实数根方程是否有实数根.有实数根时，两有实数根时，两个实数根是否相等？个实数根是否相等？2(1)5120;xx(2)8(25)25;yy (3)3(3
11、)75(1).x xx例题解析例题解析解解：（1）因为）因为所以方程所以方程 有两个不同的实数根有两个不同的实数根.（2）原方程整理为）原方程整理为 因为因为所以原方程所以原方程 有两个相等的实数根有两个相等的实数根.（3）原方程整理为）原方程整理为 因为因为所以方程所以方程 没有实数根没有实数根.224(5)4 1(12)730,bac 25120 xx21640250.yy 224(4)43216240,bac 224(40)416250,bac 8(25)25yy 23420 xx 3(3)75(1)x xx方程的两根之和与两根之积是什么？方程的两根之和与两根之积是什么？深入研究深入研究
12、解下列方程并观察解下列方程并观察x1+x2，x1 x2与与a，b，c的关系的关系.方程x1x2x1+x2x1 x22x2+x-3=05x2-9x-2=02x2+3x-2=03x2+11x+6=0学生观察方程的特点并归纳总结学生观察方程的特点并归纳总结x1+x2，x1 x2与与a，b，c的关系的关系.一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系acxxabxxxxacbxax212121200,)(则的两根为若方程你会证明吗？你会证明吗？两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系的相反数，两根之积等于常数项除以
13、二次项系数所得的商数所得的商.bbacbbacaa224422 ()axbxca200bbacbbaca22442 22baba xx1222124422Qbbacbbacxxaa ，中中证明证明x x12bbacbbacaa224422 ()()bbaca222244()bbaca22244 aca244 ca 1 1、关于、关于x的一元二次方程的一元二次方程ax2 2+bx+c=0(=0(a0).0).当当a，b满足什么条件时，方程的两根为互为满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？相反数？2 2、m取什么值时，方程取什么值时，方程 x2 2+(2+(2m+1)+1)x+m2 2-4=0-
14、4=0有有两个相等的实数解？两个相等的实数解？小结小结1.1.公式法的判别式是什么？公式法的判别式是什么？24bac 特别注意特别注意:当当 时无解时无解240bac 242bbacxa 2.2.求根公式是什么？求根公式是什么？3.3.根与系数的关系是什么？根与系数的关系是什么？ba ca12xx1 2x x第三课时：因式分解法第三课时：因式分解法定义定义对于某些等号一边为零、另一边的代数式对于某些等号一边为零、另一边的代数式可以作因式分解的一元二次方程，都可以可以作因式分解的一元二次方程，都可以用用“使两个数的乘积为零使两个数的乘积为零”的方法来解决，的方法来解决，这种方法称为因式分解法这种
15、方法称为因式分解法.重点重点 难点难点重点：重点：用因式分解法解一元二次方程用因式分解法解一元二次方程难点：难点：正确理解正确理解AB=0=A=0或或B=0（A、B表示两个因式）表示两个因式）用因式分解法解一元二次方程的步骤用因式分解法解一元二次方程的步骤1 1方程右边化为方程右边化为 .2 2将方程左边分解成两个将方程左边分解成两个 的的乘积乘积.3 3至少至少 因式为零，得到两因式为零，得到两个一元一次方程个一元一次方程.4 4两个两个 就是原方程就是原方程的解的解.零零一次因式一次因式有一个有一个一元一次方程的解一元一次方程的解例题解析例题解析例例5 5 用因式分解法解下列方程：用因式分
16、解法解下列方程：2(3)5(3)0.xx2(1)(3)5(3);xx2(2)(7)3(7)0.yyy解解：（1）移项，得）移项，得因式分解，得因式分解，得 所以所以 (3)(3)50.(3)(8)0.xxxx123,8.xx例题解析例题解析（2）原方程可以化为）原方程可以化为提取公因式，得提取公因式，得所以所以2(7)3(7)0.yy y(7)(7)3 0.(7)(47)0.yyyyy1277,.4yy例题解析例题解析例例6 用因式分解法解下列方程：用因式分解法解下列方程：22(1)(3)(5)15;(2)(4)(4)(31);(3)2240.ttyyyxx 解：解：（1）去括号，整理，得）去
17、括号，整理，得因式分解，得因式分解，得 所以所以（2）移项，作因式分解，得）移项，作因式分解，得所以所以220.tt (2)0.t t 120,2.tt 2(4)(4)(31)0.(4)(4)(31)0.(4)(23)0.yyyyyyyy1234,.2yy 例题解析例题解析（3）运用公式）运用公式 原方程可以变形为原方程可以变形为所以所以 2()()(),xab xabxaxb(6)(4)0.xx126,4.xx 例题解析例题解析例例7 选择适当的方法解下列方程：选择适当的方法解下列方程：22(1)23(1);(2)(4)4(1);(3)22 630.xxx xy yyxx解解：（1）整理，得
18、）整理，得因式分解，得因式分解，得所以所以220.xx(21)0.xx1210,.2xx 例题解析例题解析（2）整理，得）整理，得配方，得配方，得 开平方，得开平方，得所以所以（3）用公式法求解）用公式法求解.因为因为所以所以2840.yy22228444.(4)12.yyy 42 3,42 3.yy 1242 3,42 3.yy2,2 6,3,abc 224(2 6)4230.bac 快速回答：下列各方程的根分别是多少？快速回答：下列各方程的根分别是多少？0)2()1(xx0)3)(2)(2(yy2,021xx3,221yy0)12)(23)(3(xx21,3221xxxx 2)4(1,02
19、1xx小结小结1.什么是因式分解？什么是因式分解？2.因式分解的步骤是什么？因式分解的步骤是什么？对于某些等号一边为零、另一边的代数式可以作因式对于某些等号一边为零、另一边的代数式可以作因式分解的一元二次方程，都可以用分解的一元二次方程，都可以用“使两个数的乘积为使两个数的乘积为零零”的方法来解决，这种方法称为因式分解法的方法来解决，这种方法称为因式分解法.（1 1）方程右边化为零）方程右边化为零.（2 2）将方程左边分解成两个）将方程左边分解成两个一个因式一个因式的乘积的乘积.（3 3）至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程）至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程.（4 4）两个一元一次方程的解就是原方程的解）两个一元一次方程的解就是原方程的解.
