1、回首往事：回首往事：1.什么样的图形是全等三角形？什么样的图形是全等三角形？2.判断三角形全等至少要有几个条件？判断三角形全等至少要有几个条件？答：至少要有三个条件答：至少要有三个条件边边边公理边边边公理：有有三边三边对应相等的两个三角形全等。对应相等的两个三角形全等。边角边公理边角边公理：有有两边两边和它们和它们夹角夹角对应相等的两个对应相等的两个三角形全等。三角形全等。ABCABC问题：问题：如果已知一个三角形的如果已知一个三角形的两角及一边两角及一边，那，那么有几种可能的情况呢？么有几种可能的情况呢？答：答：角边角（角边角（ASA）角角边（角角边（AAS）先任意画出一个先任意画出一个AB
2、C，再画一个，再画一个A/B/C/，使使A/B/=AB，A/=A，B/=B(即使两角和它们的夹边对应相等即使两角和它们的夹边对应相等)。把画好的把画好的A/B/C/剪下，放到剪下，放到ABC上，它们全等吗？上，它们全等吗？探究探究5B BA AC C画法：画法：1、画、画A/B/AB；2、在、在 A/B/的同旁画的同旁画DA/B/=A，EB/A/=B，A/D，B/E交于点交于点C/。通过实验你发现了什么规律？通过实验你发现了什么规律？ACBABCED已知：任意已知：任意 ABC，画一个，画一个 A/B/C/，使使A/B/AB，A/=A，B/=B：A/B/C/就是所要画的三角形。就是所要画的三角
3、形。CDAABEA=A（已知已知）AB=AC（已知已知）B=C（已知已知）在在ABE和和ACD中中 ABE ACD（ASA）用数学符号表示用数学符号表示:两角两角和它们的和它们的夹边夹边对应相等的两个三角形全对应相等的两个三角形全等等 (可以简写成可以简写成“角边角角边角”或或“ASA”）。）。探究反映的规律是：探究反映的规律是：如图，应填什么就有如图，应填什么就有 AOC BOD:A=B,（已知）（已知）,1=2,（已知）（已知）AOC BOD(ASA)OACDBAO=BO 两角两角和它们的和它们的夹边夹边对应相等的两个三角形全对应相等的两个三角形全等等 (可以简写成可以简写成“角边角角边角
4、”或或“ASA”）。）。12例题讲解例题讲解例例1.已知：点已知：点D在在AB上，点上，点E在在AC上，上，BE和和CD相交相交于点于点O，AB=AC，B=C。求证：求证：(1)AD=AE;(2)BD=CE。证明证明：在在ADC和和AEB中中A=A（公共角公共角）AC=AB（已知已知）C=B（已知已知）ACD ABE（ASA）AD=AE（全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等）又又AB=AC（已知已知）BD=CEDBEAOC1.如图如图,O是是AB的中点，的中点，A=B，AOC与与BOD全等吗全等吗?为什么？为什么？OABCD两角和夹边两角和夹边对应相等对应相等BABOAOBODAOC
5、BODAOCDD)(ASABODAOCDD和(已知已知)(中点的定义中点的定义)(对顶角相等对顶角相等)解：解：在在 中中2.如图，点如图，点B、E、C、F在一条直线上，在一条直线上，ABDE，ABDE，AD 求证：求证：BE=CFFEDCBA 小明踢球时不慎把一块小明踢球时不慎把一块三角形玻璃打碎为两块三角形玻璃打碎为两块,他是他是否可以只带其中的一块碎片否可以只带其中的一块碎片到商店去到商店去,就能配一块于原来就能配一块于原来一样的三角形玻璃呢一样的三角形玻璃呢?如果可以如果可以,带哪块去合适带哪块去合适呢呢?为什么为什么?(2)(1)CBEAD(1)(2)探究探究6 如下图，在如下图，在
6、ABC和和DEF中中,A D,BE,BCEF,ABC与与DEF全等吗？能利用全等吗？能利用角边角角边角条件证明你的结论吗？条件证明你的结论吗？E EF FD DB BA AC C在在ABC和和DEF中中,A+B+C1800,D+E+F=1800,A D,BE,CF,BE,BCEF,CF,ABC DEF（ASA）CDAABEAE=AD（已知已知）A=A（已知已知）B=C（已知已知）在在ABE和和ACD中中 ABE ACD（AAS）用数学符号表示用数学符号表示:两个角两个角和其中和其中一个角的对边一个角的对边对应相等的两个三角对应相等的两个三角形全等形全等（可以简写成（可以简写成“角角边角角边”或
7、或“AASAAS”）。）。探究反映的规律是：探究反映的规律是：例例:如图如图,O是是AB的中点，的中点，C=D，AOC与与BOD全等吗全等吗?为什么？为什么？OABCD两角和对边两角和对边对应相等对应相等BOAOBODAOC BODAOCDDBODAOCDD和(已知已知)(中点的定义中点的定义)(对顶角相等对顶角相等)解：解：在在 中中C=D(AAS)到目前为止到目前为止,我们一共探索出判定三我们一共探索出判定三角形全等的四种规律，它们分别是角形全等的四种规律，它们分别是:1 1、边边边、边边边 (SSS)3 3、角边角、角边角 (ASA)4 4、角角边、角角边 (AAS)2 2、边角边、边角
8、边 (SAS)练一练：练一练：1、如图、如图ACB=DFEACB=DFE，BC=EFBC=EF，根据，根据SAS,ASASAS,ASA或或AASAAS，那么应补充一个直接条件那么应补充一个直接条件 -，（写出一个即可），才能使（写出一个即可），才能使ABCABCDEF.DEF.2、如图，、如图，BE=CD，1=2，则，则AB=AC吗？为什么？吗？为什么？ABCDEFAC=DFAC=DF或或B=EB=E或或A=DA=DCAB12EDAB=ACAB=AC相等相等知识应用知识应用1.如图，要测量河两岸相对的两点如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以的距离，可以在在AB的垂线的垂线BF上取两点
9、上取两点C，D，使，使BC=CD，再定出，再定出BF的垂线的垂线DE，使，使A，C，E在一条直线上，在一条直线上，这时测得这时测得DE的长就是的长就是AB的长。为什么？的长。为什么？ABCDEF在在ABC和和EDC中中,B=EDC=900 BCDC,12,ABC DEF（ASA）ABED.12证明：证明：2.2.如图如图,AB,ABBC,ADBC,ADDC,1=2.DC,1=2.求证求证:AB=AD.:AB=AD.知识应用知识应用在在ABC和和ADC中中,B=D,12,ACAC,ABC ADC（AAS）ABAD.证明：证明：ABABBC,ADBC,ADDC,DC,B=D=900,练练 习习 A
10、CB=DEFAB=DEAB=DE、AC=DFA=D1 1、边边边、边边边 (SSS)3 3、角边角、角边角 (ASA)4 4、角角边、角角边 (AAS)2 2、边角边、边角边 (SAS)(1)图中的两个三角形全等吗图中的两个三角形全等吗?请说明理由请说明理由.全等全等 因为两角和其中一角的对边对应相等的两因为两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等个三角形全等.3535110110ABCDDBCABCDABCBC DBCABCDD()AASABCDBCDD和解：在中(已知已知)(已知已知)(公共边公共边)练练 习习相等吗？与，那么且，于，于中，）已知（DCBDCFBEFADCFEADBEA
11、BCD2DABCEFBEADCFAD，证明：90(BEDCFD垂直的定义）中和在CDFBDEDDBEDCFD（已证）BDECDF 对顶（角相等）BECF（已知）BDECDF AASD D（）BDCD全等三角形对应（边相等）(3)如图，如图，AC、BD交于点交于点O,AC=BD,AB=CD.求证：求证：BC)1(ODOA)2(ABCDO证明证明:(1)连接连接AD,在在ADC和和DAB中中AD=DA（公共边公共边）AC=DB（已知已知）DC=AB（已知已知）ADC DAB（SSS）C=B（全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等）(2)在在 AOB 和和 DOC中中 B=C（已证已证）1=2
12、（对顶角相等对顶角相等）DC=AB（已知已知）DOC AOB（AAS）OA=OD（全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等）12练练 习习综合应用综合应用1.如图，点如图，点E在在AB上，上，1=2，3=4，那么，那么CB等于等于DB吗？为什吗？为什么？么？EDCBA4321-全等三角形判定全等三角形判定2.2.如图，如图，说出说出ABAB 的理由。的理由。3.3.如图，如图，AB=DEAB=DE，AF=CDAF=CD，EF=BCEF=BC，A AD D，试说明：试说明：BFCE BFCE ABCDEF 4.如图，在如图，在AFD和和BEC中，点中，点A、E、F、C在在同一直线上，有下列四
13、个论断：同一直线上，有下列四个论断：AD=CB，AE=CF，BD，AC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。编一道数学问题，并写出解答过程。ABCDEF5.如图，在如图，在ABC和和BAD中，中，BC=AD，请你，请你再补充一个条件，使再补充一个条件，使ABC BAD你补充的你补充的条件是条件是 .DABCABCEF6.已知：如图，已知：如图，AEF 与与ABC中，中，E=B,EF=BC.请你添加一个条件，请你添加一个条件，使使AEF ABC.对于添加条件使两三角形全等的问题，当已有两个对于添加条件使两三角形全等的问题
14、，当已有两个条件（包括隐含条件）时，如何思考？条件（包括隐含条件）时，如何思考？7.在在ABC中中,ACB=90,AC=BC,直线直线MN经过经过点点C,ADMN于点于点D,BE MN于点于点E,（1）当直线）当直线MN旋转到如图旋转到如图(1)所示的位置时所示的位置时,猜想猜想线段线段AD、BE、DE的数量关系，并证明你的猜想。的数量关系，并证明你的猜想。NMEDCBA图图(1)7.在在ABC中中,ACB=90,AC=BC,直线直线MN经经过点过点C,ADMN于点于点D,BE MN于点于点E,（2）当直线）当直线MN旋转到图旋转到图(2)的位置时的位置时,猜想线段猜想线段AD,BE,DE的数
15、量关系，并证明你的猜想的数量关系，并证明你的猜想NMEDCBA图图(2)7.在在ABC中中,ACB=90,AC=BC,直线直线MN经经过点过点C,ADMN于点于点D,BE MN于点于点E,（3）当直线）当直线MN旋转到图旋转到图(3)的位置时的位置时,猜想线段猜想线段AD,BE,DE的数量关系，并证明你的猜想的数量关系，并证明你的猜想NMEDCBA图图(3)（2010江苏南通）如图，已知：点江苏南通）如图，已知：点B、F、C、E在一条直在一条直线上，线上，FB=CE，AC=DF能否由上面的已知条件证明能否由上面的已知条件证明ABED？如果能，请给出证？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使添加到已知条件中，使ABED成立，并给出证明成立，并给出证明供选择的三个条件（请从其中选择一个）：供选择的三个条件（请从其中选择一个）：AB=ED；BC=EF；ACB=DFEABDEFC
