1、2.7 2.7 正方形正方形知识回顾知识回顾:定义定义 边边角角对对 角角 线线对对 称称 性性平行平行四边四边形形 矩矩 形形 菱菱 形形 几种特殊四边形的定义及性质几种特殊四边形的定义及性质 对边平行对边平行 且相等且相等对边平行对边平行 且相等且相等对边平行对边平行，四边都，四边都相等相等对角相等，对角相等，邻角互补邻角互补 四个角四个角都是直角都是直角对角相等，对角相等，邻角互补邻角互补对角线对角线互相平分互相平分对角线相等对角线相等且互相平分且互相平分对角线互相对角线互相垂直平分，垂直平分，每条对角线每条对角线平分一组对平分一组对角角中心对中心对称图形称图形轴对称轴对称图形、图形、中
2、心对中心对称图形称图形 轴对称轴对称图形、中图形、中心对称图心对称图形形两组对边两组对边分别平行分别平行的四边形的四边形有一个角有一个角是直角的是直角的平行四边平行四边形形有一组邻有一组邻边相等的边相等的平行四边平行四边形形 四边形四边形两组对边分别平行两组对边分别平行 平行四边形平行四边形 矩矩 形形 菱菱 形形 有一个角是直角有一个角是直角 一组邻边一组邻边相等相等矩 形正方形矩形怎样变化后就成了正方形呢矩形怎样变化后就成了正方形呢?探究（一）探究（一）菱形怎样变化后就成了正方形呢菱形怎样变化后就成了正方形呢?正方形正方形探究小结探究小结矩矩 形形正方形正方形邻边邻边相等相等我发现：我发现
3、：一组一组邻边邻边相等的相等的矩形矩形 叫正方形叫正方形 菱菱 形形一个角一个角是直角是直角正方形正方形我发现：我发现：有一个角是有一个角是直角直角的的菱形菱形叫正方形叫正方形正方形定义正方形定义有一组有一组邻边邻边相等且有一个角是相等且有一个角是直角直角的的平行四边形平行四边形是正方形是正方形(可从平行四边形、矩形、菱形入手判别）可从平行四边形、矩形、菱形入手判别）有一组邻边相等有一组邻边相等且且有一个角是直角有一个角是直角的的平行四边平行四边形形叫做正方形。叫做正方形。定义法定义法菱形法菱形法矩形法矩形法有一个角是有一个角是直角直角的的菱形菱形是正方形。是正方形。有一组有一组邻边邻边相等的
4、相等的矩形矩形是正方形。是正方形。讨论总结讨论总结:正方形有那些性质正方形有那些性质?正方形是特殊的平行四正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。是特殊的菱形。正方形的性质正方形的性质=观察思考：正方形是中心对称图形吗观察思考：正方形是中心对称图形吗?性性 质质边边角角对角线对角线对称性对称性图图形形语语言言 文文字字语语言言 符符号号语语言言ACDBACDBACDBO对边平行，对边平行，四条边都相四条边都相等，等，四四 个个 角角 都是直角都是直角对角线对角线相等相等且互且互相相垂直平分垂直平分，每，每条对角线平分一条对角线平分一组对角组对角四边形四
5、边形ABCD是正方形是正方形ABCD ADBC,AB=BC=CD=AD四边形四边形ABCD是正方形是正方形A=B=C=D=90四边形四边形ABCD是正是正方形方形ACBD,AC=BD,OA=OB=OC=OD轴对称图形轴对称图形，有，有4条对称轴，条对称轴，也是也是 中心中心对称图形对称图形正方形的性质正方形的性质:OABCD边边:角角：对角线：对角线：对称性对称性：对边平行；对边平行；四条边都相等；四条边都相等；四个角都是直角；四个角都是直角；对角线相等；对角线相等；对角线互相垂直；对角线互相垂直；对角线互相平分；对角线互相平分；每条对角线平分一组对角；每条对角线平分一组对角；正方形是中心对称
6、图形，对角线的交点是它的正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；正方形是轴对称图形，两条对角线对称中心；正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每组对边中点的直线都是它所在直线，以及过每组对边中点的直线都是它的对称轴；的对称轴；平行四边形平行四边形矩矩形形菱菱形形正正方方形形正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？-下列说法对吗下列说法对吗?（1）四个角都相等的四边形是正方形）四个角都相等的四边形是正方形（2）四条边都相等的四边形是正方形）四条边都相等的四边形是正方形（3）对角线相等的菱形是正方形）对角线相等的菱形是正
7、方形（4）对角线互相垂直的矩形是正方形）对角线互相垂直的矩形是正方形（5）对角线垂直且相等的四边形是正方形）对角线垂直且相等的四边形是正方形（6）四边相等，有一角是直角的四边形是正方形）四边相等，有一角是直角的四边形是正方形 (7)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰 直角三角形直角三角形 (8)正方形是轴对称图形正方形是轴对称图形,一共有一共有2条对称轴条对称轴 求证求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成正方形的两条对角线把这个正方形分成 四个全等的等腰直角三角形四个全等的等腰直角三角形.这是一道文字证明题这是一道文字证明题,该怎么做该怎
8、么做?你会做吗你会做吗?第一步第一步:根据题意画出图形根据题意画出图形第二步第二步:写出已知写出已知第三步第三步：写出求证写出求证第四步第四步:进行证明进行证明ADCBO 已知已知:如图如图,四边形四边形ABCD是正方形是正方形,对对 角线角线AC、BD相交于点相交于点O.求证求证:ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形是全等的等腰直角三角形.证明证明:四边形四边形ABCD是正方形是正方形,AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO.ABO、BCO、CDO、DAO都都是等腰直角三角形是等腰直角三角形,并且并且 ABO BCO CDO DAO分析分析:利用正方形的性质利用正方形的
9、性质,对角线相等且互相垂直平对角线相等且互相垂直平分分,每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角.平分平分可以产生可以产生线段等量线段等量关系关系,垂直垂直可以产生可以产生直角直角,于是可以得到四个全等的等于是可以得到四个全等的等腰直角三角形腰直角三角形.又又 2+3=90，1=2.AED CFD（ASA）.DE=DF.图图2-59如图如图2-59，点，点E是正方形是正方形ABCD的边的边AB上任上任意一点，过点意一点，过点D作作DFDE交交BC的延长线的延长线于点于点F.求证：求证：DE=DF.例例2证明证明 四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，AD=CD，A=DCF=90.DFDE
10、，EDF=90，即即1+3=90，ADCBO 正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？拓展讨论拓展讨论:结论：结论：分成八个等腰直角三角形，分别是分成八个等腰直角三角形，分别是ABC、ADC、ABD、BCD；AOB、BOC、COD、DOA.1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A、四个角相等、四个角相等.B、对角线互相垂直平分、对角线互相垂直平分.C、对角互补、对角互补.D、对角线相等、对角线相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四条边相等、四条边相等.B、
11、对角线互相垂直平分、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角、对角线平分一组对角.D、对角线相等、对角线相等.BD比一比，看谁解答下列问题更快！1.下列说法正确的是（下列说法正确的是（）A.四边相等的四边形是正方形四边相等的四边形是正方形B.四个角都是直角的四边形是正方形四个角都是直角的四边形是正方形C.有一个角是直角的平行四边形是正方形有一个角是直角的平行四边形是正方形D.四个角都是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形四个角都是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形2.下列说法错误的是（下列说法错误的是（）A.平行四边形是轴对称图形平行四边形是轴对称图形 B.菱形有两条对称轴菱形有两条对称轴
12、C.矩形的对角线交点是它的对称中心矩形的对角线交点是它的对称中心 D.正方形有四条对称轴正方形有四条对称轴DA比一比，看谁解答下列问题更快！3.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）（A）四条边相等）四条边相等 （B）对角线互相垂直且平分）对角线互相垂直且平分（C）对角线平分一组对角（）对角线平分一组对角（D）对角线相等）对角线相等4.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）（A）四个角相等）四个角相等 （B）对角线互相垂直且平分）对角线互相垂直且平分 （C）对角线相等）对角线相等 （D）对角互补）对角互补5.已知正方形的一
13、边长为已知正方形的一边长为1cm，则它的周长为，则它的周长为_，面积为面积为_，对角线长为，对角线长为_；6.已知正方形的对角线长为已知正方形的对角线长为2cm，则它的边长为，则它的边长为_;4cm1cm2DBcm2cm2思考：正方形的判定方法有哪些？思考：正方形的判定方法有哪些？例3：已知：分别延长等腰直角三角形OAB的两条直角边AO和BO，使OC=OA，OD=OB.求证：四边形ABCD是正方形。证明证明 四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，AB=BC=CD=DA.又又 AA=BB=CC=DD，DA=AB=BC=CD.又又 A=B=C=D=90，AAD BBA CCB DDC.图图2-6
14、0例例4如图如图2-60，已知点已知点A，B，C，D分别是分别是正方形正方形ABCD 四条边上的点，四条边上的点，并且并且AA=BB=CC=DD.求证：四边形求证：四边形 是正方形是正方形.ABCD AD=BA=CB=DC.四边形四边形 是菱形是菱形.ABCD又又 1=3，1+2=90，2+3=90.DAB=90.四边形四边形 是正方形是正方形.ABCD变式训练：已知：如图，ABC中，ACB=90，CD平分ACB，DEBC于E，DFAC于F求证：四边形CFDE是正方形1.已知正方形的一条对角线长为已知正方形的一条对角线长为4cm，求它的边长和面积求它的边长和面积.答：边长为答：边长为 面积为面
15、积为 8 cm2.2 2 cm ,练习练习2.如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个 矩形一定是正方形吗？为什么？矩形一定是正方形吗？为什么？答：一定是答：一定是.由两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得由两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得此矩形的四条边都相等，即为正方形此矩形的四条边都相等，即为正方形.解析解析ABCD是正方形，是正方形，AD=AB，BAD=90.DEAG，DEG=AED=90.ADE+DAE=90.又又BAF+DAE=BAD=90，ADE=BAF.BFDE，AFB=DEG=AED.在在ABF和和DAE中，中，ABF DA
16、E(AAS).BF=AE.AF=AE+EF，AF=BF+EF.=AFBAEDADEBAFAD AB.,如图，如图，ABCD是正方形，点是正方形，点G是是BC上的任意一上的任意一点，点，DEAG于于E，BFDE，交，交AG于于F.求证：求证：AF=BF+EF.中考中考 试题试题小结小结1、正方形定、正方形定义义有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形2、正方形有那些性质、正方形有那些性质对边平行，四条边都相等对边平行，四条边都相等四个角都是直角四个角都是直角对角线相等且互相垂直平分，对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角每条对
17、角线平分一组对角边边：角：角：对角线：对角线：3、正方形判定的方法主要有哪几种？、正方形判定的方法主要有哪几种？知识拓展知识拓展:正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学讨论后填写下表：与同学讨论后填写下表：边边角角对对 角角 线线对对 称称 性性平平 行行四边形四边形 矩矩 形形 菱菱 形形 正方形正方形 几种特殊四边形的性质几种特殊四边形的性质 对边平行对边平行 且相等且相等对边平行对边平行 且相等且相等对边平行，对边平行，四边都相四边都相等等对边平行，对边平行，四条边四条边 都相等都相等对角相等，对角相等，邻角互补邻角互补 四个角四个角都是直角都是直角对角相等，对角相等，邻角互补邻角互补 四个角四个角都是直角都是直角对角线互相平分对角线互相平分对角线相等对角线相等且互相平分且互相平分对角线互相垂直对角线互相垂直平分，每条对角平分，每条对角线平分一组对角线平分一组对角对角线对角线相等且相等且互相垂互相垂直平分，每条对角直平分，每条对角线平分一组对角线平分一组对角中心对称图形中心对称图形 轴对称图形、轴对称图形、中心对称图形中心对称图形 轴对称图形、轴对称图形、中心对称图形中心对称图形 轴对称图形、轴对称图形、中心对称图形中心对称图形
