1、3.1.1方程的根与函数的零点T H I S T E M P L A T E D E S I G N E D F O R D A X I A S U C A I P U老师：1234学习目标1.理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系；2.会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间；3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.问题导学知识点一函数的零点概念思考函数的“零点”是一个点吗？答案不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)0的实数x.实际上是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标.一般地，对于函数yf(x)，我们把使 的实数x叫做函数yf(x)的.方程、函数、图象之间的关系：
2、方程f(x)0 函数yf(x)的图象 函数yf(x).f(x)0零点有实数根与x轴有交点有零点知识点二零点存在定理一般地，有函数零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是 的一条曲线，并且有 ，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内 ，即存在c(a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)0的根.连续不断f(a)f(b)0有零点f(c)0题型探究类型一求函数的零点例1函数f(x)(lg x)2lg x的零点为_.解析由(lg x)2lg x0，得lg x(lg x1)0，lg x0或lg x1，x1或x10.x1或x10反思及感悟函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是
3、函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.跟踪训练1函数f(x)(x21)(x2)2(x22x3)的零点个数是_.解析f(x)(x1)(x1)(x2)2(x3)(x1)(x1)2(x1)(x2)2(x3).可知零点为1，2,3，共4个.类型二判断函数的零点所在的区间例2根据表格中的数据，可以断定方程ex(x2)0(e2.72)的一个根所在的区间是()x10123ex0.3712.727.4020.12x212345A.(1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解析令f(x)ex(x2)，则f(1
4、)0.3710，f(0)120，f(1)2.7230.由于f(1)f(2)0，方程ex(x2)0的一个根在(1,2)内.C反思及感悟在函数图象连续的前提下，f(a)f(b)0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)f(b)0，却不能判断在区间(a，b)内无零点.跟踪训练2若函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_.解析函数f(x)3x7ln x在定义域上是增函数，函数f(x)3x7ln x在区间(n，n1)上只有一个零点.f(1)37ln 140，f(2)67ln 20，函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(2,3)内，n2.2类型三判断
5、函数零点个数例3求函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数.解方法一f(0)10210，f(x)在(0,1)上必定存在零点.又显然f(x)2xlg(x1)2在(1，)上为增函数.故函数f(x)有且只有一个零点.方法二在同一坐标系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的草图.由图象知g(x)lg(x1)的图象和h(x)22x的图象有且只有一个交点，即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点.反思及感悟判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数.跟踪训练3求函数f(x)l
6、n x2x6的零点的个数.解方法一由于f(2)0，即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点.函数f(x)在定义域(0，)内是增函数，所以它仅有一个零点.方法二通过作出函数yln x，y2x6的图象，观察两图象的交点个数得出结论.也就是将函数f(x)ln x2x6的零点个数转化为函数yln x与y2x6的图象交点的个数.达标检测1.函数yx的零点是()A.(0,0)B.x0 C.x1 D.不存在B2.函数f(x)x22x的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3C3.若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)0，f(2)0，则下列说法正确的是()A.f(x)在区间(
7、0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点C4.下列各图象表示的函数中没有零点的是()DB规律与方法1.方程方程f(x)g(x)的根是函数的根是函数f(x)与与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象与的图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标.2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；函数是连续的；(2)定理不定理不可逆；可逆；(3)至少存在一个零点至少存在一个零点.3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；用定理；(2)解方程解方程；(3)用图象用图象.4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.
