1、 第四章第四章 圆与方程圆与方程 4.1 4.1 圆的方程圆的方程4.1.1 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程问题提出问题提出1.1.在平面直角坐标系中，两点确定一条在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也确定一条直线，直线，一点和倾斜角也确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆呢？那么在什么条件下可以确定一个圆呢？2.2.直线可以用一个方程表示，圆也可直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示，怎样建立圆的以用一个方程来表示，怎样建立圆的方程是我们需要探究的问题方程是我们需要探究的问题.圆心和半径知识探究一：圆的标准方程知识探究一：圆的标准方程 平面上到一个定点的距
2、离等于定长的平面上到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆点的轨迹叫做圆.思考思考1:1:圆可以看成是平面上的一条曲线，圆可以看成是平面上的一条曲线，在平面几何中，圆是怎样定义的？如何在平面几何中，圆是怎样定义的？如何用集合语言描述以点用集合语言描述以点A A为圆心，为圆心，r r为半径为半径的圆？的圆？P=M|MA|=r.P=M|MA|=r.A AM Mr r思考思考2:2:确定一个圆最基本的要素是什确定一个圆最基本的要素是什么？么？思考思考3:3:设圆心坐标为设圆心坐标为A(aA(a，b)b)，圆半径，圆半径为为r r，M(xM(x，y)y)为圆上任意一点，根据圆为圆上任意一点，根据圆的定
3、义的定义x x，y y应满足什么关系？应满足什么关系？(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2A AM Mr rx xo oy y思考思考4:4:对于以点对于以点A(aA(a，b)b)为圆心，为圆心，r r为半为半径的圆，由上可知，若点径的圆，由上可知，若点M(xM(x，y)y)在圆上，在圆上，则点则点M M的坐标满足方程的坐标满足方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2；反之，若点反之，若点M(xM(x，y)y)的坐标适合方程的坐标适合方程(x-(x-a)a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2，那么点，那么点M
4、M一定在这个圆一定在这个圆上吗？上吗？A AM Mr rx xo oy y思考思考6:6:以原点为圆心，以原点为圆心，1 1为半径的圆为半径的圆称为称为单位圆单位圆，那么单位圆的方程是什，那么单位圆的方程是什么？么？思考思考5:5:我们把方程我们把方程 称为圆心为称为圆心为A(A(a a，b)b)，半径长为，半径长为r r的圆的的圆的标准方程标准方程，那么确定圆的标准方程需要，那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？几个独立条件？222()()xaybrx x2 2+y+y2 2=r=r2 2思考思考7:7:方程方程 ，是圆方程吗？是圆方程吗？222()()xaybr222()()xaybr22
5、()()xaybm思考思考8:8:方程方程 与与 表示的曲线分别是什么？表示的曲线分别是什么？24(1)yx24(1)yx知识探究二：点与圆的位置关系知识探究二：点与圆的位置关系 思考思考1:1:在平面几何中，点与圆有哪几种在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？位置关系？思考思考2:2:在平面几何中，如何确定点与在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？圆的位置关系？A AO OA AO OA AO OOAOAr rOAOA=r r思考思考3:3:在直角坐标系中，已知点在直角坐标系中，已知点M(xM(x0 0，y y0 0)和圆和圆C C：，如何判，如何判断点断点M M在圆外、圆上、圆内？在圆外
6、、圆上、圆内？222()()xaybr(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2时时,点点M M在圆在圆C C外外;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r r2 2时时,点点M M在圆在圆C C上上;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2时时,点点M M在圆在圆C C内内.思考思考4:4:经过一个点、两个点、三个点分经过一个点、两个点、三个点分别可以作多少个圆？别可以作多少个圆？思考思考5:5:集合集合(x(x，y)|(x-a)y)|(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2r
7、r2 2 表示的图形是什么？表示的图形是什么？A Ar rx xo oy y理论迁移理论迁移 例例1 1 写出圆心为写出圆心为A A（2 2，-3-3），半径），半径长等于长等于5 5的圆的方程，并判断点的圆的方程，并判断点M M（5 5，-7-7），），N N（，-1-1）是否在这个圆上？）是否在这个圆上？5 例例2 2 ABCABC的三个顶点的坐标分别是的三个顶点的坐标分别是 A A（5 5，1 1），），B B（7 7，-3-3），），C C（2 2，-8-8），），求它的外接圆的方程求它的外接圆的方程.B Bx xo oy yA AC C 例例3 3 已知圆心为已知圆心为C C的圆经过
8、点的圆经过点 A A（1 1，1 1）和）和B B（2 2，-2-2），且圆心），且圆心C C在在 直线直线l：x-y+1=0 x-y+1=0上，求圆上，求圆C C的标准方程的标准方程.B Bx xo oy yA AC Cl(1)(1)圆的标准方程的结构特点圆的标准方程的结构特点.(2)(2)点与圆的位置关系的判定点与圆的位置关系的判定.(3)(3)求圆的标准方程的方法：求圆的标准方程的方法：待定系数法；待定系数法；代入法代入法.小结作业小结作业作业：作业：P120P120练习：练习：1 1，3.3.P124P124习题习题4.1A4.1A组：组：2 2，3 3，4.4.4.1.2 4.1.2
9、 圆的一般方程圆的一般方程问题提出问题提出 1.1.圆心为圆心为A(aA(a，b)b)，半径为，半径为r r的圆的圆的标准方程是什么？的标准方程是什么？2.2.直线方程有多种形式，圆的方直线方程有多种形式，圆的方程是否还可以表示成其他形式？这是程是否还可以表示成其他形式？这是一个需要探讨的问题一个需要探讨的问题.222()()xaybr知识探究一：圆的一般方程知识探究一：圆的一般方程 思考思考1:1:圆的标准方程圆的标准方程 展开可得到一个什么式子展开可得到一个什么式子?222()()xaybr思考思考2:2:方程方程 的一般形式是什么？的一般形式是什么？22222220 xyaxbyabr2
10、20 xyDxEyF思考思考3:3:方程方程 与与 表示的图形表示的图形都是圆吗？为什么？都是圆吗？为什么？222410 xyxy 222460 xyxy思考思考4:4:方程方程 可化可化为为 ，它在什么条件下表示圆？它在什么条件下表示圆？220 xyDxEyF22224()()224DEDEFxy思考思考5:5:当当 或或 时，时，方程方程 表示什么图表示什么图形？形？2240DEF2240DEF220 xyDxEyF思考思考6:6:方程方程 叫做圆的叫做圆的一般方程一般方程，其，其圆心坐标和半径分别是什么？圆心坐标和半径分别是什么？220 xyDxEyF22(40)DEF圆心为圆心为 ，半
11、径为，半径为 (,)22DE22142DEF思考思考7:7:当当D=0D=0，E=0E=0或或F=0F=0时，时，圆圆 的位置分别的位置分别有什么特点？有什么特点？220 xyDxEyFC Cx xo oy yC Cx xo oy yC Cx xo oy yD=0D=0E=0E=0F=0F=0知识探究二：圆的直径方程知识探究二：圆的直径方程 思考思考1:1:已知点已知点A(1A(1，3)3)和和B(-5B(-5，5)5)，如，如何求以线段何求以线段ABAB为直径的圆方程？为直径的圆方程？思考思考2:2:一般地，已知点一般地，已知点A(xA(x1 1，y y1 1)，B(xB(x2 2，y y2
12、 2)，则以线段，则以线段ABAB为直径的圆方为直径的圆方程如何？程如何？(x-x(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)+(y-y)+(y-y1 1)(y-y)(y-y2 2)=0)=0A Ax xo oy yB BP P理论迁移理论迁移 例例1 1 求过三点求过三点O O（0 0，0 0），），A A（1 1，1 1），），B B（4 4，2 2）的圆的方程，并求出这个圆）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标的半径长和圆心坐标.例例2 2 方程方程表示的图形是一个圆，求表示的图形是一个圆，求a的取值范围的取值范围.2222210 xyaxayaa 例例3 3 已知线段已知线段ABA
13、B的端点的端点B B的坐标是（的坐标是（4 4，3 3）,端点端点A A在圆在圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=4=4上运动，求上运动，求线段线段ABAB的中点的中点M M的轨迹方程的轨迹方程.yABMxo 例例4 4 已知点已知点P P（5 5，3 3），点），点M M在圆在圆x x2 2+y+y2 2-4x+2y+4=0-4x+2y+4=0上运动，求上运动，求|PM|PM|的最的最大值和最小值大值和最小值.yCPMxoA AB B1.1.任一圆的方程可写成任一圆的方程可写成 的形式，但方程的形式，但方程 表示表示的曲线不一定是圆，当的曲线不一定是圆，当 时，时，方程表示圆心为方程
14、表示圆心为 ，半径，半径为为 的圆的圆.220 xyDxEyF220 xyDxEyF2240DEF(,)22DE22142DEF小结作业小结作业2.2.用待定系数法求圆方程的基本步骤：用待定系数法求圆方程的基本步骤：（1 1）设圆方程）设圆方程 ；（；（2 2）列方程组；）列方程组；（3 3）求系数；）求系数；（4 4）小结）小结.3.3.求轨迹方程的基本思想：求轨迹方程的基本思想：求出动点坐标求出动点坐标x x，y y所满足的关系所满足的关系.作业：作业：P123P123练习：练习：1 1，2 2，3.3.P124P124习题习题4.1B4.1B组：组：1 1，2 2，3.3.4 42 2
15、直线、圆的位置关系直线、圆的位置关系4.2.1 4.2.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系问题提出问题提出t57301p2 1 1、点到直线的距离公式，、点到直线的距离公式，圆的圆的标准方程和一般方程分别是什么？标准方程和一般方程分别是什么？222()()xaybr22220(40)xyDxEyFDEF0022|AxByCdAB轮船轮船港口港口台风台风 2 2一艘轮船在沿直线返回港口的途一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西位于轮船正西70 km70 km处，受影响的范围处，受影响的范围是半径长为是半径长为30km30
16、km的圆形区域的圆形区域.已知港口已知港口位于台风中心正北位于台风中心正北40 km40 km处，如果这艘处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？风的影响？知识探究知识探究(一一)：直线与圆的位置关系的判定直线与圆的位置关系的判定 思考思考1:1:在平面几何中，直线与圆的在平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？位置关系有几种？思考思考2:2:在平面几何中，我们怎样判在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？断直线与圆的位置关系？drdrdrd dr r思考思考3:3:如何根据直线与圆的公共点如何根据直线与圆的公共点个数判断直线与圆的位置关系
17、？个数判断直线与圆的位置关系？两个公共点两个公共点一个公共点一个公共点没有公共点没有公共点思考思考4:4:在平面直角坐标系中，我们在平面直角坐标系中，我们用方程表示直线和圆，如何根据直用方程表示直线和圆，如何根据直线与圆的方程判断它们之间的位置线与圆的方程判断它们之间的位置关系？关系？方法一方法一:根据直线与圆的联立方程组根据直线与圆的联立方程组的公共解个数判断；的公共解个数判断；方法二方法二:根据圆心到直线的距离与圆根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判断半径的大小关系判断.思考思考5:5:上述两种判断方法的操作步上述两种判断方法的操作步骤分别如何？骤分别如何？代数法：代数法：1.1.将直
18、线方程与圆方程联立成方程组；将直线方程与圆方程联立成方程组；2.2.通过消元，得到一个一元二次方程；通过消元，得到一个一元二次方程；3.3.求出其判别式求出其判别式的值；的值；4.4.比较比较与与0 0的大小关系：的大小关系：若若0 0，则直线与圆，则直线与圆相交相交；若若0 0，则直线与圆，则直线与圆相切相切；若若0 0，则直线与圆，则直线与圆相离相离几何法：几何法：1.1.把直线方程化为一般式，并求出把直线方程化为一般式，并求出圆心坐标和半径圆心坐标和半径r r；2.2.利用点到直线的距离公式求圆心利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离到直线的距离d d；若若d dr r，则直线与圆，则
19、直线与圆相离相离；若若d dr r，则直线与圆，则直线与圆相切相切；若若d dr r，则直线与圆，则直线与圆相交相交3.3.比较比较d d与与r r的大小关系：的大小关系：知识探究（二）：知识探究（二）：圆的切线方程圆的切线方程 思考思考1:1:过圆上一点、圆外一点作圆过圆上一点、圆外一点作圆的切线，分别可作多少条？的切线，分别可作多少条？M MM M思考思考2:2:设点设点M(xM(x0 0，y y0 0)为圆为圆x x2 2y y2 2=r=r2 2上一点，如何求过点上一点，如何求过点M M的圆的切线方的圆的切线方程？程？M Mx xo oy yx x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r
20、2 2思考思考3:3:设点设点M(xM(x0 0，y y0 0)为圆为圆 x x2 2y y2 2=r=r2 2外一点，如何求过点外一点，如何求过点M M的圆的切线方的圆的切线方程？程？M Mx xo oy y思考思考4:4:设点设点M(xM(x0 0，y y0 0)为圆为圆x x2 2y y2 2=r=r2 2外一点，过点外一点，过点M M作圆的两条切线，切作圆的两条切线，切点分别为点分别为A A，B B，则直线，则直线ABAB的方程如的方程如何？何？M Mx xo oy yB BA Ax x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2理论迁移理论迁移 例例1 1 已知直线已知直线l：3x3
21、xy y6 60 0和和圆心为圆心为C C的圆的圆x x2 2y y2 22y2y4 40 0，判，判断直线断直线l与圆的位置关系；如果相交，与圆的位置关系；如果相交，求两个交点的距离求两个交点的距离 例例2 2 过点过点M(M(3 3，3)3)的直线的直线l被圆被圆x x2 2y y2 24y4y21=021=0所截得的弦所截得的弦长为长为 ，求直线，求直线l的方程的方程.4 5xyoM MB BA AC C 例例3 3 求过点求过点P P（2 2，1 1），圆心在），圆心在直线直线2x2xy=0y=0上，且与直线上，且与直线x-y-1x-y-10 0相切的圆方程相切的圆方程.P P2x+y
22、=02x+y=0作业作业:P128P128练习：练习：2 2，3 3，4 4P132P132习题习题4.2A4.2A组：组：2 2，3 3，5 54.2.2 4.2.2 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系问题提出问题提出 1.1.点与圆、直线与圆的位置关系点与圆、直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定这些位置关系？有哪几种？如何判定这些位置关系？2.2.圆与圆的位置关系有哪几种？圆与圆的位置关系有哪几种？如何根据圆的方程判断圆与圆的位如何根据圆的方程判断圆与圆的位置关系，我们将进一步探究置关系，我们将进一步探究.d知识探究（一）：知识探究（一）：圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系思考思考1:1:两个
23、大小不等的圆，其位置关两个大小不等的圆，其位置关系有系有内含、内切、相交、外切、外离内含、内切、相交、外切、外离等五种，在平面几何中，这些位置关等五种，在平面几何中，这些位置关系是如何判定的？系是如何判定的？dddd思考思考2:2:已知两圆已知两圆 C C1 1:x:x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1=0=0和和 C C2 2:x:x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+Fy+F2 2=0=0，用上述方法，用上述方法判断两个圆位置关系的操作步骤如判断两个圆位置关系的操作步骤如何？何？1.1.将两圆的方程化为将两圆的方程化为标准方程标准方程
24、；2.2.求两圆的求两圆的圆心坐标圆心坐标和和半径半径R R、r r；3.3.求两圆的求两圆的圆心距圆心距d d；4.4.比较比较d d与与R-rR-r，R Rr r的大小关系的大小关系：思考思考4:4:两个大小相等的圆的位置关两个大小相等的圆的位置关系有哪几种？系有哪几种？思考思考3:3:能否根据两个圆的公共点个能否根据两个圆的公共点个数判断两圆的位置关系？数判断两圆的位置关系？若若d dR-rR-r，则两圆则两圆内含内含；若若d=d=R-rR-r，则两圆则两圆内切内切；若若R-rR-rd dR Rr r，则两圆，则两圆相交相交；若若d dR Rr r，则两圆，则两圆外切外切；若若d dR
25、Rr r，则两圆，则两圆外离外离.知识探究（二）：知识探究（二）：相交圆的交线方程相交圆的交线方程 思考思考1:1:已知两圆已知两圆 C C1 1：x x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1=0=0和和 C C2 2：x x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+Fy+F2 2=0=0，则方程则方程x x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1-(x-(x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+Fy+F2 2)=0)=0表示的图形是什么？表示的图形是什么？思考思考2:2:若两圆若两圆 C C1 1：
26、x x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1=0=0 和和 C C2 2：x x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+Fy+F2 2=0=0相交，相交，M M（x x0 0，y y0 0）为一个交点，）为一个交点，则则点点M M（x x0 0，y y0 0）在直线）在直线(D(D1 1-D-D2 2)x+(E)x+(E1 1-E-E2 2)y+F)y+F1 1-F-F2 2=0=0上吗？上吗？思考思考3:3:若两圆若两圆 C C1 1：x x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1=0=0和和 C C2 2：x x
27、2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+Fy+F2 2=0=0相交，相交，则其则其公共弦所在直线的方程是公共弦所在直线的方程是 (D(D1 1-D-D2 2)x+(E)x+(E1 1-E-E2 2)y+F)y+F1 1-F-F2 2=0=0，那么过那么过交点的圆系方程是什么？交点的圆系方程是什么？m m(x(x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1)+)+n n(x(x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+Fy+F2 2)=0)=0 思考思考4 4：若两圆若两圆 C C1 1:x:x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E
28、1 1y+Fy+F1 1=0=0和和 C C2 2:x:x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+Fy+F2 2=0=0相切，相切，则方程则方程(D(D1 1-D-D2 2)x+(E)x+(E1 1-E-E2 2)y+F)y+F1 1-F-F2 2=0=0表示的表示的直线是什么？若两圆相离呢？直线是什么？若两圆相离呢？理论迁移理论迁移 例例1 1 已知圆已知圆C C1 1：x x2 2y y2 22x2x8y8y8 80 0，圆，圆C C2 2：x x2 2y y2 24x4x4y4y2 20 0，判断圆判断圆C C1 1与圆与圆C C2 2的位置关系的位置关系.若相若相交，求
29、两圆的公共弦所在的直线方交，求两圆的公共弦所在的直线方程程.x x2 2y y2 26x6x4 40 0 x x2 2y y2 24x4x2y2y1 10 0 例例2 2 已知一个圆的圆心为已知一个圆的圆心为M M（2 2，1 1），），且与圆且与圆C C：x x2 2y y2 23x3x0 0相交于相交于A A、B B两两点，若圆心点，若圆心M M到直线到直线ABAB的距离为的距离为 ，求，求圆圆M M的方程的方程.5ABMCD作业：作业：P132P132习题习题4.2A4.2A组：组：4,6,9,10.4,6,9,10.4.2.3 4.2.3 直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用问题提
30、出问题提出 通过直线与圆的方程，可以确定通过直线与圆的方程，可以确定直线与圆、圆和圆的位置关系，对直线与圆、圆和圆的位置关系，对于生产、生活实践以及平面几何中于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决方程，将其转化为代数问题来解决.对此，我们必须掌握解决问题的基对此，我们必须掌握解决问题的基本思想和方法本思想和方法.知识探究：知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用直线与圆的方程在实际生活中的应用 问题问题:一艘轮船在沿直线返回港口一艘轮船在沿直线返回港口
31、的途中，接到气象台的台风预报：的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西台风中心位于轮船正西70 km70 km处，处，受影响的范围是半径长为受影响的范围是半径长为30km30km的圆的圆形区域形区域.已知港口位于台风中心正已知港口位于台风中心正北北40 km40 km处，如果这艘轮船不改变航处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？线，那么它是否会受到台风的影响？轮船轮船港口港口台风台风思考思考1:1:解决这个问题的本质是什么？解决这个问题的本质是什么？思考思考2:2:你有什么办法判断轮船航线你有什么办法判断轮船航线是否经过台风圆域？是否经过台风圆域？轮轮船船港港口口台
32、台风风xyo思考思考3:3:如图所示建立直角坐标系，如图所示建立直角坐标系，取取10km10km为长度单位，那么轮船航线为长度单位，那么轮船航线所在直线和台风圆域边界所在圆的所在直线和台风圆域边界所在圆的方程分别是什么？方程分别是什么？思考思考4:4:直线直线4x4x7y7y28280 0与圆与圆x x2 2y y2 29 9的位置关系如何？对问题的位置关系如何？对问题应应作怎样的回答？作怎样的回答？轮船轮船港口港口台风台风问题问题：如图是某圆拱形桥一孔圆如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图拱的示意图.这个圆的圆拱跨度这个圆的圆拱跨度AB=20mAB=20m，拱高，拱高OP=4mOP=4m，建造时
33、每间隔，建造时每间隔4m4m需要用一根支柱支撑，求支柱需要用一根支柱支撑，求支柱A A2 2P P2 2的高度（精确到的高度（精确到0.01m0.01m）ABA1A2A3A4OPP2思考思考1:1:你能用几何法求支柱你能用几何法求支柱A A2 2P P2 2的高的高度吗？度吗？思考思考2:2:如图所示建立直角坐标系，如图所示建立直角坐标系，那么求支柱那么求支柱A A2 2P P2 2的高度，化归为求一的高度，化归为求一个什么问题？个什么问题？ABA1A2A3A4OPP2xy思考思考4:4:利用这个圆的方程可求得点利用这个圆的方程可求得点P P2 2的纵坐标是多少？问题的纵坐标是多少？问题的答案
34、如的答案如何？何？214.5410.53.86()ym思考思考3:3:取取1m1m为长度单位，如何求圆为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？拱所在圆的方程？x x2 2+(y+10.5)+(y+10.5)2 2=14.52=14.52 ABA1A2A3A4OPP2xy知识探究：知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用直线与圆的方程在平面几何中的应用 问题问题:已知内接于圆的四边形的对已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半的距离等于这条边所对边长的一半.思考思考1:1:许多平面几何问题常利用许多平面几何问题常利用“坐标法
35、坐标法”来解决，首先要做的工来解决，首先要做的工作是建立适当的直角坐标系，在本作是建立适当的直角坐标系，在本题中应如何选取坐标系？题中应如何选取坐标系？X Xy yo o思考思考2 2：如图所示建立直角坐标系，如图所示建立直角坐标系，设四边形的四个顶点分别为点设四边形的四个顶点分别为点 A(aA(a，0)0)，B(0B(0，b)b)，C(cC(c，0)0)，D(0D(0，d)d)，那么，那么BCBC边的长为多少？边的长为多少？ABCDMxyoN思考思考3:3:四边形四边形ABCDABCD的外接圆圆心的外接圆圆心M M的的坐标如何？坐标如何？思考思考4:4:如何计算圆心如何计算圆心M M到直线到
36、直线ADAD的距的距离离|MN|MN|？ABCDMxyoN思考思考5:5:由上述计算可得由上述计算可得|BC|=2|MN|BC|=2|MN|，从从而命题成立而命题成立.你能用平面几何知识证明你能用平面几何知识证明这个命题吗？这个命题吗？ABCDMNE E理论迁移理论迁移 例例1 1 如图，在如图，在RtRtAOBAOB中，中，|OA|=4|OA|=4，|OB|=3|OB|=3，AOB=90AOB=90，点，点P P是是AOBAOB内切圆上任意一点，求点内切圆上任意一点，求点P P到顶点到顶点A A、O O、B B的距离的平方和的最的距离的平方和的最大值和最小值大值和最小值.OABPCX Xy
37、yO1MO2PNo oy yx x 例例2 2 如图，圆如图，圆O O1 1和圆和圆O O2 2的半径都的半径都等于等于1 1，圆心距为，圆心距为4 4，过动点，过动点P P分别作分别作圆圆O O1 1和圆和圆O O2 2的切线，切点为的切线，切点为M M、N N，且，且使得使得|PM|=|PN|PM|=|PN|，试求点，试求点P P的运动的运动轨迹是什么曲线？轨迹是什么曲线？2 作业：作业：P132P132练习练习:1 1，2 2，3 3，4.4.P133P133习题习题4.2B4.2B组组:1 1，2 2，3.3.4.3 4.3 空间直角坐标系空间直角坐标系 4.3.1 4.3.1 空间直
38、角坐标系空间直角坐标系 问题提出问题提出t57301p2 对于直线上的点，我们可以通对于直线上的点，我们可以通过数轴来确定点的位置；对于平面过数轴来确定点的位置；对于平面上的点，我们可以通过平面直角坐上的点，我们可以通过平面直角坐标系来确定点的位置；对于空间中标系来确定点的位置；对于空间中的点，我们也希望建立适当的坐标的点，我们也希望建立适当的坐标系来确定点的位置系来确定点的位置.因此，如何在因此，如何在空间中建立坐标系，就成为我们需空间中建立坐标系，就成为我们需要研究的课题要研究的课题.知识探究（一）：空间直角坐标系知识探究（一）：空间直角坐标系 思考思考1:1:数轴上的点数轴上的点M M的
39、坐标用一个实的坐标用一个实数数x x表示，它是表示，它是一维坐标一维坐标；平面上的；平面上的点点M M的坐标用一对有序实数（的坐标用一对有序实数（x x，y y）表示，它是表示，它是二维坐标二维坐标.设想：对于空设想：对于空间中的点的坐标，需要几个实数表间中的点的坐标，需要几个实数表示？示？O Ox xx xO Ox x(x,y)(x,y)y y思考思考2:2:平面直角坐标系由两条互相平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想：空间直角垂直的数轴组成，设想：空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位坐标系由几条数轴组成？其相对位置关系如何？置关系如何？三条交于一点且两三条交于一点且两两互相垂直的
40、数轴两互相垂直的数轴 思考思考3:3:在空间中，取三条交于一点在空间中，取三条交于一点且两两互相垂直的数轴：且两两互相垂直的数轴：x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴，组成空间直角坐标系轴，组成空间直角坐标系OxyzOxyz，在，在平面上如何画空间直角坐标系？平面上如何画空间直角坐标系？xyzOxOy=135xOy=135yOz=90yOz=90 思考思考4:4:在空间直角坐标系中，对三条数在空间直角坐标系中，对三条数轴的方向作如下约定：伸出右手，拇指轴的方向作如下约定：伸出右手，拇指指向为指向为x x轴正方向，食指指向为轴正方向，食指指向为y y轴正方轴正方向，中指指向为向，中指指向为z z
41、轴正方向，并称这样轴正方向，并称这样的坐标系为的坐标系为右手直角坐标系右手直角坐标系.那么下列那么下列空间直角坐标系中哪些是右手直角坐标空间直角坐标系中哪些是右手直角坐标系？系？xyzOxyzOxyzOxyzOxyzO(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)思考思考5:5:在空间直角坐标系在空间直角坐标系OxyzOxyz中，中，其中点其中点O O叫做叫做坐标原点坐标原点，x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴叫做轴叫做坐标轴坐标轴，通过每两个坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做的平面叫做坐标平面坐标平面，并分别称为，并分别称为xOyxOy平面、平面、yOzyOz平面、平面、xOzxOz平面
42、平面.这三这三个坐标平面的位置关系如何？个坐标平面的位置关系如何？xyzO思考思考6:6:如图，在长方体如图，在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，以点中，以点D D为坐标原点建立空间右手为坐标原点建立空间右手直角坐标系，那么直角坐标系，那么x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴轴应如何选取？应如何选取？ABCDA1B1C1D1x xy yz z思考思考7:7:在空间直角坐标系在空间直角坐标系OxyzOxyz中，中，三个坐标平面将空间分成几个部分？三个坐标平面将空间分成几个部分？x xz zy y知识探究（二）空间直角坐标系中点的坐标知识探究（二）空间直角
43、坐标系中点的坐标 思考思考1:1:在平面直角坐标系中，点在平面直角坐标系中，点M M的的横坐标、纵坐标的含义如何？横坐标、纵坐标的含义如何？O Ox x(x,y)(x,y)y y|x|x|y|y|思考思考2:2:在空间直角坐标系中，设点在空间直角坐标系中，设点M M为空为空间的一个定点，过点间的一个定点，过点M M分别作垂直于分别作垂直于x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴的平面，垂足为轴的平面，垂足为A A、B B、C.C.设点设点A A、B B、C C在在x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴上的坐标分别轴上的坐标分别为为x x、y y、z z，那么点，那么点M M的位置与有序实数的位置与有
44、序实数组（组（x x，y y，z z）是一个什么对应关系？）是一个什么对应关系？AOxMyzxxCOMyzzBOxMyzy思考思考3:3:上述有序实数组（上述有序实数组（x x，y y，z z）称为点称为点M M的的空间坐标空间坐标，其中，其中x x、y y、z z分别叫做点分别叫做点M M的的横坐标、横坐标、纵坐标、纵坐标、竖坐标，竖坐标，这三个坐标的值一定是正这三个坐标的值一定是正数吗？数吗？ABCOxMyzx xy yz z思考思考4:4:x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴上的点的坐标轴上的点的坐标有何特点？有何特点？xOyxOy平面、平面、yOzyOz平面、平面、xOzxOz平面上的
45、点的坐标有何特点？平面上的点的坐标有何特点？x x轴上的点轴上的点:(x,0,0):(x,0,0)xOyxOy平面上的点平面上的点:(x,y,0):(x,y,0)xyzO思考思考5:5:设点设点M M的坐标为（的坐标为（a a，b b，c c）过点过点M M分别作分别作xOyxOy平面、平面、yOzyOz平面、平面、xOzxOz平面的垂线，那么三个垂足的坐平面的垂线，那么三个垂足的坐标分别如何？标分别如何？ABCOxMyzA(a,b,0)A(a,b,0)B(0,b,c)B(0,b,c)C(a,0,c)C(a,0,c)思考思考6:6:设点设点M M的坐标为（的坐标为（x x，y y，z z）那么
46、点那么点M M关于关于x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴及原点轴及原点对称的点的坐标分别是什么？对称的点的坐标分别是什么？xyzOM(x,y,z)M(x,y,z)N(x,-y,-z)N(x,-y,-z)思考思考7:7:设点设点A A（x x1 1，y y1 1，z z1 1），点），点 B B（x x2 2，y y2 2，z z2 2），则线段），则线段ABAB的中点的中点M M的坐标如何？的坐标如何？121212(,)222xxyyzzM+理论迁移理论迁移 例例1 1 如图，在长方体如图，在长方体OABC-OABC-D DA A B B C C 中，中，|OA|=3,|OC|=4|OA|=
47、3,|OC|=4，|OD|OD|=2|=2，写出长方体各顶点的坐标，写出长方体各顶点的坐标.ABCOxAyzBCD 例例2 2 结晶体的基本单位称为晶胞，下结晶体的基本单位称为晶胞，下图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为为0.50.5的小正方体堆积成的正方体），其中的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，白点代表氯原子色点代表钠原子，白点代表氯原子.如图建如图建立直角坐标系立直角坐标系OxyzOxyz，试写出全部钠原子所在，试写出全部钠原子所在位置的坐标位置的坐标.xyzO作业作业:P136P136练习：练习：1 1，2 2，3.3.P138P
48、138习题习题4.3A4.3A组：组：2.2.4.3.2 4.3.2 空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 问题提出问题提出 1.1.在平面直角坐标系中两点间在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？的距离公式是什么？2.2.在空间直角坐标系中，若已在空间直角坐标系中，若已知两个点的坐标，则这两点之间的知两个点的坐标，则这两点之间的距离是惟一确定的，我们希望有一距离是惟一确定的，我们希望有一个求两点间距离的计算公式，对此，个求两点间距离的计算公式，对此，我们从理论上进行探究我们从理论上进行探究.知识探究（一）知识探究（一）:与坐标原点的距离公式与坐标原点的距离公式 思考思考1:1:在空间直
49、角坐标系中，坐标在空间直角坐标系中，坐标轴上的点轴上的点A A（x x，0 0，0 0），），B B（0 0，y y，0 0），），C C（0 0，0 0，z z），与坐标原点），与坐标原点O O的距离分别是什么？的距离分别是什么？xyzOA AB BC C|OA|=|x|OA|=|x|OB|=|y|OB|=|y|OC|=|z|OC|=|z|思考思考2:2:在空间直角坐标系中，坐标在空间直角坐标系中，坐标平面上的点平面上的点A A（x x，y y，0 0），），B B（0 0，y y，z z），），C C（x x，0 0，z z），与坐标原点），与坐标原点O O的距离分别是什么？的距离分别是什
50、么？xyzOA A22|O Axy=+22|,O Byz=+22|O Cxz=+B BC C思考思考3:3:在空间直角坐标系中，设点在空间直角坐标系中，设点 P P（x x，y y，z z）在）在xOyxOy平面上的射影为平面上的射影为M M，则点，则点M M的坐标是什么？的坐标是什么？|PM|,|OM|PM|,|OM|的值分别是什么？的值分别是什么？xyzOPMM(x,y,0)M(x,y,0)|PM|=|z|PM|=|z|22|O Mxy=+思考思考4:4:基于上述分析，你能得到点基于上述分析，你能得到点 P P（x x，y y，z z）与坐标原点）与坐标原点O O的距离公的距离公式吗？式吗
