1、1复复习习高高等等数数学学（下下）总总多多元元函函数数的的微微分分学学一一、基基本本题题型型用用图图表表示示；求求多多元元函函数数的的定定义义域域并并.1明明不不存存在在的的方方法法。求求多多元元函函数数的的极极限限及及证证.2偏偏导导数数及及求求法法。.3.全微分及求法全微分及求法4。在在、全全微微分分存存在在的的关关系系多多元元函函数数连连续续、偏偏导导存存.5).(.抽抽象象函函数数求求高高阶阶导导复复合合函函数数求求导导法法则则6).(.种种情情况况隐隐函函数数求求导导法法则则 372.方方向向导导数数及及计计算算公公式式8).(.种形式种形式面方程面方程空间曲线的切线和法平空间曲线的
2、切线和法平39).(.种形式种形式线方程线方程空间曲面的切平面及法空间曲面的切平面及法210.方法方法多元函数的极值及判别多元函数的极值及判别11乘乘数数法法。多多元元条条件件极极值值的的 Lagrange.12.求求法法区区域域上上多多元元函函数数最最值值的的133典型例题典型例题.)ln(.的定义域并画图的定义域并画图求求2211yxxxyz定义域为定义域为解解:1022yxxxy11200yxyxyxlim.111100yxyxyxyx)(lim21100)(limyxyx42244003yxyxyx)sin(lim.224400yxyxyxlim22400yxxyxlim22400yx
3、yyxlim000.)(lim.不存在不存在证明证明22222004yxyxyxyx:证明证明,1路径时极限为路径时极限为当沿当沿xy,02 路径时极限为路径时极限为当沿当沿xy.所以极限不存在所以极限不存在514215232yeyxyxyxfxxyarctan)()(),(.).,(),(2121yxff求求),(:21xf解解121022xxxxxf),(44222212ln)ln(xxxxx),(21yf1122yyyyf)(),(66.证明：函数 在点 连续、偏导数存在、但不可微.|),(xyyxf),(00),(|lim),(lim:0000000fxyyxfyxyx证明证明所以在点
4、 连续),(00000000000 xxfxffxxxlim),(),(lim),(000000000yyfyffyyylim),(),(lim),(所以在点 偏导数都存在),(00|),(),(yxyfxffyx0000 7 0lim2200)()(|limyxyxyx220)()(|limyxyxxyx0212220)()(limxxx所以在点 不可微。),(0087.设 具有二阶连续偏导数，且 ，),(zyxfu txzsin2),ln(yxt.,yxuxu2求求解：)cossin(yxtxtxffxu12231)cossin(yxtxtxff2312)cos(yxtxffyxu 121
5、3122)(cos)(sincos(2231112yxtyxyxtxyxtxf9)cos(yxtxff 123332)cossin(yxtxtx22yxtxffyxu cos213122)(cossincos(2232yxttxyxtxf)cos(yxtxff 23332)cossin(yxtxtx2210.),(ln.228xzyxzzyzzx求求确定确定已知已知:解解zxFFxzyzzxzyxFln),(令令yzzxlnln xzzzzxz112)(xzzxxz2221)()()(xzxzzxzxz32)(xzz11.,),(),(.dxdyyxtyxFttxfy求求函数函数确定的确定的是
6、由是由而而设设09:解解取微分取微分将将0),(),(tyxFtxfy0dtFdyFdxFdtfdxfdytyxtxtytxtxfFFFffFdxdyt12的切线与法平面方程的切线与法平面方程处处在点在点求曲线求曲线),(.2113932100222222Myxzzyx:解解求导求导方程组对方程组对xdxdyyxdxdzzdxdzxdxdyyx262026487452110dxdzdxdyM,),(处处在点在点,71088187451T切线方程切线方程7210181zyx法平面方程法平面方程02711018)()()(zyx13.1,3)0(.11zyezyezeyzyyxxxx证明的最大值，
7、并求满足和、设三个实数解：解：,3zeyx,xeyz3zyeyxfx),(令令)(yeyexx3)(yeyexfxx23)(yeeyfxx2314023023yeyfyexfxx令令10yx,唯一驻点唯一驻点,),(21022xfA而而,),(1102yxfB21022),(yfC,)()()(0312222BAC,A0且1),(yxf.1zyex从而从而，即为最大值，即为最大值处取得极值处取得极值在点在点1)1,0()1,0(),(fyxf15.12 在圆锥面 与平面 所围成的锥体内作底面与 面平行的长方体，求最大长方体的体积。22yxz2zxOy解 设长方体的一个顶点 在锥面，则长方体的体
8、积：),(zyxM),()(00024zyxzxyV)()(),(2224yxzzxyzyxF 作作）（令令102422yxxzyFx)(）（202422yxyzyFy)(）（304 xyFz）（4022yxz16将式乘以x与式乘以y相比较得 yx 将 代入式并由式得 ，yx xz212将 代入式得 。xz212232x所以得唯一驻点为 ，),(34232232依题意必有最大值，从而长方体的最大体积为276434232242)()(V17多元函数的积分学多元函数的积分学一一、基基本本题题型型,.重积分重积分在直角坐标系下计算二在直角坐标系下计算二1,.积分积分在极坐标系下计算二重在极坐标系下计
9、算二重2、转转动动惯惯量量体体积积、曲曲面面面面积积、重重心心应应用用二二重重积积分分及及三三重重积积分分的的.4.法法三三重重积积分分的的四四种种计计算算方方3积分对称性的应用积分对称性的应用.5,.两两类类曲曲线线积积分分的的计计算算618;.个等价定理个等价定理格林公式的应用及格林公式的应用及47;.两两类类曲曲线线积积分分的的关关系系8;.两两类类曲曲线线积积分分的的应应用用9,.两两类类曲曲面面积积分分的的计计算算10;.两两类类曲曲面面积积分分的的关关系系11;.高斯公式的应用高斯公式的应用12;.两两类类曲曲面面积积分分的的应应用用1319典型例题典型例题dyyxdxdyyxdx
10、xxx24221221 sinsin.计算计算dxdyyxD2 sin:原式原式解解dxyxdyyy2122 sin324 )(20220412222220 xaaxaadyyxayxdx)()(.Dyxayxdxdy)(:222224原式原式解解22xaay sinar2xy4 sinararrdrd2022044322 21.公共部分公共部分与与为为其中其中用多种方法计算用多种方法计算1432222zzyxdvz:1解法解法dvz2zDddzz 122dzzz)(21224 527:2解法解法dvz214242222222zzyxzyxdvzdvz,2214242222222zzyxzyx
11、dvzdvz,drrd2042020 cossin24123020rdzzrdrd 527:3解法解法dvz21323020rdzzrdrd drrd2042320 cossin52723.计算 ，其中域由 围成。dxdydzxI)(4142222xxyzx,解：由积分域及被积函数的特点),),(无无关关与与zyxzyxf41故采用“先二后一”的方法较方便，即222442411xzydydzxdxdxdydzxI)()(dxxx24241)(212023404262dxxx)(.424dvzyxI1.5222其中 由锥面 与平面 围成的立体。22yxz1z解：用球面 将 分成 和 两部分122
12、2zyx上上下下dxdydzzyxdxdydzzyxI上上下下11222222 cossin)(sin)(1024020102402011drrrdddrrrdd drrrrcossin)cos(1134401043403141241312)(sincoscos1261213141222164034 d25.)(.63232323434ayxLdsyxL为星形线：其中星形线的参数方程星形线的参数方程解解:1 2033ttaytaxsincosdsyxL)(3434dsyxL134344)(dttytxtytx)()()()(222034344）（374a26:2解解求导求导两边对两边对将将xa
13、yx3232323131xydxdydxxadxyds313121dsyxL)(3434dxxaxaxa3131023232344)(对称对称374a27dyyxxxyydxyxL)ln(.72222的一段的一段到到上由上由是是其中其中),(),(sin0302 BAxyL 2 3AB:解解BALBALdxdyyPxQBALD)(Ddxdyy294dxxBA 232225 BALBAL)(22549 94252 28方向取逆时针且为半径的圆周为中心是以点其中,1,)0,1(4.822RRLyxydxxdyIL:解解,224yxyP,224yxxQ,时时当当0422 yxxQyxxyyP2222
14、244)(,)(不包含原点不包含原点时时当当LR11dxdyyPxQID)(029方向取逆时针且为半径的圆周为中心是以点其中,1,)0,1(4.822RRLyxydxxdyIL,)(包含原点包含原点时时当当LR12,顺时针方向顺时针方向作椭圆作椭圆取足够小的取足够小的l 022 :sin,cos:yxl lLlIdxdyyPxQD)(lyxxdyydx224d02222 30222.9RzxzdSI是柱面其中截下的部分截下的部分被锥面被锥面22yxz:解解两曲面的交线两曲面的交线2222yxzxRz投影柱面投影柱面2222Ryx2222RyxDxy:dxdyzzdSyx221dxdyxRR22
15、zdSIdxdyxRRxRxyD2222322R 31dxdyzydzdxI)1(.10其中 是圆柱面 422 yx被平面 所截出部分的外侧。和和2 zx0z:1解解dxdyzydzdxI)(1dxdyzydzdx)(10ydzdx右右左左ydzdxydzdx)(DDdzdxxdzdxx2244Ddzdxx242 832:2解解dxdyzydzdxI)1(.10增加上截面上侧及下截面下侧 。21,2121011121dvdxdyzydzdx）（高高斯斯)(11111dxdyzydzdxdxdyzydzdx)()(111123120DDDxdxdydxdydxdyx)(22211dxdyzydz
16、dxdxdyzydzdx)()(4101Ddxdy 841202112 )(33无穷级数无穷级数一一、基基本本题题型型;.的的概概念念常常数数项项级级数数收收敛敛及及发发散散1;.基基本本性性质质级级数数收收敛敛的的必必要要条条件件及及2;.常用级数的敛散性常用级数的敛散性4;.法法正项级数收敛的判别方正项级数收敛的判别方5;.法法交错级数收敛的判别方交错级数收敛的判别方6;.收敛收敛级数的绝对收敛和条件级数的绝对收敛和条件7敛敛区区间间及及和和函函数数；幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径、收收.8数求和；化为等比、拆项及幂级级数的求和方法:.334;.展展式式记记住住常常用用函函数数的的幂幂级
17、级数数9;.方方法法和和间间接接方方法法函函数数展展成成幂幂级级数数的的直直接接10;.函函数数展展成成付付里里叶叶级级数数将将周周期期为为 211;.傅立叶级数收敛定理傅立叶级数收敛定理12;.余余弦弦级级数数将将函函数数展展成成正正弦弦级级数数和和13;.的的傅傅立立叶叶级级数数的的展展式式周周期期为为 l214.数的展式数的展式任意区间上的傅立叶级任意区间上的傅立叶级1535典型例题典型例题122311nnn)(.发散发散11111311311211212nn.121111nnn发散发散113nnnln.,时时当当3n,lnnnnn11发散发散36124nnnnn!.121121enuu
18、nnnnn)(limlim收敛收敛215nnnnn)(ln)(.lnnnunnnnnnln)(limlimln1nennnnlnlim)ln(ln101落比答法则落比答法则而而xxxx)ln(lnlim收敛收敛37121116nn)arcsinln(.)()arcsinln(nnn11112发散发散nnnnln)(.1117xxxfln)(设设)(ln)(2022exxxxxf时时递递减减当当9nnnln0nnnlnlim又又收敛收敛38nvnnunn1,ln设设nvuimnnnnlnlim发散发散而而11nn1nnn发发散散ln原级数为条件收敛。)()()(.011181pnnnppn011
19、211ppnppnnnnnnnulim)(limlimnppppnunnnnu1111211111)()()()(故原级数收敛 39)(pppppnnnnnnu11211222221pnpnun当 ，即 时，级数 收敛，于是原级数绝对收敛。12p2p1nnu当 ，即 时，级数 发散，于是原级数条件收敛。12p20 p1nnu4012)tan()1(.9nnnann),(,2001 收敛收敛其中其中nnnaa收敛，收敛，1nna收敛收敛12nna022 nnnaanntanlim又又绝对收敛绝对收敛121nnnann)tan()(41,0.1021nnnaaaSa设.收敛收敛证明证明12nnnS
20、a:证明证明2222211nnSaSaSannnSSaSSaSa1212211)()(nnSSSSSa1111121211nSSSa11121112a.收敛收敛12nnnSa420,0,.1111nnnnnnbabbaa设,:收敛收敛则则收敛收敛若若证明证明11nnnnab.,发散发散则则发散发散若若11nnnnba:证明证明nnnnbbaa11nnnnbaba1111bannbbaa11,收敛收敛则则收敛收敛若若11nnnnab.,发散发散则则发散发散若若11nnnnba43.5)1(.121111的收敛区间及和函数求nnnnxn:解解5151511nnnnnnnnaa)(limlim51
21、R;,发散发散级数级数时时当当155nnx;)(,收敛收敛级数级数时时当当11515nnnx,(55收敛区间为收敛区间为在收敛区间内在收敛区间内11151nnnnxnxS)()(令令nnnnxnx1151)(44dxxnxnnnnx)(11051dxxxnnnnx)(111051dxxxnnnx)()(1110515dxxxx05115,()ln(5551xxx45.)!12(1)1(.13120的和函数求nnnxnn:解解),(收敛域为收敛域为1201211nnnxnnxS)!()()(记记dxxnndxxSnnnxx120001211)!()()(22012211nnnxn)!()(120
22、12112nnnxnx)!()(xxsin2)sin()(xxxS2),()cos(sinxxxx2146的幂级数展成将xxxxxf222)(.14:解解)()(xxxxxxxf212222xxx211131211110 xxxnn而而22212121121210 xxxxnnn)()()(32xxf0nnx)()(02121nnnx201211131nnnnx)(11x47上展开为正弦级数在把,0)()(.15xxxf.)()(3212113311 nnn并证明并证明:解解奇延拓奇延拓将将)(xfnxdxxxbnsin)(022为偶数为偶数为奇数为奇数nnn083,边界延拓后连续边界延拓后连
23、续xnnxfn13121218)sin()()(10 x2 x令令.)()(3212113311 nnn48.)(),34(),23(),0(),2(),()()()(,2)(.16的值求为的傅立叶级数的和函数且为周期以已知SSSSSxSxfxexfxfx:解解的图形的图形)(xS 3 322eS)(10)(S2223 eSS)()(323234 eSS)()(2 eeS)(49常微分方程一一、基基本本题题型型:.一阶方程的求解方法一阶方程的求解方法1分离变量、分离变量、齐次方程、齐次方程、一阶线性方程、一阶线性方程、贝努利方程、贝努利方程、全微分方程、全微分方程、通通过过变变换换可可求求解解
24、的的方方程程;.可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程2线性方程解的结构定理线性方程解的结构定理.3.非齐次方程非齐次方程二阶线性常系数齐次和二阶线性常系数齐次和450典型例题典型例题)ln(ln.xyydxdyx1解:原方程改写为 xyxydxdylndxduxudxdyuxy,令令uudxduxuln分离变量 xdxuudu)(ln1两边积分 Cxulnln)ln(ln1从而通解为 1Cxxey51yyxydxdycos.22解:将原方程写成 yyxydydxcos1Cdyeyyexdyydyy11)cos(Cdyyyyy1)cos()sin(yCy52yxyyx243.解:原方程变形为 214
25、xyyxdxdy属于 的伯努利方程。21n211/yyzn令令dxdyydxdz2121/22xzxdxdz方方程程为为CdxxxCdxexezdxxdxx212222)ln(Cxx2125302422dyyxydxyxy)().(:解解线性线性不是分离变量、齐次、不是分离变量、齐次、yxyxyydxdy222分项组合分项组合0222dyyyxdyydxdxxy)()(乘乘用用21yyx),(01122dyyyxdyydxxdx)(Cyyyxxln2通解为通解为54yyxdxdycossin.15解:将方程改写为 1xydxdyysincosyusin令令代入方程得 1xudxdu)()()(
26、CxeeCdxexeCdxexeuxxxxdxdx11故原方程通解为 xCexysin55 10102622)(,)()(.yyyyyydydppdxdydydpdxdpypy,:令令解解222ypdydpypypydydp221)(11112CyyCdyyeepdyydyy由初始条件 知 代入上式得：110yxp01C22yp yp从从而而dxydy两边积分并整理得 xeCy21102Cy,)(由由故所求特解为 xey560327 yyy.0322 rr特征方程特征方程解解:ir2121,sincosxCxCeyx2221通解通解084 yyyy)(.0134rrr特征方程特征方程解解:ir
27、r232114221,sincos)(xCxCeexCCyxx2323232121通解通解57的通解的通解求求xxeyyy2449.0442 rr特征方程特征方程解解:221,r对应齐次方程通解对应齐次方程通解xexCCY221)(,是二重根是二重根 xebaxxy22)(*可设可设061ba,代入方程得代入方程得xexy2361*通解通解xexCCy221)(xex236158.10的通解的通解求求xeyyyx252cos 0522 rr特征方程特征方程解解:ir2121,sincosxCxCeYx2221对对应应齐齐次次方方程程通通解解是根是根ii21 xexbxaxy)sincos(*2
28、2可设可设410ba,代入方程得代入方程得xeyx241sin*通解通解sincosxCxCeyx2221xex241sin59通通解解形形式式求求xexxyyx3112coscos.012r特征方程特征方程解解:ir21,xCxCYsincos21对应齐次方程通解对应齐次方程通解式式下面分别下方程特解形下面分别下方程特解形)(1xyy)(cos2xyy)(cos232xeyyx 211axay*)sincos(*xbxbxy212)sincos(*xdxdeyx332123原方程通解形式原方程通解形式*sincos32121yyyxCxCy60,.xxxxexeyexey22112已知已知齐
29、次齐次是某二阶常系数线性非是某二阶常系数线性非xxxeexey23.,求出微分方程求出微分方程微分方程的三个解微分方程的三个解解：由线性微分方程解的结构理论知，及 是对应齐次方程 xeyy223xeyy13的解且它们线性无关，根根为为齐齐次次方方程程的的特特征征方方程程的的,1221rr齐齐次次方方程程的的特特征征方方程程为为012)(rr022rr)(xfyyy 2可设方程为可设方程为,代入代入将将xxexey21xxxeexf2)(方程为方程为xxxeeyyy22 61已知曲线积分已知曲线积分.13,cos),(sin),(与路径无关与路径无关xdyyxFxdxyyxFL010),(,FF
30、且且具有一阶连续偏导具有一阶连续偏导其中其中.)(),(xyyyxF 决决定定的的隐隐函函数数求求由由0:解解,xQyPxFxyFxFxFyxsinsinsincosxyFFyxtan决定的隐函数导数为决定的隐函数导数为又由又由0),(yxFxyFFyyxtan62分离变量得分离变量得Cxylncoslnln10)(y又又1 Cxycos163 14.求满足 的具有二阶连续导数的函数 ，使 1010)(,)(ff)(xf0223dyxfxydxxf)(sin)(是全微分方程，并求此全微分方程的积分曲线中经过 的一条积分曲线。),(1 解：由 yPxQ)()(cosxfxfx 23xxfxf23cos)()(解得 xCxCYsincos21xBxAy22sincos令令代入方程得 01BA,64所以微分方程通解为 xxCxCxf221cossincos)(1010)(,)(ff由由1021CC,xxxf2cossin)(因此全微分方程为 0222232dyxxxydxxx)sincossin()cos(sin02212dyxxydxxx)sin(cos)cos(sin即即),(),()sin(cos)sin(cos),(yxyyxxdyxxyxu0002212210所以全微分方程通解为 Cyxx)sin(cos22111Cyx,|由由于是所求积分曲线为 xxy2211sincos
