1、第三章第三章 不定积分不定积分 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 不定积分的计算不定积分的计算高等数学高等数学2023-5-8一、原函数一、原函数二二 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念三三 不定积分的性质不定积分的性质四四 基本积分表基本积分表3.1 3.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、一、原函数的概念原函数的概念引例：已知物体的运动方程为引例：已知物体的运动方程为 ,则物体则物体运动的即时速度为运动的即时速度为 ;如果已知物体的如果已知物体的速度方程为速度方程为 ,则物体运动的位移如何计则物体运动的位移如何计算呢算呢?()ss t()()v ts t()v
2、v t?()v t例例 设曲线通过点（设曲线通过点（2 2，5 5），且其上任一点处的切），且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy 1、定义、定义 如果在区间如果在区间 内的每一点处内的每一点处,有有 或或 则称则称 是是 在区间在区间 内的内的一个原函数。一个原函数。I()f x()F x()(),dF xf x dxI()()F xf x例如例如:因为因为 sincos xxxR 所以所以 是是 在在 内的一个原函数内的一个原函数.sinxcosx,问题：
3、问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么关系若不唯一它们之间有什么关系?2、原函数的性质、原函数的性质1）如果有）如果有 ，则，则()()Fxf x()()F xCf x2）如果）如果 ，则，则 。()()()F xG xf x()()F xG xC（常数）I结论：如果函数结论：如果函数 在区间在区间 内有原函数内有原函数 ，则，则 有无穷多个原函数，且所有的原函数可用式子有无穷多个原函数，且所有的原函数可用式子 表示。表示。()f x()F x()f x()F xC原函数存在的充分条件原函数存在的充分条件 如果函数如果函数f(x)在区间在区间I内内连续连续，则
4、函数，则函数f(x)在该区间内在该区间内一定有原函数一定有原函数。二、不定积分的概念二、不定积分的概念 函数函数f(x)在区间在区间I内的所有的原函数构成的集合，称内的所有的原函数构成的集合，称为函数为函数 f(x)在区间在区间I内的不定积分，记作内的不定积分，记作 。()f x dx即即注：鉴于原函数不唯一，积分方法不同得到的原函数注：鉴于原函数不唯一，积分方法不同得到的原函数形式不一定相同，只要相差一个常数即可。形式不一定相同，只要相差一个常数即可。验证积分的方法：积分后的结果求导看是否等于被积函数验证积分的方法：积分后的结果求导看是否等于被积函数任意常数任意常数被积表达式被积表达式积分号
5、积分号积分变量积分变量 CxFdxxf)()(为被积函数为被积函数)(xf211dxx1、求解解由于由于 ,21(arctan)1xx所以所以 的一个原函数，的一个原函数，21arctan1xx是2arctan1dxxCx故 1d xx2、求所以所以1ln|,(0).dxxCxx1ln|xx解解因为因为由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知,)()(dxxfdxxfd 结论：结论：微分运算与积分的运算是微分运算与积分的运算是的的.三、不定积分的性质.)()(CxFxdF或或 ),()(xfdxxfdxd 1、,)()(CxFdxxF2、)()()(.03kdxxfkdxxkfdxxgdx
6、xfdxxgxf)()()()(.4 设曲线通过点（设曲线通过点（2 2，5 5），且其上任一点处的切线），且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程.,22 Cxxdx解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy,)(2Cxxf .由曲线通过点（由曲线通过点（2 2，5 5）,1 c所求曲线方程为所求曲线方程为.12 xy代入上式，得代入上式，得函数函数的原函数的图形称为的原函数的图形称为的的积分曲线积分曲线显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.)(xf)(xf基本积分表基本积分表
7、 P94 (1)0(2)(3)(1)1(4)(5)(6)xxdxkdxx dxdxxe dxa dx 22221(7)11(8)1(9)sin(10)cos(11)sec(12)csc(13)sec tan(14)csc cotdxxdxxxdxxdxxdxxdxxxdxxxdxCkxC111xCln xCxeClnxaCaarctan xCarcsin xCcosxC sin xCtan xCcot xC secxCcscxC arccot xC arccosxC 不定积分的计算方法不定积分的计算方法 直接积分法、换元积分法、分部积分法直接积分法、换元积分法、分部积分法第一类换元积分法第一类
8、换元积分法第二类换元积分法第二类换元积分法3.2 不定积分的计算不定积分的计算3(1)dxx3x dx212Cx 3 13 1xC 2(2)xxdx7227x52x dx512521xC不能漏写不能漏写积分常数积分常数一、直接积分法一、直接积分法 例题：例题：CCeedxexx)ln()()(222原式原式Cexx122lndxexx23、)(22315(5)3sin 2(1)3 1x dxxxx223111153 sin2311dxdxdxxdxxxx3cos x5ln|xC1arcsin3x3arctan2x22sin31()2cossinxdxxx222()3xxdxx1cos3tanc
9、ot2xxxC 3112()2ln|3ln2ln3 3xxxC42(6)1xdxx421 11xdxx 222(1)(1)11xxdxx221(1)1xdxx 2211x dxdxdxx31arctan3xxxC 2(7)tan xdx2(sec1)xdx2sec xdxdxtanxxC22cos2sincosxdxxx解解 原式原式 2211sincosdxxx22cscsecxx dxcottanxxC 2222cossinsincosxxdxxxdxxx22sincos1练习练习：222222cossincossin(cscsec)tancotxxdxxxxx dxxxC1(2)()dd
10、xx21(3)()1ddxx在括号中填入适当的函数，使等式成立在括号中填入适当的函数，使等式成立arctan xln xxdxd2cos)()4(x2sin21dxd5)()1(x53.2、换元积分法、换元积分法xdx5sin该复合函数不能直接积分该复合函数不能直接积分sincosxdxxC 我们有我们有形式不一致形式不一致公式公式被积函数被积函数 不能变不能变，x5sin变积分变量变积分变量)5(5sin515sinxxdxdxxu 5令udusin51dx形形式式凑凑成成)(xd 5Cu cos51Cx 5cos51)5(51xddx 22214 csc 2cossindxxdxxxdxx
11、x22sincos1214csc 222xd x22 csc2cot2cot2uduuCxC 2ux若被积表达式能凑成如下形式：若被积表达式能凑成如下形式：一般地，要求一般地，要求()g x dx积积分分，又不能直接利用公式又不能直接利用公式 ()()fxx dx 令令()()uxf u du CxF )(还原还原即即()g x dx ()()fxdx 因此，这种计算不定积分的方法又称为因此，这种计算不定积分的方法又称为凑微分法，凑微分法，积分公式积分公式CuF)(注意：使用此公式的关键在于从被积函数中分离出使用此公式的关键在于从被积函数中分离出因子因子)()(xddxx结合凑成微分结合凑成微
12、分与与该方法利用复合函数微分的逆过程该方法利用复合函数微分的逆过程)5(5sin515sinxxdxdx2214 csc 24csc 2(2)2xdxxdx22sincossin(sin)xxdxxdxudusin51duuxu2sin2ux22 csc uduxu 5令几个常用的三角公式几个常用的三角公式21 cos 2sin,2xx21 cos 2cos2xx1sinsincoscos21coscoscoscos21sincossinsin2)sin()sin(sincos21dxxx21)(21xd利用利用 凑出凑出 dxx与与)(2121xdxdxdxxex211xeC 1ux)(xd
13、dxx112)(xdex11原原式式cedueuu例：例：)(221121xdx原式原式Cx23213221)(.Cx232131)(duu2121xu22(arcsin)1dxxx1arcsinCx arcsinuxxdxxtansec2xutanCx2tan2)(arcsin xddxx211duu21)(tantanxdxCuduu22dxxx12)(1212xdxdx解解：)(1112122xdx原原式式Cx1212lndxxx)cos(2)(221xdxdx 解解：)()cos(2221xdx原原式式Cx)sin(221例 求求.2cos3cos xdxx解),cos()cos(21
14、coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 22xadx22xadx21)(axadx原原式式21)()(axaxdCax arcsin)(22221axadxxadx原式原式)()(21axaaxdCaxaarctan1例 求证求证.cotcsclncscCxxxdx解（一）dxxsin1 xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.cotcsclnCxx （使用了三角函数恒等变形）xdxcsc解（
15、二）dxxsin1 dxxx2sinsin)(coscos112xdxxucos duu211)(duuduu111121.cos1cos1ln21Cxx )(uuu111121112Cuu1121ln.tanseclnsecCxxxdxdxxdxx)csc(sec2 由上题结果可知由上题结果可知Cxx)cot()csc(ln22 Cxxtansecln类似地可推出类似地可推出;tanseclnsec)15(Cxxxdx;cotcsclncsc)16(Cxxxdx;arctan11)17(22Caxadxxa;arcsin1)18(22Caxdxxa补充公示补充公示2、第二换元法、第二换元法
16、dxxxf)()(凑微分法是通过中间变量凑微分法是通过中间变量 将积分将积分 化成化成 ,下面要介绍下面要介绍的换元积分法是通过变量代换的换元积分法是通过变量代换 将积分将积分化为积分化为积分)(xu duuf)()(tx dtttf)()(dtttfdxxf)()()()(tx CtF)(CxFxt)()(11 第二换元法中用来代换的第二换元法中用来代换的)(t 可导且存在反函数可导且存在反函数)(xt1 注注:t22xa xa例 求求).0(22 adxxa解22,sin ttaxtdtadxcos tataaxacossin22222 tdtatadxxacoscos22222atdta
17、cosCttatacossin2222Cxaxaxa22221arcsin2axtarcsin 换元后换元后得得dtt221 cosCtata42222sin解解taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtttansecln 2,2 t122lnCaxx aCCln1 其中其中 求求).0(122 adxaxtax22ax .ln22Caaxax 例 求求).0(122 adxax令令tax22ax 解taxsec 2,0 ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sec
18、.ln22Caaxax 122lnCaxx aCCln1 其中其中说明以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换，即第二换元三角代换，即第二换元.三角代换的三角代换的目的目的是去掉根式是去掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax dxx11例例去根式去根式2txxt解：解：tdtdx2ttdt12原原式式)11(21112dttdtdtttCtt1ln22Cxx1ln22属于第二换元法属于第二换元法dxxx3166txxt解：令解：令dttdx
19、56dtttdtttt1663235原式原式dtttttdttt11116111623)()(dttdttt11162Ctttt163223ln即即可可还还原原为为将将xt231uduu1311uduu 213(ln1)2uuuC 解解 令令 3,ux则则32,3x udxu du原式原式 323333(ln1)2xxxC 直接令根式为直接令根式为u，化根式为有理式化根式为有理式例例231dxx 求不定积分求不定积分 221udxduu221duu解解 2ln1,xu则则 1xdxe例例3求不定积分求不定积分 令令 1,xeu原式原式 11()11duuu1ln1uCu1111lnln1111
20、xxxxeeCCee直接令根式为直接令根式为u，化根式为有理式化根式为有理式 求积分求积分.cos xdxx3.3 分部积分法分部积分法两边同时取积分两边同时取积分dxuvuvdxvu或写成或写成vduuvudv分部积分部积分公式分公式利用分部积分公式求函数积分，关键恰当选取被积函利用分部积分公式求函数积分，关键恰当选取被积函数哪个为数哪个为u哪个为哪个为dvv 或或vuvuuv由导数乘积公式由导数乘积公式移项，得移项，得uvuvvu)(求积分求积分.cos xdxx如果令如果令,cosxu 22xvxv xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然，选择不当，积分更难进行选择不
21、当，积分更难进行.vu,解,xu xdxdvcos xdxxcos xdxxxsinsin.cossinCxxx 1uxvsin利用分部利用分部积分公式积分公式dxuvuvdxvu代入公式代入公式失败！失败！（2）要要比比利利用用公公式式后后，积积分分vdu容易积出容易积出.udv（1）vdv易确定出易确定出由由一般要考虑下面两点：一般要考虑下面两点：和和选取选取udv分部积分公式可以连续使用分部积分公式可以连续使用 求积分求积分.2 dxexx dxexx2解,2xu xdxduevdxedvxx2 dxxeexxx22)(dxexeexxxx22原原式式（再次使用分部积分法）（再次使用分部
22、积分法）,xu xxevdvdxe由公式由公式Cexeexxxx)(22注：多次利用分部积分公式求积分时，要令同类型注：多次利用分部积分公式求积分时，要令同类型的函数为的函数为uvduuvudv,ln xu)(4341xddxxdv414vxdxxx ln3dxxxxx141ln4144Cxxx44161ln41 求求dxxx ln3思考：恰当选取思考：恰当选取dvu、从而确定从而确定v函数函数解：解：令令由分部积分公式由分部积分公式vduuvudvdxx arctandxxxxx 21arctan 221)1(21arctanxxdxxCxxx )1ln(21arctan2 xuarctan
23、 xvdxdvdxxdu211 dxx arctan求求解：设解：设代入公式代入公式dxxxarctandxxxarctan解：令解：令xuarctan22xvxdxdv由公式由公式dxxxxx2221122arctan)(arctandxxdxxx2211212sinxxdesincosxxexexdxcossinxxdexx esincossinxxxeexex xxdCxxexdxexxcossin2sinudvuvvdu解（解（一）一）xdxexsin例例求不定积分求不定积分 原式原式 所以所以 思考：令思考：令?sin xdxdveuxdv解（二）：解（二）：原式原式=)cos(xd
24、exxvcosdxexxexxcos)cos(xvxdexexxsin)(sin)cos(xdxexexexxxsinsin)cos(此时此时 的选择任意的选择任意dvu,一般规律一般规律,dxdx幂函数 三角函数幂函数 指数函数,dxdx幂函数 对数函数幂函数 反三角函数令幂函数为令幂函数为 udx指数函数 三角函数两次使用分部积分公式，返回到原积分，变形，得解两次使用分部积分公式，返回到原积分，变形，得解 注意：注意：第二次使用分部积分公式时，第二次使用分部积分公式时，u与与dv的选的选择，必须与第一次的选择同类择，必须与第一次的选择同类。令幂函数为令幂函数为 v选择方式可以任意选择方式可
25、以任意xxd tansecxdxxxxsectantansec2xdxxxxsec1sectansec23secsec tansecxxddxxx xdxx3secCxxxxtanseclntansec21解解 xdx3sec举例举例求不定积分求不定积分 原式原式 3sec tanln sectsecanxxxxxxd所以所以 udvuvvdu21ln2lnxxxxdxx2ln2 lnxxxdx2ln2 lnxxxxdx2ln2 ln2xxxxxC解解 2ln xdx例例求不定积分求不定积分 原式原式 udvuvvdu利用分部积分公式求下列函数的不定积分积分利用分部积分公式求下列函数的不定积分
26、积分xdxxxarcsinarcsin2arcsin1xxxdxx2arcsin1xxxC解解 arcsin xdx例例求不定积分求不定积分 原式原式 221(1)arcsin21dxxxdxxudvuvvdudxxxxlncoslnsindxxxxxx1lncoslnsinsin lncos lsin lnnxxxdxxx1sin lnsin lncos ln2x dxxxxxC解解 dxxlnsin例例求不定积分求不定积分 原式原式 所以所以 udvuvvdu.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(两个多项式的商表示的函数.有理函数的定义：其中其中都
27、是非负整数；都是非负整数；nm、及及naaa,10都是实数，并且都是实数，并且0,0 bambbb,10三、有关有理分式函数的积分三、有关有理分式函数的积分假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 有理函数是真分式；,)2(mn 有理函数是假分式；有理函数有以下性质：1）利用多项式除法,假分式可以化成一 个多项式和一个真分式之和.例如，我们可将例如，我们可将化为多项式与真分式之和化为多项式与真分式之和1123 xxx112 xx2）多项式在实数范围内可分解为若干一次因式和）多项式在实数范围内可分解为若干一次因式和二次因式乘积的形式二次因式乘积的形式根据性质根据性质2，真分式有如下分解形式，真分
28、式有如下分解形式1在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和)5)(2(32103322 xxxxxx52 xBxA确定系数确定系数A、B方法一（比较系数法方法一（比较系数法)()(2532xBxAx 方法二（赋值法）方法二（赋值法）)2()5(32 xBxAx令2 x得得1 A令令5 x得得1 B两种方法都能得到两种方法都能得到5121)5)(2(32103322 xxxxxxxx例如：例如：dxxxx103322求求51215232103322xxxxxxxx)(dxxdxx5121原原式式解：解：Cxx52lnln3）含有重因式的真分式的积分221)(xx222)(xCxBxA赋值法确
29、定系数赋值法确定系数CxxBxxA)()(2212410Ax得得,212Cx得得,411Bx得得,dxxx221)(求求dxxdxxdxx221212141141)(原原式式3）含二次因式的真分式含二次因式的真分式121)1)(21122xCBxxAxx（同理用赋值法，得同理用赋值法，得51,52,54CBA22211)(1 2)421151 25 15 1dxxxxdxdxdxxxx（求积分求积分dxxx2231解dxxx223122)21(12)1(4xdxxdxCx21arcsin相似题型练习：相似题型练习：1862xxdxdxxxx6122239)(xdx原原式式)33arctan(3
30、1)33(1)33(312xxxd求不定积分方法小结求不定积分方法小结1、直接积分法、直接积分法变形、用公式（变形、用公式（14+2）2第一类换元积分法第一类换元积分法 ()()fxx dx凑微分凑微分 ()dx3第二类换元积分法第二类换元积分法 2222(),()fxadxfaxdx利用三角代换，化无理根式为有理式利用三角代换，化无理根式为有理式 含根式的含根式的4、分部积分法（公式法）、分部积分法（公式法）udvuvvdu5、有理分式函数、有理分式函数方法不唯一，具体情况具体分析方法不唯一，具体情况具体分析积分结果不一定唯一积分结果不一定唯一2)()(,1)0(xxxfxFf（一）填空题（
31、一）填空题1、dxxd7sin5 。)(xf是可导函数，且)(xf则=。Cxdxxfcos)(dxxxf21)(arccos，则 。)(xF)(xf是的一个原函数，2、设设3、如果、如果dxxf)53(CxFdxxf)()(4、如果，则 。5、如果曲线)(xfy),(yx5x上点处的切线斜率与成正比，且曲线通过点)1,1()2,0(和，则曲线方程为（二）单项选择题（二）单项选择题 dxxf x)(1、Cxfxf xA)()(、dxxfxf xB)()(、Cxfxf xC)()(、Cxf xxfD)()(、xA 10)、CBx10)、2)10(ln10)xC、10ln10)xD、)(xfx10的原函数为)(xf，则2、设、设dxxxf)(Cxex)1(（A）Cxex)1(（B）Cxex)1(（C）Cxex)1(（D）xe)(xf是的一个原函数，则3、设、设xdx7sin521xCx CxF)53(3162xy答案：一、1.；2.；3.；4.；5.；
