1、节一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数问题问题:3.3.展开式是否唯一展开式是否唯一?1.1.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?是什么？是什么？如果能展开如果能展开na2两类问题两类问题:在收敛域内在收敛域内和函数和函数)(xSnnnxxa)(00 幂幂级级数数求求 和和展展 开开)()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中其中)(xRn(在在 x 与与 x0 之间之间)称为称为拉格朗日余项拉格朗日余项.10)1()(!)1()(nnxxnf则
2、在则在若函数若函数0)(xxf在的某邻域内具有的某邻域内具有 n+1 阶导数阶导数,此式称为此式称为 f(x)的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,该邻域内有该邻域内有:!)(0)(nxfann 称为泰勒系数称为泰勒系数.一、泰勒一、泰勒 (Taylor)(Taylor)级数级数阶阶泰泰勒勒多多项项式式可可以以用用在在该该邻邻域域内内nxf)(,)(!)()(!2)()()()(00)(200000近近似似表表示示nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP 为为误差误差)()(xPxfn.)!1()()(10)1(nnnxxnfxR.,)(减减小小误误差差来来提提高高精精度度泰泰勒勒多多项项式式项项数
3、数的的办办法法可可以以通通过过增增加加的的增增大大而而减减小小随随着着如如果果nxRn)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(的级数，称为的级数，称为f(x)的的泰勒级数泰勒级数.形式为形式为若函数若函数的某邻域内具有任意阶导数的某邻域内具有任意阶导数,0)(xxf在1)对此级数对此级数,它的收敛域是什么它的收敛域是什么？2)在收敛域上在收敛域上,和函数是否为和函数是否为 f(x)?待解决的问题待解决的问题:定理定理1.各阶导数各阶导数,)(0 x则则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的在该邻域内能展开成泰勒级数的充充要要条件条件是是 f(x
4、)的泰勒公式中的余项满足的泰勒公式中的余项满足:.0)(limxRnn设函数设函数 f(x)在点在点 x0 的某一邻域的某一邻域 内具有内具有 如果函数如果函数 f(x)能在点能在点 x0 的某邻域上的某邻域上 等于其泰勒级数的等于其泰勒级数的和函数，则和函数，则 称称f(x)在该邻域内可以展开成泰勒级数在该邻域内可以展开成泰勒级数.即即内内能能展展成成泰泰勒勒级级数数在在设设,)()(0 xUxf nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)()(!2)()()()(00)(200000,)()()(1xRxsxfnn ),()(lim1xfxsnn 有有.0)()(xfxf证证.)(0成
5、立成立对一切对一切xUx)()(lim)(lim1xsxfxRnnnn 所所以以.必要性必要性)()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn.充充分分性性).(0)(lim0 xUxxRnn 对对一一切切设设),()()(1xRxfxsnn )()(lim)(lim1xRxfxsnnnn 于于是是,)(xf,)()(0内收敛内收敛的泰勒级数在的泰勒级数在即即xUxf).(xf并且和函数为并且和函数为证毕证毕 nnnnnxnfxffxnf!)0()0()0(!)0()(0)(.)Maclaurin()(级级数数的的麦麦克克劳劳林林该该
6、级级数数称称为为函函数数xf得得取取,00 x.)()1()1()0(,)0(!1)()0()()(0的麦克劳林展开式的麦克劳林展开式式称为函数式称为函数级数，则有级数，则有的幂的幂内展开成内展开成能在能在如果函数如果函数xfUxxfnxfxUxfnnn .)(!1.)()()()()()(0)(00000且展开式是唯一的且展开式是唯一的则其系数则其系数的幂级数，即的幂级数，即内能展开成内能展开成且在且在内具有任意阶导数，内具有任意阶导数，在在如果函数如果函数xfnaxxaxfxxxUxUxfnnnnn 定理定理2证证即即内内收收敛敛于于在在因因为为),()()(000 xfxuxxannn
7、,)()()(0010 nnxxaxxaaxf逐项求导任意次逐项求导任意次,得得即得即得令令,0 xx )(00 xfa ,)()()(0010 nnxxaxxaaxf )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf),2,1,0()(!10)(nxfnann泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的,.)(的展开式是唯一的的展开式是唯一的所以所以xf)(01xfa ;)()1(!2)(202 nnxxannaxf)(!2102xfa 若若 f(x)能能展开成展开成)(0 xx 的幂级数，的幂级数，则这种则这种展开式是展开式是唯一唯一的的,且与它的
8、泰勒级数相同且与它的泰勒级数相同.),2,1,0()(!10)(nxfnann若若 f(x)能展成能展成 x 的幂级数的幂级数,则这种则这种展开式是展开式是 唯一唯一的的,且与它的麦克劳林且与它的麦克劳林级数相同级数相同.(1)f(x)展开成展开成)(0 xx 的幂级数，的幂级数，nnnxxaxf)()(00 ,)(!)(000)(nnnxxnxf (2)f(x)展开成展开成 x 的幂级数的幂级数,nnnxaxf 0)(.!)0(0)(nnnxnf 1.直接展开法直接展开法“f(x)展开成展开成 x 的幂级数的幂级数”步骤：步骤：第一步第一步 求函数及其各阶导数在求函数及其各阶导数在 x=0
9、处的值处的值;第二步第二步 写出麦克劳林级数写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径并求出其收敛半径 R;第三步第三步 判别在收敛区间判别在收敛区间(R,R)内内)(limxRnn 是否为是否为0.如果为零，如果为零，则函数则函数 f(x)在收敛区间内展开成在收敛区间内展开成 x 的幂级的幂级数为数为.!)0()(0)(nnnxnfxf 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数例例1.将函数将函数xexf)(展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解:)()(xfn,xe)0()(nf),1,0(1 n故得级数故得级数 )0(fxf)0(2!2)0(xf nnxnf!)0()(1其收敛半径为其收敛半径
10、为 对任何有限数对任何有限数 x,其余项满足其余项满足 nRlim!1n!)1(1 nx 2!21x 3!31x nxn!1 )(xRn e!)1(n1 nxxe!)1(1 nxn(在在0与与x 之间之间)01!)1(nnnx!)1(!)2(12lim nxnxnnn2lim nxn0 1 n0故故,!1!31!21132 nxxnxxxe),(x处处附附近近，如如果果在在0 x,ex似代替似代替用级数的部分和来近用级数的部分和来近,ex就越来越接近于就越来越接近于随着项数的增加，它们随着项数的增加，它们如图，如图，xyo1xey 62132xxxy 212xxy xy 1例例2.将xxfsi
11、n)(展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解:)()(xfn)0()(nf得级数:x)sin(2nx其收敛半径为,R对任何有限数 x,其余项满足 )(xRn)1(sin(2 n!)1(n1nx!)1(1nxn12kn),2,1,0(k3!31x5!51x12!)12(11)1(nnnx),(xxsinn0kn2,)1(k,012!)12(115!513!31)1(nnnxxxx nnnnnxnfxffxnf!)0()0()0(!)0()(0)(缺少偶次幂的项，用比值审敛法求收敛半径.2.间接展开法间接展开法例如例如)(sincos xx )!2()1(!41!211cos242nxxxxnn
12、),(x )!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnn 根据唯一性根据唯一性,利用常见展开式利用常见展开式,通过变量代通过变量代换、换、四则运算、恒等变形、四则运算、恒等变形、逐项求导、逐项求导、逐项积逐项积分等方法，求展开式分等方法，求展开式.,0csc,cot 时时其其绝绝对对值值趋趋向向当当xxx所以谈不上它们在原点连续，更谈不上具有一切阶的导数，因而它们不能在原点周围展成幂级数.xx sec,tan展成幂级数的问题比较复杂.例例3.112的幂级数的幂级数展开成展开成将函数将函数xx 解解因为因为),11(1112 xxxxxn，得得换换成成把把2xx).11()1(111
13、2422 xxxxxnnxarctan展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解:)(arctan x211x 02)1(nnnx)11(xxarctan xxx021dxxxnnnd)1(002 xxnxnnd)1(002 0n12)1(12 nxnn)11(x上式右端的幂级数在上式右端的幂级数在 x 1、-1 收敛收敛,在在而而xarctanx 1、-1有定义且连续有定义且连续,所以展开式对所以展开式对 x 1、-1也是也是成立的成立的,.11 x于是收敛域为于是收敛域为)11(x 121)1(513114nn 例例4.将函数将函数)1ln()(xxf 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解
14、解:xxf 11)()11()1(0 xxnnn从从 0 到到 x 积分积分,得得)1ln(x xxx01dxxxnnnd)1(00 xxnxnnd)1(00 0n1)1(1 nxnn)11(x定义且连续定义且连续,域为域为.11 x上式右端的幂级数在上式右端的幂级数在 x 1 收敛收敛,有有在在而而1)1ln(xx所以展开式对所以展开式对 x 1 也是成立的也是成立的,于是收敛于是收敛)11(x例例5.将函数将函数利用此题可得11)1(41312112lnnn)2ln(x 展开成展开成解解:x的幂级数的幂级数.)1ln(x 1)1(4321432nxxxxxnn1 ,1(x)2ln(x)21
15、(2ln x )21ln(2ln x 例例6.将将 1133222)1()1(232222lnnnnnxxxx 112)1(2lnnnnnnx)22(x例例7.将xxf1)(展成 x3 的幂级数.解解:331)(xxf311.31)(ttf 1003)3()1(33)1(31)(nnnnnnnxxxf)60(x)33(tnnnt)3()1(310 31)(,3 ttfxt则则有有令令x11,)1(0nnnx )1,1(x例例8.将将3412 xx展开成展开成(x1)的幂级数的幂级数.解解:3412xx)3)(1(1 xx)3(21)1(21xx 21)1(x 2 21)1(x 4 141 21
16、 x 181 41 x,121 x141 x)21(x41 nnnx)21()1(0 81 nnnx)41()1(0 nnnnnx)1(2121)1(3220 )31(xxe .1,!1!31!21132 nxnxxx),(x内容小结内容小结常用函数的幂级数展开式常用函数的幂级数展开式),(xxsin .2 12!)12(15!513!31)1(nnnxxxxxcos .3 nnxnxx242!)2(1)1(!41!211),(x)1ln(.4x 1)1(4321432nxxxxxnn1 ,1(xmx)1(.5 xm1 2!2)1(xmm nxnnmmm!)1()1()1 ,1(x说明：说明：(1)在在 x1 处的收敛性与处的收敛性与 m 有关有关.(2)当当 m 为正整数时为正整数时,上式就是代数学中的上式就是代数学中的二项式定理二项式定理.特别地：特别地：x 11 nxxx21)1 ,1(x结束谢谢观赏！
