1、一、集合1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集无限集,Ma,Ma.,的子集的子集是是就说就说则必则必若若BABxAx .BA 记作记作第1页/共63页数集分类:N-自然数集Z-整数集Q-有理数集R-实数集数集间的关系:.,RQQZZN .,相等相等与与就称集合就称集合且且若若BAABBA )(BA ,2,1 A例如,0232 xxxC.CA 则则不含任何元素的集合称为空集.)(记作记作例如,01,2 xRxx规定规定 空集为任何集合的子集.第2页/共63页集合的运算集合的运算（1）集合的并|,
2、BxAxxBABABABABA 或或即即的并，记为的并，记为与与称为称为，的所有元素构成的集合的所有元素构成的集合和和，由，由和和设有集合设有集合（2）集合的交|,BxAxxBABABABABA 且且即即的交，记为的交，记为与与集合，称为集合，称为的所有公共元素构成的的所有公共元素构成的和和，由，由和和设有集合设有集合第3页/共63页（3）集合的差|,BxAxxBABABABABA 且且即即的差，记为的差，记为与与的集合，称为的集合，称为的所有元素构成的所有元素构成而不属于而不属于，属于，属于和和设有集合设有集合（4）集合的补|,AAxUxxAAAU 且且即即的补集，记为的补集，记为为为的元素
3、构成的集合，称的元素构成的集合，称中所有不属于中所有不属于全集全集第4页/共63页集合的运算律集合的运算律（1）交换律：ABBAABBA （2）结合律：)()()()(CBACBACBACBA （3）分配律：)()()()()()(CBCACBACBCACBA （4）摩根律：)()(BABABABA 第5页/共63页2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且bxax 称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间,ba记作记作oxaboxab第6页/共63页bxax bxax 称为半开区间,称为半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作
4、),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.第7页/共63页3.3.邻域邻域:.0,且且是两个实数是两个实数与与设设a).(0aU 记作记作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫做这邻域的半径叫做这邻域的半径.)(axaxaUxa a a ,邻域邻域的去心的的去心的点点 a.0)(axxaU,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 第8页/共63页4.4.常量与变量常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量
5、称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.第9页/共63页5.5.绝对值绝对值:00aaaaa)0(a运算性质:;baab ;baba.bababa )0(aax;axa )0(aax;axax 或或绝对值不等式:第10页/共63页二、映射1 1 映射概念映射概念 设 是两个非空集合，如果存在一个法则 ,使得对于 中每个元素 ，按法则 在 中有唯一确定的元素 与之对应，则 称为从 到 的映射，记作 其中 称为元素 （在映射 下）的像，并记作 ，即 而元素 称为元素 （在映射 下）的一个原像；集合 称为映射 的定义域，记作 ，即 ；中所有元素的像所组成的集合称为映射 的值域，记
6、作 或 ，即YX、fxfXYyfXYYXf:yxf)(xf)(xfy xyfXffDXDf XffR)(Xf|)()(XxxfXfRf 第11页/共63页从上述映射的定义中，需要注意的是：（1 1）构成一个映射必须具备以下三个要素：集合 ，即定义域 ；集合 ，即值域的范围：；对应法则 ，使对每个 ，有唯一确定的 与之对应.XXDf YYRf fXx)(xfy （2 2）对每个 ，元素 的像 是唯一的；而对于每个 ，元素 的原像不一定是唯一的；映射 的值域 是 的一个子集，即 ，不一定 .Xx xyfRy yffRYYRf YRf 满射、单射与双射满射、单射与双射第12页/共63页 设 是从集合
7、 到集合 的映射，若 ，即 中任一元素 都是 中某元素的像，则称 为 到 上的映射或满射；若对 中任意两个不同元素 ，它们的像 ，则称 为 到 的单射；若映射 既是单射又是满射，则称 为一一映射（或双射）fXYYRf YyXYfffYXXXf21xx )()(21xfxf 2.2.逆映射与复合映射逆映射与复合映射 设 是从集合 到集合 的映射，则由定义，对每个 有唯一的 ，适合 .于是，可以定义一个从 到 的新映射 ，即 对每个 ，规定 ，这 满足 .这个映射 称为 的逆映射，记作 ，其定义域 ，值域 fXYfRy Xx yxf)(fRXgXRgf:fRy xyg)(xyxf)(f1 fgff
8、RD 1XRf 1第13页/共63页注意：注意：只有单射才存在逆映射只有单射才存在逆映射.复合映射：设有两个映射 其中 .则有映射 可以定义一个从 的对应法则，它将每个 映成 .显然，这个对应法则确定了一个从 的映射，这个映射称为映射 构成的复合映射，记作 ，即 ZYfYXg21:,:21YY fg和和ZX到到Xx Zxgf)(ZX到到fg和和gf,:ZXgf注意：注意：的值域的值域 必须包含在必须包含在 的定义域内，即的定义域内，即 ggRffgDR 第14页/共63页因变量自变量.)(,000处的函数值处的函数值为函数在点为函数在点称称时时当当xxfDx .),(称为函数的值域称为函数的值
9、域函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集DxxfyyW 数集D叫做这个函数的定义域)(xfy 变量变量y按照一定法则总有按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称确定的数值和它对应，则称y是是x的的函数函数，记作，记作定义定义 设数集设数集DR，则称映射，则称映射RDf:为定义为定义在在D上的函数上的函数.即对于每个数即对于每个数Dx,三、函数三、函数第15页/共63页()0 x)(0 xf自变量因变量对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域与对应法则.xyDW约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.21xy 例如，例如，1,1:D211xy 例如，例如，)1,1(:D第1
10、6页/共63页定义定义:.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数例如，例如，222ayx 第17页/共63页 (1)符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn第18页/共63页(2)取整函数 y=xx表示不超过 的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线x第19页/共63页 是无理数时是无理数时当当是有理数时是
11、有理数时当当xxxDy01)(有理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函数第20页/共63页(4)取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg第21页/共63页 0,10,12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.第22页/共63页例例1 1.)3(,212101)(的定义域的定义域求函数求函数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1,3:fD故第23页/共63页M-Myxoy=f(x)X
12、有界无界M-MyxoX0 x,)(,0,成立成立有有若若MxfXxMDX （1）函数的有界性:.)(否则称无界否则称无界上有界上有界在在则称函数则称函数Xxf2 2、函数的特性、函数的特性第24页/共63页（2）函数的单调性:,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI;)(上是单调增加的上是单调增加的在区间在区间则称函数则称函数Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有o)(xfy)(1xf)(2xfxyI第25页/共63页)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的上是单调减少的在区间
13、在区间则称函数则称函数Ixf,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI),()()2(21xfxf 恒有恒有第26页/共63页（3）函数的奇偶性:偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf xyx)(xf )(xfy o-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf第27页/共63页有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数)(xf yx)(xfox-x)(xfy 第28页/共63页（4）函数的周期性:（通常说周期函
14、数的周期是指其最小正周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的)()(xflxf 且且为周为周则称则称)(xf.)(,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl.恒成立恒成立第29页/共63页例例2 2解解,01)(QxQxxD设设.)().21(),57(的性质的性质并讨论并讨论求求xDDDD ,1)57(D,0)21(D,1)(xDDoxy1单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期)不是单调函数,第30页/共63页0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函数函数
15、oxyDW)(yx 反函数反函数o3 3、反函数与复合函数、反函数与复合函数(1)反函数设函数射射是单射，则它存在逆映是单射，则它存在逆映)(:DfDf的逆映射的逆映射为函数为函数则称此映射则称此映射ffDDff11,)(:第31页/共63页)(xfy 直接函数直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线 对称.xy 第32页/共63页（2）、复合函数,uy 设设,12xu 21xy 定义:设函数设函数)(ufy 的定义域的定义域fD,而函数而函数)(xu 的值域为的值域为 Z,若若 ZDf,则称则称函数函数)(xfy 为为x的的复合函数复合函数
16、.,自变量自变量x,中间变量中间变量u,因变量因变量y第33页/共63页注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 第34页/共63页(1)幂函数)(是常数是常数 xyoxy)1,1(112xy xy xy1 xy 4.4.初等函数初等函数第35页/共63页(2)、指数函数)1,0(aaayxxay xay)1()1(a)1,0(xey 第36页/共63页(3)、对数函数)1,0(log aaxyaxyln xya
17、log xya1log)1(a)0,1(第37页/共63页(4)、三角函数正弦函数xysin xysin 第38页/共63页xycos xycos 余弦函数第39页/共63页正切函数xytan xytan 第40页/共63页xycot 余切函数xycot 第41页/共63页正割函数xysec xysec 第42页/共63页xycsc 余割函数xycsc 第43页/共63页(5)、反三角函数xyarcsin xyarcsin 反正弦函数反正弦函数第44页/共63页xyarccos xyarccos 反余弦函数反余弦函数第45页/共63页xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数第4
18、6页/共63页 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.xycot 反余切函数反余切函数arcxycot arc第47页/共63页初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.第48页/共63页例例3 3).(,0,10,2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求设设解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10时时当当 x,0 x或或,12)(xx;20 x,0 x或或,11)(2 xx;1 x第49页/共63页,1)(20时时当当 x,0 x或或,12)(xx;2
19、x,0 x或或,11)(2 xx;01 x综上所述.2,120011,2,)(2122 xxxxxexexfxx 第50页/共63页2sinhxxeex 双曲正弦双曲正弦xycosh xysinh),(:D奇函数.2coshxxeex 双曲余弦双曲余弦),(:D偶函数.双曲函数xey21 xey 21第51页/共63页xxxxeeeexxx coshsinhtanh双曲正切双曲正切奇函数,),(:D有界函数,第52页/共63页双曲函数常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;c
20、oshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 第53页/共63页反双曲函数奇函数,),(:D.),(内单调增加内单调增加在在;sinh xy 反双曲正弦反双曲正弦ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy第54页/共63页.),1内单调增加内单调增加在在),1:D y反双曲余弦反双曲余弦coshar).1ln(cosh2 xxxyarxcosharx y第55页/共63页.11ln21xx )1,1(:D奇函数,.)1,1(内单调增加内单调增加在在 y反双曲正切反双曲正切tanharxytanh arxtanharx y第56页/共63页四、小结基本
21、概念基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数、复合函数、初等函数反函数、复合函数、初等函数第57页/共63页思考题思考题设设0 x，函数值函数值21)1(xxxf ，求函数求函数)0()(xxfy的解析表达式的解析表达式.第58页/共63页思考题解答思考题解答设ux 1则 2111uuuf ,112uu 故)0(.11)(2 xxxxf第59页/共63页一、一、填空题填空题:1 1、若若2251tttf ,则则_)(tf,_)1(2 tf.2 2、若若 3,sin3,1)(xxxt,则则)6(=_=_，)3(=
22、_.=_.3 3、不等式、不等式15 x的区间表示法是的区间表示法是_._.4 4、设、设2xy ,要使要使 ),0(Ux 时，时，)2,0(Uy,须须 _._.练练 习习 题题第60页/共63页二、证明二、证明xylg 在在),0(上的单调性上的单调性.三、证明任一定义在区间三、证明任一定义在区间)0(),(aaa上的函数可表上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和示成一个奇函数与一个偶函数之和.四、设四、设)(xf是以是以 2 2 为周期的函数，为周期的函数，且且 10,001,)(2xxxxf,试在试在),(上绘出上绘出 )(xf的图形的图形.五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的，两个奇函数的 乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数.六、证明函数六、证明函数acxbaxy 的反函数是其本身的反函数是其本身.七、求七、求xxxxeeeexf )(的反函数，并指出其定义域的反函数，并指出其定义域.第61页/共63页一、一、1 1、225tt ,222)1(2)1(5 tt；2 2、1,11,1；3 3、(4,6)(4,6)；4.4.2,0(.七、七、)1,1(,11ln xxy.练习题答案练习题答案第62页/共63页感谢您的欣赏！第63页/共63页
