1、中中 国国 古古 代代 数数 学学 史史专题一：萌芽和初创期专题一：萌芽和初创期 中国是世界文明古国之一。数学是中国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌。根据它本身的特点，可以分为5个时期，古代史：(1)先秦萌芽时期；(2)汉唐初创时期；(3)宋元全盛时期；(4)西学输入时期；近现代史：(5)近现代数学发展时期。一、先秦萌芽时期算筹制度一、先秦萌芽时期算筹制度 早在远古时代远古时代，人们通过生产和生活的实践活动，逐渐有了数量概念和认识了各种简单的几何图形。易系辞说：“上古结绳而治。后世圣人易之以书契”。距今约56千年的仰韶文化时期出上的陶器上已刻有表示数目字的符号，说明此时人们已开
2、始用文字符号取代结绳记事了。西安半坡村出土的陶器上有直线、三角、方、菱形等各种对称及一些较复杂的几何图案，半坡村遗址上有圆形和正方形的屋基。史记夏本记说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具。农业和天文的需要促使早期数学知识萌发。商代中期商代中期(约公元前13世纪)出现了甲骨文，其中有十进位制的记数法，共有13个独立的符号，记数用合文书写，出现的最大数字为三万。商代人还用10个天干和l2个地支组成甲子、乙丑等60个名称来记60天的日期。到周代(公元前11世纪到公元前3世纪)又将以前的八卦发展成为六十四封，表示64种事物。西周初期能用矩测量高、深、广、远，知道勾股形中的勾三、股四、弦五
3、及环矩为圆等知识。西周青铜器上的金文数字与商代数字基本一致，是我们今天文字记数的源泉。此时我国已有整数和分数的四则运算，韩诗外传中还记载了公元前7世纪齐桓公招贤纳士之事，将会背诵“九九”乘法表的人当作贵客款待，而这在当时已经是比较一般的学问了。春秋战国时期春秋战国时期(公元前8世纪公元前3世纪)算筹已得到普遍使用。算筹是一种特制的小竹棍，也有用木、骨、铁等材料制做的。解放以后在湖南、陕西、湖北、河北等地均有出土的实物。算筹式记数法采用10进位值制。墨经(约公元前4世纪)中说“一少子二而多子五，说在建位”。即一在个位少于二，在十位就多子五，每个数字的大小除由它本身表示的数值决定外，还要看它在整个
4、数中所处的位置。孙子算经(约公元4世纪)中对算筹式记数法描述说：“一纵十横，百立千僵，干、十相望，万、百相当”，说明记数有纵横两种形式。记数时为避免混淆将纵横式交错放置，以空位表示零。这是世界上最早的10进位值制记数体系，其优越性十分明显，对世界数学的发展有划时代的意义。到了汉代还出现了表承正数的红筹和表示负数的黑筹。用算筹进行运算据推测可能在西周或更早时期就已产生到15世纪珠算普及之前，算筹制度在中国沿用了两干多年，为个国古代数学的发展起了重要作用。战国时期战国时期齐国人著的考工记中有许多关关于分数、角度和标准量器的资科，其中分别用矩、勾、倨、宣等等来表示直角、锐角、钝角、45度，还有用规(
5、圆周)的部分(圆弧)表示刀和弓的大小。战国时期百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念，其个著名的有墨经中关于某些几何名词的定义和几何命题。例如圆，一中同长也(从中心到周界有相同的长度)；方，柱隅四谫也(四边四角皆正)；平，同高也(高度相等)；直，参也(三点相齐)；次(相切)，无间而不相接也(既无大小又下相合)；端(点)，体之无厚而最前者也(部分中没有大小并处于最前缘者)，等等。墨家还给出有穷和无穷的定义，说域不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也”(在区域前缘连一横线也容不下为有穷，不论区域多大，在其前缘总能容下一线之宽为无穷)。稍后于墨子的庄子记叙了惠施等人的名家
6、学说，例如至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一；无厚不可积也，其大干里等，还记叙了辩者桓团、公孙龙等人提出的23条问题，其中一个问题是“尺之棰，日取其半，万世不竭”至今讲极限时还常常被引用。墨家和各家关于数学定义和数学命题的讨论对中国古代数学理论的发展很有意义，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想没有得到很好地继承和发展。二、汉唐初创时期二、汉唐初创时期 这一时期包括从秦汉一直到隋唐l000多年间的数学发展，秦汉是封建社会的上升时期，经济、文化和科学技术都得到迅速发展。中国古代四人发明之的造纸术就是东汉形成的，它对数学教育的发展和数学知识的传播起到不可估量的作用。雕版印刷术的发明也在这一时期
7、，对数学的发展同样起了重要作用。中国古代数学体系正是形成于这个时期，其主要标志是算术已成为个专门的学科，以及一大批数学书籍的出现。汉书汉书艺文志艺文志记载有杜忠算术16卷和许商算术2卷，这是最早见于著录的数学专著，但均已失传。1983年12月在湖北江陵张家山出土3大批竹简，其中有数学著作算数书。该书抄写于西汉初年(约公元前2世纪)成书时间应更早，是一部比较完整的，也是目前可以见到的中国最早的数学专著中国最早的数学专著。全书采用问题集形式，共有60多个小标题，90多个题目，内容包括整数和分数四则运算、比例问题、面积和体积问题等等。农业生产要求更精确的历法，约在战国晚期，已有了每年365又 14日
8、的“四分历”。随着天文学的发展，数学知识也不断丰富。周髀算经正是在这样的条件下出现的。周髀算经周髀算经还有较复杂的开方问题和分数运算，并创造许多数学名词(如勾、股、弦、开方等），是研究古代天文学史和数学史的较完整的宝贵文献。九章算术九章算术的出现标志着中国古代数学体系的形成。它经历了几代人的整理、删补和修订，约成书于东汉初年。内容采用问题集形式，共246问，列为九章，分别是方田（各种形状的田地面积计算)、粟米(各种粮食谷物间按比例交换)、衰分(按比例分配)、少广(开平方、开立方)、商功(体积计算问题)、均输(按比例摊派赋税和徭役)、盈不足（根据两次假设求解问题)、方程(求解一次方程组)相勾股(
9、有关勾股测量的各种问题)，是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结。主要成就主要成就 世界上最早的系统分数理论，包括分数的四则运算和约分、通分、求最大公约数等方法；先进的比例算法，提出从已知三个数求第四个数的今有术；开平人与开立方的方法，包括二次方程数值解法，是世界上最早记载这一具体运算法则的文献，在运算过程中还发展了筹算的位值制，并开辟了求解数字高次方程的途径；各种面积和体积公式，包括各种直线形以及圆、环、圆锥、圆台等面积和体积的正确的计算公式；勾股形解法，包括勾股定理的应用和求勾股数的方法，以及二次方程的解法等；线性方程组解法，用算筹表示一次联立方程组，类似于由方程各系数构成的矩
10、阵，创立遍乘、直除、连减等消元方法，比西方同类算法要早1500多年；负数概念和正、负数加、减法则，反映出对意义相反数量的正确理解，实现数量范围的一次新扩充，在世界数学发展史上遥遥领先。九章算术的特点 它形成了个以筹算为中心，与古希腊数学完全不同的独立体系。它注重应朋，内容大多来自生产和生活实践，理论密切联系实际，对以后中国数学发展的影响非常深远。此后一千多年中九章算术直被当作教科书，隋肩时期还曾传到朝鲜、日本，成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进世界数学的发展。魏晋时期魏晋时期 中国数学在理论上有了较大发展。
11、其个赵爽和刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一，他约公元3世纪初对周髀算经做了深入研究，为该书写了序，并作了详细的注释，其中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是数学史上极有价值的文献。“勾股圆方图”注文共有530余字，简练地总结了后汉时期勾股算术的辉煌成就，最早给出勾股定理的证明和解勾股形的5个公式，并对二次方程的解法提出新的见解。“日高图及注”亦用图形面积证明了汉代普通应用的重差公式，成为刘徽工作的先导。刘徽注释九章算术的年代是根据隋书律历志确定的，他的注不仅对九章算术的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述过
12、程中多有创新，还撰写重差作为该书第10卷。唐初以后，重差以海岛算经海岛算经为名单行。他重视逻辑推理，同时又注意几何直观的作用。主要成就有：创立割圆术，为圆周率的研究工作奠定了理论基础和提供了科学的算法。他的基本思想是将圆内接正多边形的边数不断加倍使其周长和面积逐渐通近团的周长和面积，他指出“割之弥细所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”他利用这种极限思想证明了圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率的近似值15750和39271250，其计算程序较古希腊数学家阿基米德的割圆方法简便；提出用无穷分割的方法证明直角方锥与直角四面体的体积之比恒为2：1，解决了一般立体体积的关
13、键问题。南北朝时期南北朝时期 中国长期处于战争和分裂状态，但由于社会的需要，数学仍在继续发展。孙子算经给出“物不知数问题”，导致求解一次同余组“N三2(mod3)三3(mod5)三2(mod7)，解答为N72十213十152210523。”该问题与古代历法中推算上元积年有关，南宋数学家秦九韶创造“大衍求一术大衍求一术”，完满地解决了这一问题。祖冲之父子祖冲之父子 的工作在这一时期具有代表性，他们在九章算术刘徽注的基础上，将传统数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范。他们同时在天文学上做出突出贡献大明历。隋朝隋朝大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通撰缉古算经缉古算经(约
14、630年)，主要是讨论木土工程中计算土方、工程的分工与验收以及仓库和地窖的计算问题。唐朝唐朝在数学教育方面有了长足发展。656年国子监设立算学馆，设有算学博士和助教。王孝通等人做过算学博士。算学馆共招生30人，由太史令李淳风等人编纂注释算经十书算经十书，作为算学馆学生用的课本，科举取士还设置明算科考试内容也从十部算经中选题。算经十书除了巳提到周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、张丘建算经、夏侯阳算经、缉古算经外，还有五曹算经、五经算术和缀术。后来缀术失传，南宋时用数书记遗补齐十书。李淳风等人编纂的算经十书对于保存古代数学经典起了重要作用，他们对周髀算经、九章算术及海岛算经所作的注解长期为人称道。特别是在周髀算经注中，不仅修改了缺陷，还给出测量中计算的新方法
