1、 江苏省盐城市江苏省盐城市 2020 届高三年级第四次模拟考试届高三年级第四次模拟考试 数数 学学 第第 I 卷（必做题，共卷（必做题，共 160 分）分） 一、 填空题 （本大题共一、 填空题 （本大题共 14 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共分， 共 70 分， 请将答案填写在答题卷相应的位置上分， 请将答案填写在答题卷相应的位置上.） 1.若集合A x xm，1Bx x ，且 ABm，则实数m的值为_. 【答案】1 【分析】 直接根据交集运算的定义求解即可 【详解】解：Ax xm，1Bx x ，且 ABm， 1m， 故答案为：1 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题
2、2.已知 i为虚数单位，复数 z 满足 z(3i)10，则z的值为_. 【答案】10 【分析】由复数的除法运算与求模长的计算公式求解即可. 【详解】 2 2 1010(3) 33110 3(3)(3) i ziz iii . 故答案为：10 【点睛】本题考查复数的除法运算，还考查了求复数的模，属于基础题. 3.从数字 0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于 10的概率为_. 【答案】 3 4 【分析】本题是一个等可能事件的概率，列出基本事件总数，求出满足条件的事件，再根据古典概型的概 率公式计算可得； 【详解】解：从数字 0，1，2 中任取两个不同的数字构成一个两位数
3、，有 10,12,21,20，共 4 个，满足大于 10 的有 3 个，故概率 3 4 P 故答案为： 3 4 【点睛】本题考查等可能事件的概率，解题的关键是理解事件两位数大于 10确定此事件的计数方法，本题 概率基本公式考查题，考查分析判断的能力，本题是一个基础题 4.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩 形从左向右所对应的区间依次为0，50)，50，100)，100，150)，150，200)，200，250.若一个月以 30 天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于 100个的天数为_天. 【答案】12 【分析】 根据频
4、率分布直方图，求出对应的频率与频数即可 【详解】解：根据频率分布直方图，得： 日销售量少于 100个的频率为(0.003 0.005) 500.4 ， 则估计这家面包店一个月内日销售量少于 100 个的天数为：300.412 故答案为：12 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率 频数 样本容量 的应用问题，属于基础题 5.执行如图所示的流程图，输出 k的值为_. 【答案】4 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当18S 时满足条件16S ，退出循环，输出k的 值为 4 【详解】解：由题意，执行程序框图，可得 1k ，0S ， 3S ，2k ，不满足条件
5、16S ， S9，3k ，不满足条件16S ， 18S ，4k ，满足条件16S ，退出循环，输出k的值为 4 故答案为：4 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的功能是解答此类问题的关键， 属于基础题 6.若双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的渐近线为 2yx ，则其离心率的值为_. 【答案】5 【分析】 利用渐近线斜率为 b a 和双曲线, ,a b c的关系可构造关于 , a c的齐次方程，进而求得结果. 【详解】由渐近线方程可知：2 b a ，即 22 4ba， 2222 4bcaa， 2 2 2 5 c e a ，5e （负值舍掉）. 故答案
6、为：5. 【点睛】本题考查根据双曲线渐近线方程求解离心率的问题，关键是利用渐进线的斜率构造关于 , a c的齐 次方程. 7.若三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 12，点 P 为棱 AA1上一点，则四棱锥 PBCC1B1的体积为_. 【答案】8 【分析】 利用等体积法和切割法即可求解 【详解】解析： 1 11 11 1 11 11 1 11 1 1 1 3 P BCC BA BCC BABC A B CA A B CABC A B CABC A B C VVVVVV 1 1 1 22 128 33 ABC A B C V . 答案：8 【点睛】本题考查棱柱和棱锥的体积问题，属于基础题 8.“
7、2”是“函数( )sin() 6 f xx 的图象关于点( 5 12 ， 0)对称”的_条件. （选填“充分不必要”、 “必 要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）. 【答案】充分不必要 【分析】 根据充分条件与必要条件的定义求解即可 【详解】解：当2时， 5 2 6126 x ，sin()0 6 x ，故此时( )f x的图象关于点( 5 12 ， 0)对称； 而当 ( )f x的图象关于点( 5 12 ，0)对称，则 5 126 k ， 122 5 k ，kZ； 故“2”是“函数 ( )sin() 6 f xx 的图象关于点( 5 12 ，0)对称”的充分不必要条件； 故答案为：
8、充分不必要 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查三角函数的对称性，属于基础题 9.在ABC中，CB 4 ，AB 3 2 4 AC，则 tanB的值为_. 【答案】2 【分析】 由 CB 4 ，AB 3 2 4 AC， 得 3 23 2 sinsinsin()sin 444 CBBB ， 然后化简即可求解 【详解】解析：由 AB 3 2 4 AC，得 3 23 2 sinsinsin()sin 444 CBBB ， 223 2 cossinsin 224 BBB，化简得2cossinBB， 所以 tanB的值为 2. 答案：2 【点睛】本题考查正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函
9、数关系式，属于简单题 10.若数列 n a的前 n 项和为 n S， 1 2( 1) (21) nn n an ，则 100100 2aS的值为_. 【答案】299 【分析】 根据题意，利用通项公式求出 100 a，利用分组并项求和法求出 100 S，由此可求出答案 【详解】解： 1 2( 1) (21) nn n an ， 99 100 22 (2199)a， 100 1 100 1242( 1 3)( 57)( 197 199)S 100 21 100 ， 100100 100100 22398(21 100)299aS ， 故答案为：299 【点睛】本题主要考查数列的分组并项法的求和公式
10、，考查计算能力，属于基础题 11.若集合 P 22 ( , )40x y xyx，Q 2 ( , )15 x x y y ，则 PQ表示的曲线的长度为 _. 【答案】 2 3 【分析】 作出 22 40xyx与 2 15 x y 的图象，得到 PQ 表示的曲线，利用圆的弧长即可求解. 【详解】由 22 40xyx得 22 (2)4xy， 由 2 15 x y 得 2 ,2 2 15 215 ,2 15 x x x y x x 且0y ， 作出两曲线图像如下： 此时 PQ 表示的曲线长度为图中上半圆去掉劣弧 AB部分， 直线1520yx与圆心的距离 22 1 15 1 d ，且 r2， 在Rt
11、ACD 中， 1 cos 2 ACD， 60ACD 2120ACBACD ， 曲线长度为： 1202 24 3603 . 故答案为： 2 3 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，直线与圆的相交，二元一次不等式表示平面区域，属于中档题. 12.若函数 2 e ,?0 ( ) e1,?0 x mx f x xx 的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m的最大值是_. 【答案】 2 e1 【分析】 由 题 意 题 目 可 转 化 方 程 2 e1e x xm 有 两 个 不 等 的 正 根 ， 得 2 e1e x mx ， 令 2 ()e1e0 x gxxx，利用导数研究函数的单调性与最值，由
12、此可得出答案 【详解】解：点, x y关于原点对称的点为, xy， 题目可转化为函数 22 e1e1yxx 与exym图像在第一象限内有两个交点， 即方程 2 e1exxm 有两个不等的正根，得 2 e1 exmx ， 令 2 ( )e1 e0 x g xxx ，则 2 ( )eexg x， 由( )0g x 得02x，由( )0g x 得2x ， 函数( )g x在0,2上单调递增，在2,上单调递减， 2 ( )(2)e1g xg， 2 e1m ， 故答案为： 2 e1 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化与化归思想， 属于中档题 13.在ABC
13、 中，AB10，AC15，A的平分线与边 BC的交点为 D，点 E为边 BC的中点，若AB AD 90，则AB AE 的值是_. 【答案】175 2 【分析】 把,AE AD用,AB AC表示，代入已知条件求得AB AC uu u r uuu r ，再计算AB AE 即得 【详解】由角平分线定理可知 3 2 ACCD ABBD ，所以 22 () 55 ADABBDABBCABACAB 23 55 ACAB 因为 90AB AD ，所以 2 2 233232 ()1090 555555 ABACABABAC ABAC AB， 75AC AB ， 所以 2 2 111175 ()()(1075)
14、 2222 AB AEABABACABAC AB 故答案为：175 2 . 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是以,AB AC为基底，其他向量都用基底表示后再进行运 算 14.若实数 x，y满足 4x24xy7y21，则 7x24xy4y2的最小值是_. 【答案】 3 8 【分析】 将式子化为为 22 22 22 744 744 447 xxyy xxyy xxyy ，讨论 x0或 x0，将分子、分母同除x，利用判别式 0即可求解. 【详解】解析： 22 22 22 744 744 447 xxyy xxyy xxyy ， 当 x0，原式的值为 4 7 ， 当 x0，令 2 2 2 7
15、44 (74)(44)470 447 ytt tmmtmtm xtt 2 438 (44)4(74)(47)0 783 mmmmm . 故答案为： 3 8 【点睛】本题主要考查了判别式法求最值，属于中档题. 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤.） 15.若函数 sinf xM x(M0，0，0)的最小值是2，最小正周期是 2，且图象 经过点 N( 3 ，1). （1）求 f x的解析式； （2）在ABC中，若 8
16、5 fA ， 10 13 f B ，求 cosC的值. 【答案】 （1） 2cosf xx.（2） 16 65 【分析】 （1）利用三角函数的性质：最值求出 M，最小正周期求出，特殊点代入求出，即可求出解析式. （2）首先利用解析式求出 4 cos 5 A ， 5 cos 13 B ，再利用同角三角函数的基本关系求出sin A、sinB， 然后结合三角形的内角和性质以及两角和的余弦公式即可求解. 【详解】解： （1）因为 f x的最小值是2，所以 M2. 因为 f x的最小正周期是 2，即 2 2T ，所以1， 又由 f x的图象经过点( 3 ，1)，可得1 3 f ， 1 sin 32 ，
17、所以2 36 k 或 5 2 6 k ，kZ， 又 0，所以 2 ，故 2sin 2 f xx ，即 2cosf xx. （2）由（1）知 2cosf xx，又 8 5 fA ， 10 13 f B ， 故 8 2cos 5 A， 10 2cos 13 B ，即 4 cos 5 A ， 5 cos 13 B ， 又因为ABC中，A，B(0，)， 所以 2 2 43 sin1 cos1 55 AA ， 2 2 512 sin1 cos1 1313 BB ， 所以 cosCcos(AB)cos(AB)(cosAcosBsinAsinB) 4531216 51351365 . 【点睛】本题考查了三角
18、函数的性质求解析式、三角恒等变换、诱导公式，熟记公式是解题的关键，属于 基础题. 16.如图， 在四棱锥 PABCD中， 底面 ABCD是菱形， PCBC， 点 E是 PC的中点， 且平面 PBC平面 ABCD. 求证： （1）求证：PA平面 BDE； （2）求证：平面 PAC平面 BDE. 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； 【分析】 （1）设 ACBDO，连结 OE，从而可得 AP/OE，再利用线面平行的判定定理即可证出. （2）利用面面垂直的性质定理可得 PC平面 ABCD，即证出 PCBD，再由 ACBD，根据线面垂直的判定 定理可得 BD平面 PAC，最后利用面面垂直的
19、判定定理即可证出. 【详解】证明： （1）设 ACBDO，连结 OE， 因为底面 ABCD是菱形，故 O 为 BD中点， 又因为点 E是 PC的中点， 所以 AP/OE，又因为 OE平面 BDE，AP平面 BDE， 所以 AP/平面 BDE. （2）因为平面 PBC平面 ABCD，PCBC， 平面 PBC平面 ABCDBC，PC平面 PBC， 所以 PC平面 ABCD 又 BD平面 ABCD，所以 PCBD，ABCD 是菱形，ACBD， 又 PCBD，ACPCC，AC平面 PAC，PC平面 PAC， 所以 BD平面 PAC 又 BD平面 BDE，所以平面 PAC平面 BDE. 【点睛】本题考查
20、了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理以及面面垂直的性 质定理，考查了考生的逻辑推理能力，属于基础题. 17.如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点 O 的道路 l1，l2，一自然景观的边界近似为圆形，其半 径约为 1千米，景观的中心 C 到 l1，l2的距离相等，点 C 到点 O 的距离约为 10 千米.现拟新建四条游览道路 方便游客参观，具体方案：在线段 OC上取一点 P，新建一条道路 OP，并过点 P 新建两条与圆 C 相切的道 路 PM，PN（M，N 为切点） ，同时过点 P 新建一条与 OP垂直的道路 AB（A，B分别在 l1，l2上）.为促进沿 途旅游经
21、济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值.（所有道路宽度忽略不计） 【答案】305千米 【分析】 设PCM，用表示出各道路长，并求出和( )f然后求导，用导数知识求得最大值 【详解】解：连接 CM，设PCM，则 PC 1 cos ，PMPNtan， OPOCPC10 1 cos ，AB2OP20 2 cos ， 设新建的道路长度之和为( )f， 则 3 ( )2tan30 cos fPMPNABOP ， 由 1PC10 得 1 10 cos1，设 0 1 cos 10 ， 0 (0， 2 )， 则(0， 0 ， 0 3 11 sin 10 ， 2 23cos ( ) cos f
22、 ，令( )0f 得 2 sin 3 设 1 2 sin 3 ， 1 (0， 0 ，( )f，( )f的情况如下表： (0， 1 ) 1 ( 1 ， 0 ) ( )f 0 ( )f 单调递增 极大值 单调递减 由表可知 1 时( )f有极大值也是最大值，此时 2 sin 3 ， 5 cos 3 ， 2 tan 5 ， ( )305f. 答：新建道路长度之和最大值为305千米. 【点睛】 本题考查导数的实际应用， 解题关键是建立三角函数的模型， 引入参数PCM， 把各道路长用 表示，并求出和( )f. 18.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的短轴长
23、为 2，F1，F2分别是椭圆 C 的 左、右焦点，过点 F2的动直线与椭圆交于点 P，Q，过点 F2与 PQ垂直的直线与椭圆 C 交于 A、B 两点.当 直线 AB 过原点时，PF13PF2. （1）求椭圆的标准方程； （2）若点 H(3，0)，记直线 PH，QH，AH，BH的斜率依次为 1 k， 2 k， 3 k， 4 k. 若 12 2 15 kk，求直线 PQ 的斜率； 求 1234 ()()kkkk的最小值. 【答案】 （1） 2 2 1 2 x y（2）1或 7 8 4 225 【分析】 （1）已知条件有1b，直线 AB 过原点时，PQx 轴，所以PF1F2为直角三角形，利用椭圆定义
24、和勾股定 理可求得a，得椭圆方程； （2）设直线 PQ： (1)yk x ，代入到椭圆方程得后化简，设 P( 1 x， 1 y)，Q( 2 x， 2 y)，应用韦达定理 得 2 12 2 4 12 k xx k ， 2 12 2 22 12 k x x k ，计算 12 kk并代入 121 2 ,xx x x可得； 分类讨论，当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时， 1234 ()()0kkkk， 当两条直线与坐标轴都不垂直时，由知 12 2 2 87 k kk k ，同理可得 34 2 2 87 k kk k ，计算 1234 ()()kkkk后应用基本不等式可得最小值 【详解】解： （1）因为
25、椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的短轴长为 2，所以 b1， 当直线 AB过原点时，PQx 轴，所以PF1F2为直角三角形， 由定义知 PF1PF22a，而 PF13PF2，故 1 3 2 PFa， 2 1 2 PFa， 由 222 1212 PFPFFF得 22222 911 44(1) 444 aacaa，化简得 a22， 故椭圆的方程为 2 2 1 2 x y. （2）设直线 PQ： (1)yk x ，代入到椭圆方程得： 2222 (1 2)4(22)0kxk xk，设 P( 1 x， 1 y)， Q( 2 x， 2 y)，则 2 12 2 4 12 k xx k ，
26、2 12 2 22 12 k x x k ， 所以 121221 12 1212 (1)(3)(1)(3) 33(3)(3) yyk xxxx kk xxxx 1212 1212 24()6 3()9 kx xxx x xxx 22 22 222 22 224 246 2 1 21 2 22487 39 1 21 2 kk k k kk kkk kk 所以 12 2 22 8715 k kk k ， 解得：1k 或 7 8 k ，即为直线 PQ的斜率. 当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时， 1234 ()()0kkkk， 当两条直线与坐标轴都不垂直时， 由知 12 2 2 87 k kk k
27、，同理可得 34 2 2 87 k kk k 故 2 1234 42 2 2 44 ()() 1 5656 113 56() 113 k kkkk kk k k 2 2 44 2251 56 2113k k ， 当且仅当 2 2 1 k k 即 k1 时取等号. 综上， 1234 ()()kkkk的最小值为 4 225 . 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中定值与最值问题求椭圆方程时由于已知直 线的特殊位置，利用椭圆的定义是解题关键，在直线与椭圆相交问题中，采取设而不求思想方法，即设直 线方程，设交点坐标 1122 ( ,), (,)P x yP xy，直线方程代入椭圆方程
28、整理后应用韦达定理得 121 2 ,xx x x，代 入其他条件化简变形即可得 19.如果存在常数 k使得无穷数列 n a满足 mnmn aka a恒成立，则称为 P k数列. （1）若数列 n a是 1P数列， 6 1a ， 12 3a，求 3 a； （2）若等差数列 n b是 2P数列，求数列 n b的通项公式； （3）是否存在 P k数列 n c，使得 2020 c， 2021 c， 2022 c，是等比数列？若存在，请求出所有满足条件 的数列 n c；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1） 3 1 3 a ； （2）0 n b 或 1 2 n b 或 2 n n b ； （3）存在；
29、满足条件的 P k数列 n c有无穷多个， 其通项公式为 1 n c k . 【解析】 【分析】 （1）根据 P k数列的定义，得 623 aa a， 1226 aa a，可求 3 a； （2） 根据 P k数列的定义， 得2 mnmn bb b， 分 1 0b 和 1 0b 两种情况讨论. 当 1 0b ，0 n b .当 1 0b 时，由 n b是等差数列，对 ,m n赋值，求出 1 b和公差d，即求 n b； （3）假设存在满足条件的 P k数列 n c，设等比数列 2020 c， 2021 c， 2022 c，的公比为 q.则有 2020 20202020 2020 ckcc ， 20
30、20 20212020 2021 ckcc ，可得 q1，故当2020n时， 1 n c k .当12020n时， 不妨设2020 i n ，iN 且 i为奇数， 由 1122 2 21 iiiii i i nnnn nn nnn nn cckcckcckcckc ，可得 1 n c k . 即满足条件的 P k数列 n c有无穷多个，其通项公式为 1 n c k . 【详解】 （1）由数列 n a是 1P数列，得 623 1aa a， 1226 3aa a，可得 3 1 3 a ； （2）由 n b是 2P数列知2 mnmn bb b恒成立，取 m1 得 1 2 nn bbb恒成立， 当 1
31、 0b ，0 n b 时满足题意，此时0 n b ， 当 1 0b 时，由 2 11 2bb可得 1 1 2 b ，取 mn2 得 2 42 2bb， 设公差d，则 2 11 32() 22 dd解得0d 或者 1 2 d ， 综上，0 n b 或 1 2 n b 或 2 n n b ，经检验均合题意. （3）假设存在满足条件的 P k数列 n c， 不妨设该等比数列 2020 c， 2021 c， 2022 c，的公比为 q， 则有 2020 2020 2020 2020 20202020 2020202020202020 ,ckcccqkcc ， 可得 2020 2020 2020 202
32、0 qkc 2020 2021 2020 2020 20212020 2021202020202020 ,ckcccqkccq ， 可得 2020 2021 2021 2020 qkc 综上可得 q1， 故 2020 20202020 cc ，代入 2020 20202020 2020 ckcc 得 2020 1 c k ， 则当2020n时， 1 n c k ， 又 2020120201 1 ,ckc cc k ， 当12020n时，不妨设2020 i n ，iN 且 i为奇数， 由 1122 2 21 iiiii i i nnnn nn nnn nn cckcckcckcckc ， 而 1
33、 i n c k ， 1 1 () ii n kc k ， 1 ()( ) ii n c k ， 1 n c k . 综上，满足条件的 P k数列 n c有无穷多个，其通项公式为 1 n c k . 【点睛】本题考查创新型题目，考查等差数列和等比数列的通项公式，考查学生的逻辑推理能力和计算能 力，属于难题. 20.设函数 32 ( )3ln2f xxxaxax . （1）若 a0时，求函数 ( )f x的单调递增区间； （2）若函数 ( )f x在 x1 时取极大值，求实数 a的取值范围； （3）设函数 ( )f x的零点个数为 m，试求 m的最大值. 【答案】 （1）单调增区间为(1，)（2
34、） 9 2 a（3）2 【解析】 【分析】 （1）求导得到函数的单调增区间. （2）求导，讨论 3 2 a ， 93 22 a， 9 2 a 或 3 2 a ， 9 2 a几种情况，分别计算函数极值得到答 案. （3）考虑 9 2 a ， 9 2 a两种情况，求导得到单调区间，计算极值判断零点个数，得到答案. 【详解】 （1）当 a0时， 3 ( )3lnf xxx ，所以 3 1 ( )3 x fx x ，由( )0fx 得 x1， 当 x(0，1)时，( )fx 0；当 x(1，)时，( )fx 0， 所以函数 ( )f x的单调增区间为(1，). （2）由题意得 2 3(1)2 ( )(
35、1)1 3 xa fxxx x ， 令 2 2 ( )(1)1 3 a g xxx(x0)，则 3(1) ( )( ) x fxg x x ， 当 2 1 3 a 0 即 3 2 a 时，( )g x0恒成立， 故 ( )f x在(0，1)上递减，在(1，+)上递增，所以 x1 是函数( )f x的极小值点，不满足； 当 2 2 (1)40 3 a 即 93 22 a时，此时( )g x0恒成立， ( )f x在(0，1)上递减，在(1，+)上递增，所以 x1 是函数( )f x的极小值点，不满足； 当 2 2 (1)40 3 a 即 9 2 a 或 3 2 a 时， ( )f x在(0，1)
36、上递减，在(1，+)上递增，所以 x1 是函数( )f x的极小值点，不满足； 当 2 2 (1)40 3 a 时，解得 9 2 a或 3 2 a （舍） ， 当 9 2 a时，设( )g x的两个零点为 1 x， 2 x，所以 1 x 2 x1，不妨设 0 1 x 2 x， 又 2 (1)30 3 a g，所以 0 1 x1 2 x，故 12 3 ( )()(1)()fxxxxxx x ， 当 x(0， 1 x)时，( )fx 0；当 x( 1 x，1)时，( )fx 0；当 x(1， 2 x)时，( )fx 0；当 x( 2 x，) 时，( )fx 0； ( )f x在(0， 1 x)上递
37、减，在( 1 x，1)上递增，在(1， 2 x)上递减，在( 2 x，)上递增； 所以 x1是函数 ( )f x极大值点，满足. 综上所述： 9 2 a. （3）由（2）知当 9 2 a 时，函数( )f x在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，故函数( )f x至多 有两个零点，欲使 ( )f x有两个零点，需(1)10fa ，得1a ， 23ln2 8443ln2 80faa ； 32 ()32320 aaaaa f eaeaeaeaaea ，0,1 a e， 故满足函数有 2 个零点. 当 9 2 a时，由（2）知( )f x在(0， 1 x)上递减，在( 1 x，1)上递增，在
38、(1， 2 x)上递减，在( 2 x，)上递 增； 而 0 1 x1，所以 3 11111 ( )3ln(2)0f xxxax x ， 此时函数 ( )f x也至多有两个零点 综上所述，函数 ( )f x的零点个数 m 的最大值为 2. 【点睛】本题考查了函数的单调区间，根据极值求参数，零点个数问题，意在考查学生的计算能力和综合 应用能力. 第第 II 卷（附加题，共卷（附加题，共 40 分）分） 【选做题】本题包括【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计分共计 20 分，解答分，解答 时应写出文字说明，证明过程或演算步
39、骤时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. A.选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换 21.已知矩阵 A 2 1 a b ，若矩阵 A 属于特征值 3的一个特征向量为 1 1 ，求该矩阵属于另一个特征值 的特征向量. 【答案】 1 1 【分析】 根据特征向量和特征值的定义列出矩阵方程求出, a b， 写出特征多项式， 由特征多项式可求得另一个特征值， 再得特征向量 【详解】解：由题意知 211 3 111 a A b ，所以 23 13 a b ，即 1 2 a b ， 所以矩阵 A的特征多项式 2 1 2 ( )(1)4 2 1 f ， 由( )0f，解得3或1 ， 当1 时， 220 22
40、0 xy xy ，令 x1，则 y1， 所以矩阵 A的另一个特征值为1，对应的一个特征向量为 1 1 . 【点睛】本题考查特征值与特征向量，掌握特征值与特征向量的概念、特征多项式是解题关键 B.选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在极坐标系中，已知直线:cos2 sinl m（m为实数） ，曲线:2cos4sinC，当直 线l被曲线C截得的弦长取得最大值时，求实数m的值. 【答案】5m 【分析】 将直线l和圆C的极坐标方程均化为普通方程，由题意可知直线l过圆C的圆心，由此可求得实数m的值. 【详解】由题意知直线l的直角坐标方程为20xym， 又曲线C的极坐标方程2cos4
41、sin，即 2 2 cos4 sin， 所以曲线C的直角坐标方程为 22 240xyxy，即 22 125xy， 所以曲线C是圆心为1,2的圆， 当直线l被曲线C截得的弦长最大时，得 2 120m，解得5m . 【点睛】本题考查直线与圆的综合问题，考查极坐标方程与普通方程之间的转化，考查计算能力，属于基 础题. C.选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23.已知实数x、y、z满足 21xyz，求 222 xyz的最小值. 【答案】 1 6 分析】 利用柯西不等式得出 2 222222 1122xyzxyz，由此可求得 222 xyz的最小值. 【详解】由柯西不等式有 2 222222 11
42、221xyzxyz， 所以 222 1 6 xyz（当且仅当 112 xyz 即 1 6 xy， 1 3 z 时取等号） ， 所以 222 xyz的最小值是 1 6 . 【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，解答的关键就是对代数式进行配凑，考查计算能力，属于基础 题. 【必做题】解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤【必做题】解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 24.如图，抛物线 2 :20C ypx p的焦点为F，过点2,0P作直线l与抛物线交于A、B两点，当直 线l与x轴垂直时AB长为4 2. （1）求抛物线的方程； （2）若APF与BPO的面积相等，求直线l的方程. 【答案】
43、（1） 2 4yx； （2）2 40xy或240xy. 【分析】 （1）由题意可知点2,2 2在抛物线C上，将该点坐标代入抛物线C的方程，求得p的值，进而可求得 抛物线C的方程； （2）由题意得出2 AB yy，可得知直线AB的斜率不为零，可设直线AB的方程为2xmy，将该直 线方程与抛物线方程连理，列出韦达定理，由题意得出2 AB yy ，代入韦达定理后可求得m的值，进而 可求得直线AB的方程. 【详解】 （1）当直线l与x轴垂直时AB的长为4 2， 又2,0P，取2,2 2A，所以 2 2 222p，解得 2p ， 所以抛物线的方程为 2 4yx； （2）由题意知 11 22 APFAA SFPyy ， 1 2 BPOBB SOPyy ， 因 APFBPO SS ，所以2 AB yy， 当0 AB k时，直线AB与抛物线不存在两个交点，
