1、第三章直线与方程知识网络 整体构建要点归纳 主干梳理题型探究 重点突破栏目索引 知识网络 整体构建返回 要点归纳 主干梳理1.直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度，但倾斜角是角度(0180)，是倾斜度的直接体现；斜率k是实数(k(，)，是倾斜程度的间接反映.在解题的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便.(2)倾斜角与斜率的对应关系：当90时，直线的斜率不存在；当90时，斜率ktan，且经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率kAB(3)当由090180(不含180)变化时，k由0(含0)逐渐增大到(不存在)，然后由(不存在)逐渐
2、增大到0(不含0).2.直线的五种方程及比较名称方程常数的几何意义适用条件点斜式yy0k(xx0)(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率直线不垂直于x轴斜截式ykxbk是斜率，b是直线在y轴上的截距直线不垂直于x轴两点式(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点直线不垂直于x轴和y轴截距式a，b分别是直线在x轴，y轴上的非零截距直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2B20，必要时要对特殊情
3、况进行讨论.一般式AxByC0(A，B不同时为0)A，B，C为系数任何情况特殊直线xa(y轴：x0)垂直于x轴且过点(a，0)斜率不存在yb(x轴：y0)垂直于y轴且过点(0，b)斜率k03.两直线的平行与垂直直线方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20平行的等价条件l1l2k1k2且b1b2l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10垂直的等价条件l1l2k1k21l1l2A1A2B2B10由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线
4、方程.4.距离问题类型已知条件公式两点间的距离A(x1，y1)，B(x2，y2)点到直线的距离P(x0，y0)l：AxByC0两条平行直线间的距离l1：AxByC10，l2：AxByC20(A，B不同时为0)学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合.5.直线系方程直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程，然后根据直线所满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方程.直线系方程的常见类型有：(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：yy0k(xx0)(k是参数，直线系中未包括直
5、线xx0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线AxByC0的直线系方程是：AxBy0(是参数，C)；(3)垂直于已知直线AxByC0的直线系方程是：BxAy0(是参数)；(4)过两条已知直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程是：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(是参数，当0时，方程变为A1xB1yC10，恰好表示直线l1；当0时，方程表示过直线l1和l2的交点，但不含直线l2).6.“对称”问题的解题策略对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称.(1)中心对称两点关于点对称，设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1
6、，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2ax1，2by1)，即P为线段P1P2的中点.特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P(x，y).两直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另一条直线上，并且l1l2，P到l1，l2的距离相等.(2)轴对称两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且线段P1P2的中点在l上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.两直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称.当三条直线l1，l2，l共点时，l上任意一点到l1，l2的距离相等，并且l1，l2中一条直线上任意一点关于l对称的
7、点在另外一条直线上；当l1l2l时，l1与l间的距离等于l2与l间的距离.返回 题型探究 重点突破题型一直线的倾斜角和斜率倾斜角和斜率分别从“形”和“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度.倾斜角与斜率k的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起特别重视.(1)对应关系90时，ktan.90时，斜率不存在.(2)单调性当由090180(不含180)变化时，k由0(含0)逐渐增大到，然后由逐渐增大到0(不含0).解析答案(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；因为tan 00，所以AB的倾斜角为0；解析答案(2)若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围.解如图，当斜率k变化时，直线
8、CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB过程中，直线CD与AB恒有交点，即D在ABC的边AB上，此时k由kCA增大到kCB，解析答案跟踪训练1求经过A(m，3)、B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角的取值范围.解当m1时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为：90.题型二直线方程的五种形式直线方程的五种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论.求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式、斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式
9、不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线.因此，要注意运用分类讨论的思想.在高考中，题型以选择题和填空题为主，与其他知识点综合时，一般以解答题的形式出现.解析答案又因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为24，解析答案解得b6或b6.即3x4y240或3x4y240.又因为l与坐标轴围成的三角形的面积为24，所以a8，b6或a8，b6.即3x4y240或3x4y240.解析答案跟踪训练2过点P(1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程.解(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直
10、线的方程分别为x1，x0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为yk(x1)，ykx2.则直线的方程为yx1，yx2，即xy10，xy20.综上可知，所求的直线方程为x1，x0，或xy10，xy20.题型三直线的位置关系两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直.通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况.解析答案例3已知两条直线l1：axby40，l2：(a1)xyb0，求分别满足下列条件的a、b的值
11、.(1)直线l1过点(3，1)，并且直线l1与直线l2垂直；解l1l2，a(a1)(b)10.即a2ab0，又点(3，1)在l1上，3ab40.由解得a2，b2.(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等.解析答案解l1l2且l2的斜率为1a，故l1和l2的方程可分别表示为原点到l1与l2的距离相等，跟踪训练3(1)求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程；解析答案即4x3y60.方法二直线l过直线l1和l2的交点，可设直线l的方程为x2y4(xy2)0，解析答案即(1)x(2)y420.l与l3垂直，3(1)(4
12、)(2)0，解得11.直线l的方程为12x9y180，即4x3y60，解析答案当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，把l2的方程写成4x8y20，则直线l1的方程为2x4y110或2x4y90.当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，把l2的方程写成4x8y20，解析答案则直线l1的方程为2x4y90或2x4y110.综上所述，直线l1的方程为2x4y90或2x4y110.题型四最值问题方法梳理1.构造函数求解最值：利用函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性等性质特征及复合函数的结构特征求解函数的最值.2.结合直线方程的相关特征，保证在符合条件的范围内求解最值.3.结合图象，利用几何性质帮助解
13、答.数学思想函数思想：通常情况下求解最值问题可以转化为对函数的研究，函数思想给我们一种最严谨的眼光来看待问题，是一种探求普遍真理的思想，本章中求最大距离、最大面积等问题时常常会用到函数思想.解析答案解A(1，1)，C(4，2)，解析答案直线AC的方程为x3y20.解析答案直线OA的方程为y3x.(2)求S关于p的函数关系式Sf(p)；解析答案解设点N(x0，y0)，则x05asin 3a，y05acos 4a.N(3a，4a).解析答案(3)当p为何值时，抢救最及时？题型五分类讨论思想分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决.在解题过程中，需选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不
14、同形式解决的小问题，从而使问题得到解决.在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题.解析答案例5设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.解当2a0，即a2时，直线经过原点，满足条件，此时直线的方程为：3xy0.当a1时，直线在x轴上无截距，不符合题意，故当a1且a2时，由题意得：此时直线的方程为xy20.综上，所求直线方程为3xy0或xy20.解析答案跟踪训练5直线l经过点P(2，3)，且在x，y轴上的截距互为相反数，试求该直线的方程.当截距都不为0时，根据题意，得a1.直线方
15、程为xy10.综上，所求直线方程为xy10或3x2y0.题型六数形结合思想根据数学问题的条件和结论的内在联系，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合.解析答案例6已知直线l过点P(1，2)，且与以A(2，3)，B(3，0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.解如图所示，当直线l绕着点P由PA逆时针旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率的变化范围是5，).跟踪训练6在抛物线y4x2上求一点P，使点P到直线y4x5的距离最小，并求出这个最小距离.解析答案课堂小结1.在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解.2.关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解.3.涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况.返回
