1、第七节第七节 第一章第一章,0时时xxxxsin,32都是无穷小都是无穷小,引例引例.xxx3lim20,0 20sinlimxxx,xxx3sinlim0,31 但但 可见无穷小趋于可见无穷小趋于 0 的速度是多样的的速度是多样的.无穷小的比较无穷小的比较（合肥工大（合肥工大P33P33）,0lim Ck 定义定义.,0lim 若若则称则称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷小,)(o,lim 若若若若若若,1lim 若若 ,0lim C 或或,设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小,记作记作则称则称 是比是比 低阶低阶的无穷小的无穷小;则称则称 是是 的的同阶同阶无
2、穷小无穷小;则称则称 是关于是关于 的的 k 阶阶无穷小无穷小;则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小,记作记作例如例如,当当)(o 0 x时时3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx 2sin2lim20 xx 又如又如，2)2(4x21 故故0 x时时xcos1 是关于是关于 x 的二阶无穷小的二阶无穷小,xcos1 221x且且例例1.证明证明:当当0 x时时,11 nxxn1证证:lim0 x11 nxxn10lim x 11 nnxxn1 11 nnx 21 nnx 1 1,0时时当当x11 nxxn1 nnba)(ba 1(naban 2 )1
3、nb定理定理1.)(o 证证:1lim ,0)1lim(0lim 即即,)(o 即即)(o 例如例如,0时时x,sinxx,tanxx故故,0时时x,)(sinxoxx )(tanxoxx 定理定理2.设设,且且 lim存在存在,则则 lim lim证证:lim lim lim lim lim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim0 52 设对同一变化过程设对同一变化过程,为无穷小为无穷小,说明说明:无穷小的性质无穷小的性质,(1)和差取大规则和差取大规则:由等价由等价可得简化某些极限运算的下述规则可得简化某些极限运算的下述规则.若若 =o(),(2)和差代替规则和
4、差代替规则:,不等价不等价与与且且若若 ,则则例如例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim0 31 则则,limlim 且且.时此结论未必成立时此结论未必成立但但 例如例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx212lim0 2(3)因式代替规则因式代替规则:极限存在或有极限存在或有且且若若)(,x 界界,则则)(limx )(limx 例如例如,.sintanlim30 xxxx 30limxxxx 原式原式30)cos1(tanlimxxxx 21 32021limxxxx 例例2.求求01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx解解:原式原式 无穷小量可以
5、用其等价无穷小量替代无穷小量可以用其等价无穷小量替代.定理告诉我们定理告诉我们:在计算只含有乘、除法的极限时在计算只含有乘、除法的极限时,231x221x 例例3.求求.1cos1)1(lim3120 xxx解解:,0时时当当x1)1(312 x231x1cos x221x 0lim x原式原式32 将常用的等阶无穷小列举如下:xx sinxx tan2cos12xxxx)1ln(mxxm11211xx nxxn1)1(xex1axaxln12sintan3xxx xx arcsinxx arctan 当 x 0 时其中.,0Nnma xxx1sinlim2xxx1sinlim2求xxx1li
6、m2xxlim例例4解xxxxtansin21lnlim0 xxx21lim0 xxxxtansin21lnlim0求xxxtan)1ln(21lim0 xxxtansin2lim0 xxx2lim0212例5解3221lnlimxxx02limxx3221lnlimxxx求322limxxx例6解内容小结内容小结0 lim,0,)0(C,1,0lim Ck 1.无穷小的比较无穷小的比较设设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小对同一自变量的变化过程为无穷小,且且 是是 的的高阶高阶无穷小无穷小 是是 的的低阶低阶无穷小无穷小 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小 是是 的的等价等价无穷小无穷小 是是
7、的的 k 阶阶无穷小无穷小2.等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理,0时时当当xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,212x11 nxxn1Th 2常用等价无穷小常用等价无穷小:2)(cos2lim0 xbaebxx12)()(lim 210 xbaxbax。，babxaxeebxaxxsinsinlim0求bxaxeebxaxxsinsinlim02)(sin2)(cos2)1(lim)(0 xbaxbaeexbabxx2)(sin1lim)(0 xbaexbax 和差化积例7解 此题也可先在此题也可先在分子处加分子处加 1 减减 1bxaxeebxaxxsinsinlim
8、0 又解又解2)(sin2)(cos2)1()1(lim0 xbaxbaeebxaxx 2)(sin2)(cos2)1(lim0 xbaxbaeaxx 2)(sin2)(cos2)1(lim0 xbaxbaebxx 2)(2lim0 xbaaxx 2)(2lim0 xbabxx .1 解例例8 8 .)sin1(lim cos1120 xxxxe求xxexexxxxxcos1)sin1ln(limexp)sin1(lim 20cos1120 ,)0(2cos1 ,)1ln(2得由xxxxx220sin 2limexpxxexx .sinlim2lim exp22200exxexxx 也可再用等
9、价无穷小替代xbxaxnmx11lim0 xbxxaxnxmx11lim11lim00nbmaxbxnxaxmxx1lim1lim00 xbxaxnmx)11()11(lim0 xbxaxnmx11lim0求求例例9解解例10 ).(lim 2112sin)(1 lim ,)(lim 0 300 xfexxfxfxxxx求且存在已知 .0 )(,)(lim 0时有界当故函数存在由于xxfxfx 02sin)(lim 0得由xxfx )0(2sin)(2112sin)(1 xxxfxxf 从而 ,3)(lim32sin)(21lim112sin)(1 lim20030 xfxxxfexxfxxxx .6)(lim 0 xfx故.1 ,sin ,0 xexxxx时.2111 ,0 xxx 时
