1、第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较一、无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小替换二、等价无穷小替换一、无穷小的比较一、无穷小的比较例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx不可比不可比.,0,1 xx1sinlim0.不存在不存在观察各极限观察各极限;)(,0lim)1(o 记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比就说就说如果如果定义定义:.
2、0,且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;低阶的无穷小低阶的无穷小是比是比或者说或者说 ;,)0(lim)2(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 CC;,1lim)3(记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果 ().o结论：设 与 是两个无穷小，则).0()(sin xxoxx例如例如lim1 x证：lim1 lim10 xx证：lim1 lim10 lim0 xxx证：lim1 lim10 lim0 ()xxxo证：lim1 lim10 lim0 ()()xxxoo证：基本无穷小基本无穷小,的函数的函数若研究的都是若研究的都是 x;1,)2(
3、为为基基本本无无穷穷小小常常取取的的无无穷穷小小若若是是xx.0,)0,0(lim0阶无穷小阶无穷小的的是是时时就说当就说当如果如果kxxkCCxkx ;,0)1(为基本无穷小为基本无穷小常取常取的无穷小的无穷小若是若是xx 例例1 1解解.tan4,0:3的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时当当证证明明xxxx 430tan4limxxxx30tanlim4 xxx,4.tan4,03的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时故故当当xxxx 例例2 2.sintan,0的的阶阶数数关关于于求求时时当当xxxx 解解.2sin2tan)cos1(tansintan2xxxxxx 30sintanlimxx
4、xx)2sin2tan(lim220 xxxxx ,21.sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 例例10,sinxxxx当当时时 为为的的几几阶阶无无穷穷小小？二、等价无穷小替换二、等价无穷小替换定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理).limlim,lim,则则存在存在且且设设证证 lim)lim(limlimlim.lim 例例3 3.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式.8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不
5、能分别替换.注意注意例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式.0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 常用等价无穷小常用等价无穷小:,sinxx,arcsinxx,tanxx，xx arctan；221cos1xx,)1ln(xx,1xex，)1,0(ln1 aaaxax),0(1)1(axaxa)111(xnxn 0,x 当时例例5 5.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解xx
6、xx3sin)cos1(5tanlim0 原式原式 xxxxx3sincos13sin5tanlim0 xxxxxx3sincos1lim3sin5tanlim00 xxxxxx321lim35lim200 .35.1cos1)11ln()1(lim6/2xxexx 求求例例解解2020212limcos1)1ln()1(limtttttettt 原式原式.4.0,1 txxt时，时，当当令令.2sin1sin1lim720 xxxx 求求例例解解,21sin211sin1,02xxxxxx时时当当 ,)2()2(sin22xx220421limxxx 原式原式81.)cos1(cos1lim
7、80 xxxx求例解解)cos1)(cos1(cos1lim0 xxxxx原式)cos1(cos1lim210 xxxxxxxx2121lim2120.21三、小结三、小结1.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法,注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小;无穷小的阶无穷小的阶.思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？
8、思考题解答思考题解答不能不能例当例当 时时x,1)(xxf xxxgsin)(都是无穷小量都是无穷小量但但)()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时x)(xf和和)(xg不不能能比比较较.一、一、填空题：填空题：1 1、xxx2sin3tanlim0=_.=_.2 2、mnxxx)(sinarcsinlim0=_.=_.3 3、xxx)21ln(lim0=_.=_.4 4、xxxxxarctan1sin1lim20 =_.=_.5 5、nnnx2sin2lim=_.=_.6 6、xaxnx1)1(lim10 =_.=_.练练 习习 题题7 7、当
9、、当0 x时，时，)0(3 aaxa 对于对于x是是_阶无穷小阶无穷小.8 8、当、当0 x时，无穷小时，无穷小xcos1 与与nmx等价，则等价，则 ._,nm 二、求下列各极限：二、求下列各极限：1 1、xxxx30sinsintanlim；2 2、eelim；3 3、xxxx sinsinlim0；4 4、axaxax tantanlim；三、三、证明：若证明：若 ,是无穷小，则是无穷小，则)(0 .四、设四、设 f(x)=f(x)=1)cos(2sinlim212 nnnxbxaxx 求：求：1 1、)(xf的表达式的表达式.2 2、确定、确定ba,的值的值,使得使得)1()(lim1fxfx，)1()(lim1 fxfx.一、一、1 1、23；2 2、nmnmnm,1,0；3 3、2 2；4 4、；5 5、x；6 6、na；7 7、3 3；8 8、21,2.2.二、二、1 1、21；2 2、e；3 3、；4 4、a2sec.练习题答案练习题答案四、四、1 1、1),cos(1,2)cos(11,2)cos(11,2sinxbxaxbaxbaxxx；2 2、0,),1,0(2 bkka.
