1、第六章. 勾股定理模型（二十八）垂美四边形模型 模型讲解【定义】 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. 【结论】如图，四边形ABCD的对角线ACBD，则ABCDADBC. S四ABCD 12 ACBD 【证明】 S四ABCD 12 BDa 12 BDc 12 BD(ac)12 ACBD 口诀 典例秒杀 典例1 定义我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形概念理解;如图1，在四边形 ABCD中，如果 AB=AD，CB= CD，那么四边形 ABCD是垂美四边形吗? 请说明理由.性质探究：如图2，垂美四边形ABCD的两组对边AB，CD与 BC，AD之间有怎样的数量关系?写出你的猜想，并说明理由。
2、 问题解决如图3，分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接 CE，BG，GE求证GABCAE.若 AC=2，AB=5，则 GE=_。 【解析】（1）四边形 ABCD是垂美四边形，理由如下AB=AD，点 A在线段 BD 的垂直平分线上， CB=CD，点 C在线段BD 的垂直平分线上， 直线 AC是线段 BD 的垂直平分线，ACBD，即四边形 ABCD是垂美四边形.（2）ABCD=BCAD，理由如下 如图，ACBD，AED=AEB=BEC=CED=90.由勾股定理得 AD BC= AEDEBECE,ABCD=AEBECEDE,ABCD=BCAD.（3）如
3、图，连接 CG，BE. CAG=BAE=90,CAGBAC=BAEBAC,即GAB=CAE.在GAB 和CAE 中，AG=AC,GAB=CAE,AB=AE, GABCAE(SAS).GABCAE，ABG=AEC，又AECAME=90，BMC=AME，ABGBMC=90，BNC=90，即 CEBG，四边形CGEB是垂美四边形，CGBE=CB+GEAC=2,AB=5,BC=21,CG=22,BE=52, GE=CGBE-CB=37，GE=37.典例2 如图，AOB和COD都是等边三角形，AO=BO=2，CO=DO=1求ACBD 小试牛刀 1.（）数学活动图形的变化问题情境如图1，ABC为等腰直角三
4、角形，ACB=90，E是AC边上的一个动点(点E与A，C不重合），以CE为边在ABC外作等腰直角ECD，ECD=90，连接 BE，AD.猜想线段 BE，AD 之间的关系.（1）独立思考请直接写出线段 BE，AD 之间的关系.（2）合作交流“希望”小组受上述问题的启发，将图1中的等腰直角ECD绕着点C顺时针方向旋转至如图2的位置，BE交AC于点H,交AD于点O.（1）中的结论是否仍然成立?请说明理由.（3）拓展延伸“科技”小组将中的等腰直角ABC改为RtABC，ACB=90，AC=8，BC=6，将等腰直角ECD改为 RtECD，ECD=90，CD=4，CE=3.试猜想 BDAE是否为定值，结合图
5、3说明理由. 直击中考 1.在四边形 ABCD 中，ACBD，AB=7，CD=11，BC=13，则AD=_.勾股定理是计算的工具 ，识别环境和了解模型背后约结论至关重要，等腰直角三角形手拉手全等模型容易出现垂美四边形第七章. 勾股定理模型（二十八）垂美四边形模型 答案：小试牛刀1. 解析 （1）BE=AD，BEAD.ABC和CDE都是等腰直角三角形，BC=AC,CE=CD,BCE=ACD= 90,BCEACD,BE=AD,CEB= CDA.CBE CEB = 90,CBECDA=90, BEAD.（2）（1）中的结论仍然成立，理由ABC是等腰直角三角形，ACB= 90,AC=BC.CDE是等腰
6、直角三角形，ECD= 90,CD=CE,ACBACE=ECD+ACE, BCE=ACD,BCEACD,BE=AD,CBE=CAD.BHC=AHO,CBHBHC=90,CADAHO=90,AOH=90, BEAD.（3）是定值，理由ECD=90,ACB=90, ACB=ECD,ACBACE=ECDACE， BCE=ACD.AC=8,BC=6,CD=4,CE=3, BC:AC=CE:CD=3:4,BCEACD,CBE=CAD.BHC=AHO, CBHBHC=90，CADAHO=90,AOH=90,BEAD,BOD=AQE=90, BD=OBOD，AE=OAOE， AB=OA+OB，DE=OE+OD，BDAE=OBODOAOE= ABDE,在 RtABC中，ACB=90，AC=8，BC=6,AB=100,在 RtECD中，ECD=90，CD=4，CE= 3,DE=25,BDAE=ABDE=125.直击中考1. 答案 1解析 ACBD，四边形 ABCD是垂美四边形，ABCD=ADBC， AD= 72+1121321.
